XIX. Понятие тождества в математической логике (к стр. 81).

Dorința de a exclude din sfera științei orice discuție despre identitatea numerică, așa cum era de așteptat, apare cel mai clar acolo unde metoda științifică este în general cea mai riguroasă și mai precisă, și anume în logica matematică modernă sau așa-numita logistică. Aici, în „calculul claselor”, identitatea indivizilor este definită destul de strict și este definită exact ca apartenența lor comună la orice clasă căreia fiecare dintre ei poate să aparțină în general, adică, cu alte cuvinte, ca posibilitatea ca orice combinație de caracteristici ale unui individ de a găsi o combinație corespunzătoare și egală de caracteristici ale altuia. Este clar că aici identitatea numerică este înlocuită cu o identitate specifică. Importanța acestei substituții este cu atât mai clară cu cât în ​​logica matematică un individ se distinge strict de o clasă unică sau specială care îi corespunde (o clasă cu un volum de „unul”) și că, în „calculul relațiilor”, se postulează o axiomă importantă, conform căreia fiecare pereche de indivizi dați are o relație specială care nu există între niciun alți doi indivizi, o relație exclusivă a acestei perechi. Și totuși, în ciuda acestor distincții subtile, identitatea indivizilor este complet descompusă în știința modernă într-un set de caracteristici comune, astfel încât caracterul real al individului, ca purtător al caracteristicilor sale, în contrast cu caracterul său formal, este din nou doar afirmat, dar deloc exprimat. Aceasta dovedește încă o dată că identitatea numerică poate fi bazată sau afirmată doar simbolic, dar nu este definită, formulată sau exprimată logic. După aceste observații generale, să ne reamintim pe scurt cum sunt exprimate aceste definiții în semnele simbolice ale logisticii. După cum se știe, ceea ce este cel mai izbitor aici este distincția decisivă dintre relațiile de „implicație” și „includere”, adică includerea unei judecăți sau clase într-o altă judecată sau clasă, de la operațiunea de subordonare a unui individ unei clase sau, în consecință, unei judecăți. Ɔ este un semn atât de implicare, cât și de incluziune; ε - relativ la clasă - semnul operației de stabilire a corespondenței (abrevierea ἐστί), iar z - semnul aceleiași operațiuni privind judecata. Această distincție, întărită de diferența de semne, este extrem de importantă. Cu toate acestea, vorbirea obișnuită confundă ambele tipuri de relații, adică implicarea cu includerea și operația de corespondență, sub denumirea generală a conectivului „este”, „esență”; logicienii le-au identificat pentru o lungă perioadă de timp și doar Peano le-a înregistrat mai întâi și chiar și atunci datorită simbolismului pe care l-a inventat. Pentru a face diferența dintre operația Ɔ și operația de corespondență mai clară, să luăm, de exemplu, un silogism obișnuit: maior: Fiecare om este muritor. conclusio: Prin urmare, Socrate este muritor. Conectivul premisei majore aici va fi Ɔ, așa cum se crede de obicei, dar conectivul premisei minore nu este deloc Ɔ, așa cum aproape întreaga majoritate a logicienilor tind să gândească, dar – ε. De fapt, în premisa mai mare se stabilește relația dintre clasele „umanitate” și „mortalitate”, iar în a doua nu mai este relația de clase, ci a individului „Socrate” la clasa „umanității”, căreia îi aparține „Socrate”. Deci premisa majoră este o implicație indubitabilă, așa cum se obișnuiește să spunem, dar premisa minoră nu mai este o implicație, ci subordonarea individului față de clasă și tocmai de primul tip. Aceasta înseamnă că formula silogismului analizat va fi de fapt: a Ɔ b . ∩ . x ε a: Ɔ: x ε b (I) și deloc formula unui silogism obișnuit, tipic, care stabilește relația dintre clase: a Ɔ b . ∩ . c Ɔ a: Ɔ: c Ɔ b (II) Este greu de remarcat diferența semnificativă dintre formulele (I) și (II). Nu trebuie să credem că simbolurile Ɔ și ε, având semnificații logice și ontologice foarte diferite, ar putea fi amestecate cu impunitate din punct de vedere formal, în scopul mecanicii logistice numerice, și că această „subtilitate” a distincției conceptelor lui Pean nu are o semnificație „pragmatică” pentru tehnica notației. Departe de asta, pentru că însăși proprietățile ambelor relații, adică Ɔ și ε, sunt semnificativ diferite: relația Ɔ, ca stabilind o conexiune între entități sau termeni omogene (clase, judecăți) este tranzitivă, în timp ce relația ε, ca stabilind o conexiune între entități eterogene (clasă și individ) este evident intransitivă: dacă a Ɔ b, atunci este clar că Ɔ b a Ɔ b . ∩ . b Ɔ c: Ɔ: a Ɔ c (III) și a Ɔ c; dar din faptul că x ε y și y ε z, nu rezultă deloc că x ε z, căci dacă x, ca individ, este subsumat în clasa y, iar clasa y, ca individ, este subsumat în clasa z, atunci z va fi deja în relație cu x o clasă de clase, și nu doar o clasă și, prin urmare, nu poate număra x dintre elementele sale, pentru z, volumul este format din clase individuale, iar ele însele, pentru z, sunt deja indivizibile, indivizibile, indecompuse. Cu neatenție la intranzitivitatea relației ε, care la rândul ei se bazează pe confuzia lui ε cu Ɔ, se construiesc adesea sofisme, a căror expunere formală și receptivă nu este întotdeauna ușoară. Astfel, de exemplu, sunt unele dintre sofismele din „comedia filozofică” a lui Platon Euthydemus 850, ei bine, cel puțin raționând astfel: "Aurul este aur și nu poate fi aur; o persoană este o persoană și nu poate fi o persoană. În consecință, tatăl tău Kheredem, - aproximativ așa îi spune Socrate lui Euthydemus, - este un tată și nu poate fi un non-tată. Aceasta înseamnă că este tatăl tuturor și nu numai al oamenilor, ci și al cailor și altor animale. În același fel, mama ta este mama lui Hedge, fratele tău. la viței, și căței și purcei. „Atunci, tu ai un câine, iar el are căței și, prin urmare, câinele este tatăl lor. Dar câinele este al tău. Și el este al tău, fiind tatăl lui, deci tatăl tău este un câine, iar tu ești fratele cățeilor. „În continuare: îți bati câinele, asta înseamnă că-ți bati tatăl etc.” Sau, iată un alt exemplu din „Hippias cel Mare” 851: "Fiecare dintre noi, cei doi interlocutori, este unul și, prin urmare, este obișnuit ca fiecare dintre noi să fie un număr impar. În consecință, amândoi împreună vom fi și un număr impar atunci când suntem doi. Dar dacă nu este așa, dacă amândoi împreună suntem par, atunci fiecare dintre noi separat este, de asemenea, par etc." Raționamentul se realizează aici conform următoarei scheme: Heredem (individ) ε părintele (clasa); părintele tău (individ) ε părinte (clasa); parinte(clasa) = parinte(clasa); producând arici, purcei etc. (clasa) Ɔ Ɔ creaturi care naște (clasa). Dar este clar că, din cauza intransitivității operației „ε”, din aceste premise nu se poate trage în niciun caz concluzia că Heredem ε producând arici etc. În acelaşi fel, din faptul că Petru (individ) ε apostol (clasa de apostolat), adică, că Petru este, de asemenea, „doisprezece”, și nu „unul 852. Deci, din cele spuse, devine absolut sigur că, chiar și din punct de vedere pur formal, individul este fundamental diferit de clasă, chiar și de clasa individuală, contrar părerii logicienilor nominaliști, care au căutat să interpreteze clasa nu ca un singur corp de gândire de sine stătător, ci ca o colecție de indivizi, și contrar aspirațiilor pozitivismului și a logicii originale, care îl doreau să reducă natura individuală a logicienilor pozitiviști și ai suma caracteristicilor, adică la o clasă de unități. O clasă „specială” sau „singură” - singulière - trebuie să fie strict distinsă de singurul individ inclus în volumul său: altfel s-ar putea scrie pentru o astfel de clasă x formula: ceea ce, după cum am văzut deja, este lipsit de sens, pentru „ε” este un semn al unei relații între termeni diferiți și chiar eterogene, și nu unul și același. O clasă de unități formată dintr-un singur element „x” este deci de obicei notată printr-un semn special, și anume ιx, citit: „egal cu x”, „égal à x”; aici simbolul „ι” este o abreviere a cuvântului ἴσος, egal. Acest simbol „ι” este definit formal prin egalitate: adică „ιx este un simbol al unei clase y astfel încât (ɜ) justifică funcția propozițională (continuă) (cu variabila y) „y = y”. Prin urmare, aplicând pe ambele părți ale egalității scrise operația „уɛ”, care aduce elementul individual „y” egal cu clasele „ɩx” și „уɜ (у = x)”, și amintindu-ne că operațiile „yɛ” și „уɜ” se distrug reciproc, găsim: y ε ι x . = . y = x(VI), adică egalitatea a două simboluri „ει” și „=”, astfel încât Rezultă că, deși formula (IV) este nedreaptă, totuși (pentru x = x), adică că individul „x” aparține întotdeauna clasei sale de unități „ɩx”. Dacă, dimpotrivă, „a” este o clasă de unități, atunci singurul său element nu mai poate fi desemnat prin „a”, ci trebuie utilizat prin simboluri speciale, care includ simbolul inversat „ ”, care scrie: „acest a”, „le a”, „der a”, „ὁ a”. În general, simbolul „ɩ” transformă un individ în clasa sa de unități și invers, simbolul „ » transformă clasa de unități într-un individ, deci avem două egalități. echivalente între ele; în semne: Tot ceea ce s-a spus până acum este complet corect, deoarece se bazează pe diferența esențială dintre clasa individuală și individ. Dar individul este introdus aici doar prin simbol, fără definiție. Prin urmare, pentru raționalism există o piatră de poticnire evidentă aici. Ei încearcă să ocolească în felul următor: O clasă de unități este definită ca o clasă formată dintr-un singur individ. Dar care este numărul unu? Și ce este un „individ”? Logica matematică, „după obiceiul științelor matematice – selon l’habitude des Mathématiques” 854 nu determină individul, ci doar identitatea indivizilor. Desigur, punctul aici nu este deloc în „obișnuința științelor matematice” imaginar, ci în imposibilitatea de a defini individul ca o realitate supra-rațională. O încercare de a determina identitatea indivizilor face posibilă înlocuirea chestiunii identității numerice reale cu o chestiune de atribut, similaritate formală, adică raționament - imposibil! - asupra indivizilor - raționament asupra conceptelor despre ei, adică asupra claselor. Această înlocuire se face în mod deliberat și este profund semnificativă, mai ales după distincția decisivă dintre indivizi și clase. Deci, „se spune că doi indivizi k și l sunt identici dacă al doilea aparține fiecărei clase la care participă primul - on dira que les deux individus k et l sont identiques, si le second appartient à toute classe dont le premier fait partie” 855. În mod simbolic, această definiție este exprimată prin formula: k ≡ l: k ε a. Ɔa. l ε a (XI). Aici „α ≡” este un semn de identitate, iar indicatorul „a” pentru Ɔ înseamnă că implicația scrisă este valabilă pentru orice a care satisface includerea „k ε a” 856. În același timp, se atrage atenția asupra faptului că „identitatea indivizilor este diferită din punct de vedere logic de egalitatea claselor, la fel cum indivizii k și I sunt diferiți de clasele l” k și ɩ ɩ5 ɩ. Cum putem înțelege această formulă? – Nimic mai mult decât definiția semnului „α ≡”. Formula (XI) spune că atunci când întâlnim o combinație grafică fără precedent de liniuțe și litere, o „imagine” care, deci, nu are nici un sens, atunci, de acum înainte, odată pentru totdeauna, vrem, credem, cerem să înțelegem prin ea nimic altceva decât o desemnare prescurtată, convențională, a unei implicații care ne este deja clară. sau, mai precis, un set de implicații, cu toate valorile posibile ale variabilei „a”, al cărei câmp de modificare este determinat de funcția „k e a”, adică, repetăm încă o dată, prin „k ≡ l” vrem să înțelegem o denumire prescurtată a expresiei unde P este semnul înmulțirii logice a tuturor factorilor obținuți pentru toate valorile posibile ale lui a. Acest sistem de implicare, care vorbește doar despre relația dintre aparținările, - ε, - ale indivizilor „k” și „l” la clasele „a”, suntem de acord să numim identitatea indivizilor. Dar încă nu știm logic ce este un individ, nu avem conceptul de individ și, prin urmare, nu punem termenul decât în ​​mod pur simbolic, ca semn al ceva (- orice, dar nu o clasă sau o judecată sau o relație -) care poate fi într-o relație de „identitate”; prin identitate înțelegem o formulă complexă în raport cu acest „ceva” la clase. Repetăm ​​încă o dată că aici, în modul cel mai evident, se naște neputința gândirii logice în fața ființei concrete, adică a individului, și jalnic (- jalnic necesar! - ) a încercărilor minții de a înlocui ființa individuală cu rațional-figurativ - dar nu rațional! - termeni. – În plus, după cum s-a spus, problema determinării unicității clasei rămâne deschisă. Cum, de fapt, se poate determina, în termeni raționali, că clasa ɩa este singulară, adică că conține un singur element - că există doar un singur a? – Acest lucru se realizează prin indicarea a două caracteristici ale clasei ɩa: în primul rând, că conține deloc elemente, adică că este o clasă diferită de zero; în al doilea rând, că dacă ar exista două astfel de elemente, și anume x și y, atunci ar fi identice unul cu celălalt. Că clasa ɩa nu este zero se exprimă prin formula negativă: și „nu este” (– =) Λ (XIV), unde Λ este semnul clasei zero, sau altfel, într-o formă pozitivă mai convenabilă: Deci, singularitatea clasei ɩa va fi exprimată prin formulele: a – = Λ: x ε a . y ε a. Ɔ x,y. x ≡ y (XVII), Ǝa. x ε a . y ε a . Ɔ x,y. x ≡ y (XVIII) 859 , adică pentru orice x și y aparținând clasei ɩа, implicația scrisă rămâne adevărată. Cu greu este necesar să subliniem că tot ceea ce s-a spus despre definiția logică a identității se aplică și acestei definiții a singularității, căci singularitatea este doar un caz special de identitate, și anume identitatea cu sine, identitatea de sine. Revenind, în sfârșit, la logica relațiilor - relațiilor - aici, în mod firesc, trebuie să rezolvăm problema relației dintre indivizi. În acest departament de logică matematică se ia ca axiomă că există întotdeauna o relație între indivizi, el însuși individual, el însuși reprezentat de un individ unic. „Între doi indivizi dați”, spune axioma, „există o relație specială – singulară – care nu există între niciun alți doi indivizi.” Cu toate acestea, această relație specială este explicată, așa cum ne-am aștepta, într-un sens formal, și nu într-un sens real. Acest lucru este clar din explicațiile care urmează acestei axiome. „Din punct de vedere volum – extensie”, spun ei, „această axiomă este evidentă, deoarece perechea în cauză este suficientă pentru a determina o relație diferită de toate celelalte. Din punct de vedere al conţinutului, putem spune că dacă luăm în considerare totalitatea - l'ensemble - a tuturor relaţiilor care există între doi indivizi daţi, atunci aceeaşi totalitate nu există între nicio altă pereche de indivizi; cu alte cuvinte, dacă o anumită pereche are toate relațiile unei alte perechi, atunci aceste două perechi sunt identice, ceea ce se scrie astfel: x1 R y 1 · ƆR · x 2 R y2 : Ɔ: x 1 ≡ x2 · y 1 ≡ y2 (XIX) 860 Aici semnul ƆR arată că complicația laturii stângi este valabilă pentru orice relație R care poate lega x 1 și y 1 . Deci, individual, adică în mod specific, relația se descompune din nou într-un număr de relații generale, adică abstracte, - toate relațiile abstracte incluse în componența acestei anumite relații. Dar, pe lângă lipsa de sens ontologică a unei astfel de echivalări a concretului cu suma abstracțiilor, se pune întrebarea cu privire la legalitatea unei astfel de definiții, chiar și în domeniul pur formal. La urma urmei, se bazează în întregime pe conceptul de „toate” relații între o anumită pereche de elemente. Ca să nu mai vorbim de faptul că însuși conceptul de „totul” nu este încă definit în logica matematică, mai ales când se referă la grupul de grupuri super-finite, este îndoielnic. Este posibil, în general, să existe un concept definit despre grupul „toate” relații nu între clase, ci între indivizi. Dar aceasta este ceea ce necesită dovezi, pentru că nu este deloc clar (și nu este deloc acceptabil) că un grup transfinit de abstracțiuni poate epuiza concretețea. Dacă specificitatea poate fi considerată dintr-un unghi formal-rațional de viziune, atunci ea, fără îndoială, poate fi introdusă în speculația formală doar sub masca unei limite, adică ca maxim absolut. Dar conceptul unui astfel de lucru nu a fost încă dezvoltat, cu excepția unei încercări complet necunoscute a arhimandritului. Serapion - și în plus, nu este clar dacă așa ceva poate exista chiar în relație cu indivizii. La urma urmei, indivizii specifici posedă creativitate, sunt capabili să creeze relații absolute, neprevăzute, care nu sunt incluse într-un grup arbitrar de voluminos de relații gata făcute - într-un cuvânt, depășesc orice concept preconceput despre ei: în cuvintele lui A. Bergson, „la vie déborde l’intelligence - viața iese de pe țărmurile rațiunii” și asta se întâmplă întotdeauna. Plat. , – Euthydemus (pp. Solovyov, vol. 2, p. 145). pl. , – Hippie cel Mare, id., vol. 2, p. 133–140. Cout., – Pr. d. M., p. 51–52.