XIX. Понятие тождества в математической логике (к стр. 81).

Le désir d’exclure de la sphère scientifique tout discours sur l’identité numérique, comme on pouvait s’y attendre, apparaît le plus clairement là où la méthode scientifique est généralement la plus rigoureuse et la plus précise, à savoir dans la logique mathématique moderne ou ce qu’on appelle la logistique. Ici, dans le « calcul des classes », l’identité des individus est définie de manière assez stricte et se définit précisément comme leur appartenance conjointe à une classe quelconque à laquelle chacun d’eux peut généralement appartenir, c’est-à-dire, en d’autres termes, comme la possibilité pour toute combinaison de caractéristiques d’un individu de trouver une combinaison correspondante et égale de caractéristiques d’un autre. Il est clair qu'ici l'identité numérique est remplacée par une identité spécifique. L’importance de cette substitution est d’autant plus nette que, dans la logique mathématique, un individu se distingue strictement d’une classe unique ou spéciale qui lui correspond (une classe avec un volume de « un ») et que, dans le « calcul des relations », est posé un axiome important selon lequel chaque couple d’individus donnés a une relation particulière qui n’existe pas entre deux autres individus, c’est-à-dire une relation exclusivement propre à cette paire. Et pourtant, malgré ces distinctions subtiles, l'identité des individus est entièrement décomposée dans la science moderne en un ensemble de caractéristiques communes, de sorte que le caractère réel de l'individu, en tant que porteur de ses caractéristiques, contrairement à son caractère formel, est là encore seulement affirmé, mais pas du tout exprimé. Cela prouve une fois de plus que l’identité numérique ne peut être invoquée ou affirmée que symboliquement, mais n’est pas définie, formulée ou exprimée logiquement. Après ces remarques générales, rappelons brièvement comment ces définitions s'expriment dans les signes symboliques de la logistique. Comme on le sait, ce qui frappe ici le plus est la distinction décisive entre les relations d’« implication » et d’« inclusion », c’est-à-dire l’inclusion d’un jugement ou d’une classe dans un autre jugement ou une autre classe, et l’opération de subordination d’un individu à une classe ou, par conséquent, à un jugement. Ɔ est un signe à la fois d'implication et d'inclusion ; ε - par rapport à la classe - le signe de l'opération d'établissement de correspondance (abréviation ἐστί), et z - le signe de la même opération concernant le jugement. Cette distinction, renforcée par la différence des signes, est extrêmement importante. Or, le discours ordinaire confond les deux types de relations, c'est-à-dire l'implication avec inclusion et l'opération de correspondance, sous la désignation générale du connecteur « est », « essence » ; les logiciens les ont identifiés depuis longtemps, et seul Peano les a enregistrés pour la première fois, et encore grâce au symbolisme qu'il a inventé. Pour mieux faire la différence entre l'opération Ɔ et l'opération de correspondance, prenons par exemple un syllogisme ordinaire : majeur : Tout homme est mortel. conclusion : Socrate est donc mortel. Le connecteur de la prémisse majeure sera ici Ɔ, comme on le pense habituellement, mais le connecteur de la prémisse mineure n'est pas du tout Ɔ, comme presque toute la majorité des logiciens ont tendance à le penser, mais – ε. En fait, dans la prémisse plus large, le rapport entre les classes « humanité » et « mortalité » est établi, et dans le second, ce n'est plus le rapport des classes, mais de l'individu « Socrate » à la classe « humanité » à laquelle appartient « Socrate ». Ainsi, la prémisse majeure est une implication incontestable, comme on a l'habitude de le dire, mais la prémisse mineure n'est plus une implication, mais la subordination de l'individu à la classe, et précisément du premier type. Cela signifie que la formule du syllogisme analysé sera en réalité : une Ɔ b . ∩ . x ε a : Ɔ : x ε b (I) et nullement la formule d'un syllogisme ordinaire et typique établissant les rapports entre les classes : une Ɔ b . ∩ . c Ɔ a : Ɔ : c Ɔ b (II) Il n'est guère nécessaire de noter la différence significative entre les formules (I) et (II). Il ne faut pas penser que les symboles Ɔ et ε, ayant des significations logiques et ontologiques très différentes, pourraient être impunément mélangés d’un point de vue formel, à des fins de mécanique logistique numérique, et que cette « subtilité » de la distinction des concepts par Pean n’a aucune signification « pragmatique » pour la technique de notation. Loin de là, car les propriétés mêmes des deux relations, c'est-à-dire Ɔ et ε, sont significativement différentes : la relation Ɔ, comme établissant un lien entre des entités ou des termes homogènes (classes, jugements) est transitive, tandis que la relation ε, comme établissant un lien entre des entités hétérogènes (classe et individu) est évidemment intransitive : si a Ɔ b et b Ɔ c, alors il est clair que, d'après la formule une Ɔ b . ∩ . b Ɔ c : Ɔ : a Ɔ c (III), et a Ɔ c ; mais du fait que x ε y et y ε z, il ne s'ensuit pas du tout que x ε z, car si x, en tant qu'individu, est subsumé sous la classe y, et si la classe y, en tant qu'individu, est subsumée sous la classe z, alors z sera déjà par rapport à x une classe de classes, et non seulement une classe, et ne peut donc pas compter x parmi ses éléments, comme partie de son volume ; pour z, le volume est constitué de classes individuelles, et elles-mêmes, pour z, sont déjà indivisibles, indivisibles, indécomposables. Sans prêter attention à l'intransitivité de la relation ε, qui elle-même repose sur la confusion de ε avec Ɔ, on construit souvent des sophismes dont l'exposition formelle et réactive n'est pas toujours facile. Tels sont, par exemple, certains des sophismes de la « comédie philosophique » de Platon Euthydème 850, enfin, du moins en raisonnant comme celui-ci : " L'or est de l'or et ne peut pas être de l'or ; une personne est une personne et ne peut pas être une personne. Par conséquent, votre père Kheredem, - c'est à peu près ce que Socrate dit à Euthydème, - est un père et il ne peut pas être un non-père. Cela signifie qu'il est le père de tous, et non seulement des hommes, mais aussi des chevaux et des autres animaux. De la même manière, votre mère est la mère de tous, la mère des hérissons. Ainsi, vous êtes le frère des veaux, et chiots et porcelets. « Ensuite, vous avez un chien, et il a des chiots et, par conséquent, le chien est leur père. Mais le chien est à toi. Et il est à vous, étant son père, donc votre père est un chien, et vous êtes le frère des chiots. « Ensuite : tu bats ton chien, ça veut dire que tu bats ton père, etc. » Ou voici un autre exemple tiré de « Hippias le Grand » 851 : "Chacun de nous, les deux interlocuteurs, est un et, par conséquent, il est courant que chacun de nous soit un nombre impair. Par conséquent, nous serons tous les deux un nombre impair également lorsque nous sommes deux. Mais si ce n'est pas le cas, si nous sommes tous les deux pairs ensemble, alors chacun de nous séparément est aussi pair, etc." Le raisonnement s'effectue ici selon le schéma suivant : Heredem (individuel) ε votre parent (classe); votre parent (individu) ε parent (classe); parent (classe) = parent (classe); produisant des hérissons, des porcelets, etc. (classe) Ɔ Ɔ créatures en train de donner naissance (classe). Mais il est clair que, du fait de l’intransitivité de l’opération « ε », de ces prémisses il n’est en aucun cas possible de tirer la conclusion que Heredem ε produisant des hérissons, etc. De la même manière, du fait que Pierre (individuel) ε apôtre (classe d'apostolat), c'est-à-dire que Pierre est aussi « douze » et non « un 852 ». Ainsi, de ce qui précède, il devient absolument certain que même d'un point de vue purement formel, l'individu est fondamentalement différent de la classe, même de la classe individuelle, contrairement à l'opinion des logiciens nominalistes, qui cherchaient à interpréter la classe non comme un corps de pensée unique et autonome, mais comme un ensemble d'individus, et contrairement aux aspirations des logiciens positivistes, qui voulaient détruire la nature originelle de l'individu et le réduire à la somme de caractéristiques, c'est-à-dire à une classe unitaire. Une classe « spéciale » ou « unique » - singulière - doit être strictement distinguée du seul individu compris dans son volume : sinon on pourrait écrire pour une telle classe x la formule : ce qui, comme nous l'avons déjà vu, n'a aucun sens, car « ε » est le signe d'une relation entre des termes différents, voire hétérogènes, et non un seul et même terme. Une classe d'unités formée d'un seul élément « x » est donc habituellement désignée par un signe spécial, à savoir ιx, lu : « égal à x », « égal à x » ; ici le symbole « ι » est une abréviation du mot ἴσος, égal. Ce symbole « ι » est formellement défini par l'égalité : c'est-à-dire « ιx est un symbole d'une classe y telle que (ɜ) justifie la fonction propositionnelle (continue) (avec la variable y) « y = y ». Ainsi, en appliquant aux deux côtés de l’égalité écrite l’opération « уɛ », qui amène l’élément individuel « y » égal aux classes « ɩx » et « уɜ (у = x) », et en rappelant que les opérations « yɛ » et « уɜ » se détruisent mutuellement, nous trouvons : y ε ι X . = . y = x(VI), c'est-à-dire l'égalité de deux symboles « ει » et « = », de sorte que Il s'ensuit que, bien que la formule (IV) soit injuste, (pour x = x), c'est-à-dire que l'individu « x » appartient toujours à sa classe d'unités « ɩx ». Si, au contraire, « a » est une classe de parts, alors son seul élément ne peut plus être désigné par « a », mais doit être utilisé par des symboles spéciaux, parmi lesquels le symbole inversé « », qui se lit comme suit : « this a », « le a », « der a », « ὁ a ». De manière générale, le symbole « ɩ » transforme un individu en sa classe d'unités, et inversement, le symbole « » transforme la classe unitaire en individu, on a donc deux égalités. équivalents les uns aux autres; en signes : Tout ce qui a été dit jusqu'à présent est tout à fait juste, car il repose sur la différence essentielle entre la classe individuelle et l'individu. Mais l'individu n'est introduit ici que par le symbole, sans définition. Par conséquent, pour le rationalisme, il y a ici une pierre d’achoppement évidente. Ils essaient de le contourner de la manière suivante : Une classe de parts est définie comme une classe formée par un seul individu. Mais quel est le numéro un ? Et qu’est-ce qu’un « individu » ? La logique mathématique, « selon l’habitude des Mathématiques » 854, ne détermine pas l’individu, mais seulement l’identité des individus. Bien entendu, il ne s’agit pas ici de la « coutume imaginaire des sciences mathématiques », mais de l’impossibilité de définir l’individu comme une réalité supra-rationnelle. Tenter de déterminer l'identité des individus permet de remplacer la question de l'identité numérique réelle par une question d'attribut, de similarité formelle, c'est-à-dire de raisonnement - impossible ! - sur les individus - raisonner sur des concepts les concernant, c'est-à-dire sur des classes. Cette substitution est faite délibérément et elle est profondément significative, surtout après la distinction décisive entre individus et classes. Ainsi, « deux individus k et l sont dits identiques si le second appartient à toute classe à laquelle le premier participe - on dira que les deux individus k et l sont identiques, si le second appartient à toute classe dont le premier fait partie » 855. Symboliquement, cette définition s'exprime par la formule : k ≡ l : k ε une. Ɔa. l ε a (XI). Ici « α ≡ » est un signe d'identité, et le pointeur « a » pour Ɔ signifie que l'implication écrite est valable pour tout a qui satisfait à l'inclusion « k ε a » 856. En même temps, l'attention est attirée sur le fait que « l'identité des individus est logiquement différente de l'égalité des classes, tout comme les individus k et I sont différents des classes individuelles ɩ k et ɩ l » 857. Comment comprendre cette formule ? – Rien de plus que la définition du signe « α ≡ ». La formule (XI) dit que lorsque nous rencontrons une combinaison graphique de tirets et de lettres sans précédent, une « image » ce qui n'a donc aucun sens, alors, désormais, une fois pour toutes, nous voulons, croyons, nous exigeons d'entendre par là rien d'autre qu'une désignation abrégée et conventionnelle d'une implication qui nous est déjà claire ou, plus précisément, un ensemble d'implications, avec toutes les valeurs possibles de la variable « a », dont le champ de changement est déterminé par la fonction « k e a », c'est-à-dire, répétons-le encore une fois, par « k ≡ l » nous voulons entendre une désignation abrégée pour l'expression où P est le signe de la multiplication logique de tous les facteurs obtenus pour toutes les valeurs possibles de a. C'est ce système d'implication, qui ne parle que du rapport entre les appartenances, - ε, - des individus « k » et « l » aux classes « a », que l'on s'accorde à appeler l'identité des individus. Mais nous ne savons toujours pas logiquement ce qu'est un individu, nous n'avons pas le concept d'individu et, par conséquent, nous posons le terme seulement de manière purement symbolique, comme signe de quelque chose (- n'importe quoi, mais pas une classe ou un jugement ou une relation -) qui peut être dans une relation « d'identité » ; par identité, nous entendons une formule complexe en relation avec ce « quelque chose » pour les classes. Nous répétons encore une fois qu'ici, de la manière la plus évidente, surgissent l'impuissance de la pensée logique face à l'être concret, c'est-à-dire l'être individuel, et la pitié ( - la pitié nécessaire ! - ) des tentatives de l'esprit de remplacer l'être individuel par du rationnel-figuratif - mais pas du rationnel ! - termes. – De plus, comme indiqué, la question de la détermination du caractère unique de la classe reste ouverte. Comment, en effet, déterminer, en termes rationnels, que la classe ɩa est singulière, c’est-à-dire qu’elle ne contient qu’un seul élément – ​​qu’il n’y a qu’un seul a ? – Ceci est obtenu en indiquant deux caractéristiques de la classe ɩa : premièrement, qu’elle contient des éléments, c’est-à-dire qu’il s’agit d’une classe non nulle ; deuxièmement, s’il existait deux éléments de ce type, à savoir x et y, alors ils seraient identiques l’un à l’autre. Le fait que la classe ɩa ne soit pas nulle s'exprime par la formule négative : et « n'est pas » (– =) Λ (XIV), où Λ est le signe de la classe zéro, ou bien, sous une forme plus pratique, positive : Ainsi, la singularité de la classe ɩa s’exprimera à travers les formules : une – = Λ : x ε une . oui ε a. x,y. x ≡ y (XVII), Ǝa. X ε une . y ε une . x,y. x ≡ y (XVIII) 859 , c'est-à-dire que pour tout x et y appartenant à la classe ɩа, l'implication écrite reste vraie. Il est à peine besoin de souligner que tout ce qui a été dit sur la définition logique de l'identité s'applique également à cette définition de la singularité, car la singularité n'est qu'un cas particulier de l'identité, à savoir l'identité à soi, l'identité à soi. S'agissant enfin de la logique des relations, des relations, il nous faut ici naturellement résoudre la question des relations entre les individus. Dans ce département de logique mathématique, on considère comme un axiome qu'il existe toujours une relation entre les individus, qui est elle-même individuelle, elle-même représentée par un individu unique. « Entre deux individus donnés, dit l’axiome, il existe une relation particulière – singulière – qui n’existe pas entre deux autres individus. » Cependant, cette relation particulière s’explique, comme on pourrait s’y attendre, dans un sens formel et non dans un sens réel. Cela ressort clairement des explications qui suivent cet axiome. « Du point de vue volume - extension, disent-ils, cet axiome est évident, car le couple en question suffit à déterminer une relation différente de toutes les autres. Du point de vue du contenu, on peut dire que si l'on considère la totalité - l'ensemble - de toutes les relations qui existent entre deux individus donnés, alors la même totalité n'existe entre aucune autre paire d'individus ; en d'autres termes, si une certaine paire a toutes les relations d'une autre paire, alors ces deux paires sont identiques, ce qui s'écrit ainsi : x1 R y 1 · ƆR · x 2 R y2 : Ɔ : x 1 ≡ x2 · y 1 ≡ y2 (XIX) 860 Ici le signe ƆR montre que la complication du côté gauche est valable pour toute relation R pouvant relier x 1 et y 1 . Ainsi, individuelle, c'est-à-dire spécifiquement, la relation se décompose à nouveau en un certain nombre de relations générales, c'est-à-dire abstraites, - toutes les relations abstraites incluses dans la composition de celle-ci en particulier. Mais, outre l’absurdité ontologique d’une telle assimilation du concret à la somme des abstractions, la question se pose de la légalité d’une telle définition, même dans le domaine purement formel. Après tout, cela repose entièrement sur le concept de « toutes » les relations entre une paire d’éléments donnée. Sans compter que le concept même de « tout » n'est pas encore défini dans la logique mathématique, surtout lorsqu'il se rapporte au groupe des groupes super-finis, il est douteux. Est-il possible, en général, d'avoir un concept défini sur le groupe de « toutes » les relations non pas entre classes, mais entre individus. Mais c’est ce qui nécessite une preuve, car il n’est pas du tout clair (et c’est difficilement acceptable du tout) qu’un groupe transfini d’abstractions puisse épuiser le concret. Si la spécificité peut être considérée sous un angle de vision formel-rationnel, alors elle ne peut sans aucun doute être introduite dans la spéculation formelle que sous l’apparence d’une limite, c’est-à-dire comme un maximum absolu. Mais le concept d'un tel n'a pas encore été développé, à l'exception d'une tentative totalement inconnue de l'Archimandrite. Sérapion - et d'ailleurs, on ne sait pas si une telle chose peut même exister en relation avec des individus. Après tout, des individus spécifiques possèdent de la créativité, sont capables de créer des relations absolues et imprévues qui ne sont pas incluses dans un groupe arbitrairement volumineux de relations toutes faites - en un mot, ils dépassent tout concept préconçu à leur sujet : selon les mots d'A. Bergson, « la vie déborde l'intelligence - la vie émerge des rives de la raison », et cela arrive toujours. Plat. , – Euthydème (pp. Soloviev, vol. 2, p. 145). Pl. , – Hippius le Majeur, id., vol. 2, p. 133-140. Cout., – Pr. d. M., p. 51-52.