XIX. Понятие тождества в математической логике (к стр. 81).

Желбата да се исклучи од сферата на науката секој разговор за нумеричкиот идентитет, како што се очекуваше, најјасно се појавува таму каде што научниот метод е генерално најригорозен и најпрецизен, имено во модерната математичка логика или таканаречена логистика. Овде, во „пресметката на класите“, идентитетот на поединците се дефинира доста строго и се дефинира токму како нивно заедничко членство во која било класа на која генерално може да припаѓа секој од нив, т.е., со други зборови, како можност за која било комбинација на карактеристики на една индивидуа да најде соодветна и еднаква комбинација на карактеристики на друга. Јасно е дека овде нумеричкиот идентитет е заменет со специфичен идентитет. Важноста на оваа замена е дотолку поодредена затоа што во математичката логика поединецот строго се разликува од една или специјална класа што одговара на неа (класа со волумен „еден“) и дека во „пресметката на односи“ е поставена важна аксиома, според која секој пар од дадени поединци има посебен однос кој не постои помеѓу која било друга поединечна ексклузивна врска. А сепак, и покрај овие суптилни дистинкции, идентитетот на поединците во современата наука е целосно разграден на збир на заеднички карактеристики, така што вистинскиот карактер на поединецот, како носител на неговите карактеристики, за разлика од неговиот формален карактер, повторно само се афирмира, но воопшто не се изразува. Ова уште еднаш докажува дека нумеричкиот идентитет може само симболично да се потпира или да се тврди, но не е дефиниран, формулиран или изразен логично. По овие општи забелешки, накратко да се потсетиме како овие дефиниции се изразени во симболичните знаци на логистиката. Како што е познато, она што е највпечатливо овде е одлучувачката разлика помеѓу односите на „импликација“ и „вклучување“, т.е. вклучување на пресуда или класа во друга пресуда или класа, од операцијата на подредување на поединецот на класа или, соодветно, на суд. Ɔ е знак и за импликација и за вклучување; ε - во однос на класата - знакот на операцијата за воспоставување кореспонденција (кратенка ἐστί), и z - знакот на истата операција во однос на пресудата. Оваа разлика, засилена со разликата во знаците, е исклучително важна. Меѓутоа, обичниот говор ги меша двата вида односи, т.е. импликацијата со вклучувањето и функционирањето на кореспонденцијата, под општата ознака на сврзното „е“, „суштина“; логичарите ги идентификувале долго време, а само Пеано прво ги снимил, па дури потоа благодарение на симболиката што ја измислил. За да биде појасна разликата помеѓу операцијата Ɔ и операцијата на кореспонденција, да земеме, на пример, обичен силогизам: мајор: Секој човек е смртен. заклучок: Затоа, Сократ е смртен. Сврзното на главната премиса овде ќе биде Ɔ, како што обично се мисли, но сврзникот на малата премиса воопшто не е Ɔ, како што има тенденција да размислува речиси целото мнозинство логичари, туку – ε. Всушност, во поголемата премиса е воспоставен односот на класите „човештво“ и „смртност“, а во втората веќе не е односот на класите, туку на поединецот „Сократ“ кон класата „човештво“, на која и припаѓа „Сократ“. Значи, главната премиса е несомнена импликација, како што е вообичаено да се каже, но малата премиса веќе не е импликација, туку подреденост на поединецот на класата, и токму од првиот тип. Ова значи дека формулата на силогизмот што се анализира всушност ќе биде: a Ɔ b. ∩ . x ε a: Ɔ: x ε b (I) и воопшто не формулата на обичен, типичен силогизам што ја воспоставува врската помеѓу класите: a Ɔ b. ∩ . c Ɔ a: Ɔ: c Ɔ b (II) Едвај е неопходно да се забележи значајната разлика помеѓу формулите (I) и (II). Не треба да се мисли дека симболите Ɔ и ε, кои имаат многу различни логички и онтолошки значења, би можеле неказнето да се мешаат од формална гледна точка, за целите на нумеричката логистичка механика, и дека оваа „суптилност“ на разликувањето на концептите на Пеан нема „прагматично“ значење за техниката на нотација. Далеку од тоа, бидејќи самите својства на двете релации, т.е. Ɔ и ε, се значително различни: релацијата Ɔ, како воспоставување врска помеѓу хомогени ентитети или поими (класи, судови) е транзитивна, додека релацијата ε, како воспоставување врска помеѓу хетерогени ентитети (класа и поединец) е очигледно Ɔ, ако е јасно дека a е Ɔ и b е јасно дека е Ɔ на Ɔ и b: формулата a Ɔ b. ∩ . b Ɔ c: Ɔ: a Ɔ c (III), и a Ɔ c; но од фактот дека x ε y и y ε z, воопшто не следи дека x ε z, зашто ако x, како поединец, е подредена под класата y, а класата y, како поединец, е под класата z, тогаш z веќе ќе биде во однос на x класа на класи, а не само класа, и затоа не може да го вброи x дел од неговиот волумен како; за z, волуменот се состои од поединечни класи, а тие самите, за z, се веќе неделиви, неделиви, неразградливи. Со невнимание на непреодноста на релацијата ε, која пак се заснова на мешањето на ε со Ɔ, често се конструираат софизми, чиешто формално и одговорно изложување не е секогаш лесно. Такви, на пример, се некои од софизмите во Платоновата „филозофска комедија“ Евтидем 850, добро, барем резонирање како следново: „Златото е злато и не може да биде злато; човекот е личност и не може да биде не личност. Следствено, вашиот татко Кередем, - приближно вака му вели Сократ на Евтидем, - е татко и тој не може да биде не-татко. Тоа значи дека тој е татко на сите, и не само на луѓето, туку и на коњите и другите животни. на телиња, и кученца и прасиња. „Тогаш, вие имате куче, а тој има кученца и затоа кучето им е татко. Но кучето е твое. И тој е твој, што е татко му, значи татко ти е куче, а ти си брат на кученцата. „Следно: си го тепал своето куче, тоа значи дека си го тепал татко ти итн“. Или, еве уште еден пример од „Hippias the Greater“ 851: „Секој од нас, двајцата соговорници, е еден и затоа е вообичаено секој од нас да биде непарен број. Следствено, и двајцата заедно ќе бидеме непарен број кога сме двајца. Но, ако тоа не е така, ако двајцата заедно сме парни, тогаш секој од нас посебно е исто така парен, итн. Расудувањето овде се изведува според следнава шема: Heredem (поединец) ε вашиот родител (класа); вашиот родител (поединец) ε родител (класа); родител(класа) = родител(класа); производство на ежи, прасиња и сл. (класа) Ɔ Ɔ раѓачки суштества (класа). Но, јасно е дека, поради непреодноста на операцијата „ε“, од овие премиси никако не може да се извлече заклучок дека Heredem ε што произведува ежови итн. На ист начин, од фактот дека Петар (поединец) ε апостол (класа на апостолство), т.е. дека Петар е исто така „дванаесет“, а не „еден 852. Така, од она што беше кажано, станува апсолутно сигурно дека дури и од чисто формална гледна точка, поединецот е фундаментално различен од класата, дури и од поединечната класа, спротивно на мислењето на номиналистичките логичари, кои се обидоа да ја толкуваат класата не како единствен и самостоен тело на мислата, туку како збирка на поединци, и спротивно на оригиналните логички аспирации на поединецот да го уништат. збир на карактеристики, т.е. до класа на единица. „Посебна“ или „единечна“ - singulière - класа мора строго да се разликува од единствената индивидуа вклучена во нејзиниот волумен: инаку за таква класа x може да се напише формулата: што, како што веќе видовме, е бесмислено, бидејќи „ε“ е знак за врска меѓу различни, па дури и хетерогени поими, а не едно исто. Единичката класа формирана од еден елемент „x“ затоа обично се означува со посебен знак, имено ιx, гласи: „еднакво на x“, „égal à x“; овде симболот „ι“ е кратенка од зборот ἴσος, еднакво. Овој симбол „ι“ е формално дефиниран со еднаквоста: т.е. „ιx е симбол на класа y таква што (ɜ) ја оправдува пропозициската (континуирана) функција (со променлива y) „y = y“. Оттука, применувајќи ја операцијата „уɛ“ на двете страни на пишаната еднаквост, која го носи поединечниот елемент „y“ еднаков на класите „ɩx“ и „уɜ (у = x)“, и запомнувајќи дека операциите „yɛ“ и „уɜ“ меѓусебно се уништуваат, наоѓаме: y ε ι x. = . y = x (VI), т.е. еднаквост на два симболи „ει“ и „=“, така што Следи дека, иако формулата (IV) е неправедна, сепак (за x = x), т.е. дека поединецот „x“ секогаш припаѓа на неговата единична класа „ɩx“. Ако, напротив, „a“ е единечна класа, тогаш нејзиниот единствен елемент повеќе не може да се означува преку „a“, туку мора да се користи со посебни симболи, кои го вклучуваат превртениот симбол „ “, што гласи: „ова а“, „ле а“, „дер а“, „ὁ а“. Општо земено, симболот „ɩ“ трансформира поединец во неговата единечна класа, и обратно, симболот „ » ја трансформира единечната класа во поединец, значи имаме две еднаквости. еквивалентни едни на други; во знаци: Сè што е кажано досега е сосема фер, бидејќи се заснова на суштинската разлика помеѓу индивидуалната класа и поединецот. Но поединецот овде се воведува само со симболот, без дефиниција. Затоа, за рационализмот овде има очигледен камен на сопнување. Тие се обидуваат да го заобиколат на следниов начин: Класа на единица се дефинира како класа формирана од еден поединец. Но, што е број еден? А што е „поединец“? Математичката логика, „според обичајот на математичките науки – selon l’habitude des Mathématiques“ 854 не ја одредува индивидуата, туку само идентитетот на поединците. Се разбира, поентата овде воопшто не е во имагинарниот „обичај на математичките науки“, туку во неможноста да се дефинира поединецот како супер-рационална реалност. Обидот да се одреди идентитетот на поединците овозможува да се замени прашањето за реалниот нумерички идентитет со прашање за атрибут, формална сличност, односно расудување - невозможно! - над поединци - расудување над концептите за нив, т.е. над часовите. Оваа замена е направена намерно и е длабоко значајна, особено по одлучувачката дистинкција помеѓу поединците и класите. Значи, „две индивидуи k и l се вели дека се идентични ако втората припаѓа на секоја класа во која учествува првата - на dira que les deux individus k et l sont identiques, si le second appartient à toute classe dont le premier fait partie“ 855. Симболично, оваа дефиниција се изразува со формулата: k ≡ l: k ε a. Ɔa. l ε a (XI). Овде „α ≡“ е знак за идентитет, а покажувачот „a“ за Ɔ значи дека пишаната импликација е валидна за секое a што го задоволува вклучувањето „k ε a“ 856. Во исто време, вниманието се привлекува на фактот дека „идентитетот на поединците е логички различен од еднаквоста на класите, исто како што индивидуите ɩl и I ɩl класите k и ɩ се разликуваат од поединечните класи ɩ ɩ ɩ. Како можеме да ја разбереме оваа формула? – Ништо повеќе од дефиницијата на знакот „α ≡“. Формулата (XI) вели дека кога ќе наидеме на досега невидена графичка комбинација на цртички и букви, „слика“ што, според тоа, нема никакво значење, тогаш, отсега, еднаш засекогаш, сакаме, веруваме, бараме да разбереме со него ништо повеќе од скратена, конвенционална ознака на импликација што веќе ни е јасна. или поточно збир на импликации, со сите можни вредности на променливата „а“, чие поле на промена се определува со функцијата „k e a“, т.е. уште еднаш повторуваме, со „k ≡ l“ сакаме да мислиме скратена ознака за изразот. каде што P е знак за логичко множење на сите фактори добиени за сите можни вредности на a. Токму овој систем на импликација, кој зборува само за односот меѓу припадностите, - ε, - на поединците „k“ и „l“ кон класите „а“, се согласуваме да го наречеме идентитет на поединци. Но, ние сè уште не знаеме логично што е поединец, го немаме концептот на поединец и, според тоа, го поставуваме терминот само чисто симболично, како знак на нешто (- што било, но не класа или суд или врска -) што може да биде во однос на „идентитет“; под идентитет подразбираме некоја сложена формула во однос на ова „нешто“ на класите. Уште еднаш повторуваме дека овде, на најочигледен начин, се јавува немоќта на логичката мисла пред конкретното, т.е. индивидуалното битие, и бедноста ( - неопходната жалост! - ) на обидите на умот да го замени индивидуалното битие со рационално-фигуративно - но не и рационално! - термини. - Понатаму, како што е наведено, прашањето за утврдување на единственоста на класата останува отворено. Како, всушност, може рационално да се утврди дека класата ɩa е еднина, односно дека содржи само еден елемент - дека има само еден a? – Ова се постигнува со укажување на две карактеристики на класата ɩa: прво, дека таа воопшто содржи елементи, односно дека е ненулта класа; второ, дека ако има два такви елементи, имено x и y, тогаш тие би биле идентични еден со друг. Дека класата ɩa не е нула се изразува со негативната формула: и „не е“ (– =) Λ (XIV), каде Λ е знакот на нултата класа, или во попогодна, позитивна форма: Значи, сингуларноста на класата ɩa ќе биде изразена преку формулите: a – = Λ: x ε a . y ε a. Ɔ x, y. x ≡ y (XVII), Ǝa. x ε a . y ε a . Ɔ x, y. x ≡ y (XVIII) 859, односно за кои било x и y кои припаѓаат на класата ɩа, напишаната импликација останува вистинита. Тешко е да се истакне дека сè што е кажано за логичката дефиниција на идентитетот важи и за оваа дефиниција за сингуларност, бидејќи сингуларноста е само посебен случај на идентитет, имено идентитет со себе, само-идентитет. Навраќајќи се, конечно, на логиката на односите - односите - ние овде природно мора да го решиме прашањето за односот меѓу поединците. Во овој оддел за математичка логика се зема како аксиома дека секогаш постои врска помеѓу поединците, која и самата е индивидуална, самата претставена од единствена индивидуа. „Помеѓу две дадени индивидуи“, вели аксиомата, „постои посебна — singulière — врска што не постои меѓу ниту една друга личност“. Сепак, овој посебен однос е објаснет, како што би се очекувало, во формална, а не во вистинска смисла. Ова е јасно појаснето од објаснувањата што ја следат оваа аксиома. „Од гледна точка на волумен - продолжување“, велат тие, „оваа аксиома е очигледна, бидејќи парот за кој станува збор е доволен за да се одреди однос кој е различен од сите други. Од гледна точка на содржината, можеме да кажеме дека ако го земеме предвид тоталитетот - l'ansemble - на сите односи што постојат меѓу две дадени индивидуи, тогаш истиот тоталитет не постои меѓу ниеден друг пар на индивидуи; со други зборови, ако одреден пар ги има сите односи на друг пар, тогаш овие два пара се идентични, што се пишува вака: x1 R y 1 · ƆR · x 2 R y2 : Ɔ: x 1 ≡ x2 · y 1 ≡ y2 (XIX) 860 Овде знакот ƆR покажува дека компликацијата на левата страна важи за секоја релација R што може да ги поврзе x 1 и y 1 . Значи, индивидуална, т.е. конкретно, односот повторно се распаѓа на голем број општи, т.е. апстрактни, - сите апстрактни релации вклучени во составот на овој конкретен. Но, покрај онтолошката бесмисленост на ваквото изедначување на конкретното со збирот на апстракции, се поставува прашањето за законитоста на таквата дефиниција, дури и во чисто формалната област. На крајот на краиштата, тој целосно се заснова на концептот на „сите“ односи помеѓу даден пар елементи. Да не зборуваме дека самиот концепт на „сè“ сè уште не е дефиниран во математичката логика, особено кога се однесува на групата на суперконечни групи, сомнително е Дали е можно, генерално, да се има дефинитивен концепт за групата на „сите“ односи не меѓу класите, туку меѓу поединците. Но, тоа е она што бара доказ, бидејќи воопшто не е јасно (и воопшто не е прифатливо) дека трансфинитна група апстракции може да ја исцрпи конкретноста. Ако специфичноста може да се разгледува од формално-рационален агол на гледање, тогаш таа, несомнено, може да се внесе во формалните шпекулации само под превезот на граница, т.е. како апсолутен максимум. Но концептот за таков сè уште не е развиен, освен сосема непознат обид на архимандрит. Серапион - а освен тоа, нејасно е дали такво нешто воопшто може да постои во однос на поединци. На крајот на краиштата, одредени поединци поседуваат креативност, се способни да создаваат апсолутни, непредвидени врски кои не се вклучени во произволно обемна група на готови односи - со еден збор, тие го надминуваат секој однапред замислен концепт за нив: според зборовите на А. Плат. , – Евтидем (стр. Соловјов, том 2, стр. 145). Pl. , – Хипиј Велики, ид., кн. 2, стр. 133–140. Коут., – Пр. г. М., стр. 51–52.