XIX. Понятие тождества в математической логике (к стр. 81).

El deseo de excluir del ámbito de la ciencia cualquier discurso sobre identidad numérica, como se esperaba, aparece más claramente allí donde el método científico es generalmente más riguroso y preciso, es decir, en la lógica matemática moderna o la llamada logística. Aquí, en el “cálculo de clases”, la identidad de los individuos se define de manera bastante estricta, y se define precisamente como su pertenencia conjunta a cualquier clase a la que cada uno de ellos pueda pertenecer generalmente, es decir, en otras palabras, como la posibilidad de que cualquier combinación de características de un individuo encuentre una combinación correspondiente e igual de características de otro. Está claro que aquí la identidad numérica es sustituida por una identidad específica. La importancia de esta sustitución es aún más definida porque en lógica matemática un individuo se distingue estrictamente de una clase única o especial que le corresponde (una clase con un volumen de “uno”) y que, en el “cálculo de relaciones”, se postula un axioma importante, según el cual cada par de individuos dados tiene una relación especial que no existe entre otros dos individuos, es decir, una relación exclusivamente peculiar de este par. Y, sin embargo, a pesar de estas sutiles distinciones, la identidad de los individuos se descompone enteramente en la ciencia moderna en un conjunto de características comunes, de modo que el carácter real del individuo, como portador de sus características, a diferencia de su carácter formal, nuevamente sólo se afirma, pero no se expresa en absoluto. Esto demuestra una vez más que la identidad numérica sólo puede confiarse o afirmarse simbólicamente, pero no se define, formula ni expresa lógicamente. Después de estas observaciones generales, recordemos brevemente cómo se expresan estas definiciones en los signos simbólicos de la logística. Como es sabido, lo que más llama la atención aquí es la distinción decisiva entre las relaciones de “implicación” e “inclusión”, es decir, la inclusión de un juicio o clase en otro juicio o clase, de la operación de subordinación de un individuo a una clase o, en consecuencia, a un juicio. Ɔ es un signo tanto de implicación como de inclusión; ε - relativo a la clase - el signo de la operación de establecimiento de correspondencia (abreviatura ἐστί), yz - el signo de la misma operación con respecto a la sentencia. Esta distinción, reforzada por la diferencia de signos, es sumamente importante. Sin embargo, el habla ordinaria confunde ambos tipos de relaciones, es decir, la implicación con la inclusión y la operación de correspondencia, bajo la designación general del conectivo “es”, “esencia”; Los lógicos los identificaron durante mucho tiempo, y sólo Peano los registró por primera vez, y aun así gracias al simbolismo que inventó. Para hacer más clara la diferencia entre la operación Ɔ y la operación de correspondencia, tomemos, por ejemplo, un silogismo ordinario: mayor: Todo hombre es mortal. conclusio: Por tanto, Sócrates es mortal. No se debe pensar que los símbolos Ɔ y ε, que tienen significados lógicos y ontológicos muy diferentes, puedan mezclarse impunemente desde un punto de vista formal, para los propósitos de la mecánica logística numérica, y que esta “sutileza” de la distinción de conceptos de Pean no tenga significado “pragmático” para la técnica de notación. Lejos de ello, porque las propiedades mismas de ambas relaciones, es decir, Ɔ y ε, son significativamente diferentes: la relación Ɔ, en cuanto que establece una conexión entre entidades o términos homogéneos (clases, juicios) es transitiva, mientras que la relación ε, en cuanto que establece una conexión entre entidades heterogéneas (clase e individuo) es obviamente intransitiva: si a Ɔ b y b Ɔ c, entonces está claro que, según la fórmula a Ɔ b . ∩. b Ɔ c: Ɔ: a Ɔ c (III), y a Ɔ c; pero del hecho de que x ε y y y ε z, no se sigue en absoluto que x ε z, porque si x, como individuo, está subsumido en la clase y, y la clase y, como individuo, está subsumida en la clase z, entonces z ya será en relación con x una clase de clases, y no simplemente una clase, y por lo tanto no puede contar x entre sus elementos, como parte de su volumen; para z, el volumen consta de clases individuales, y ellas mismas, para z, ya son indivisibles, indivisibles, indescomponibles. Al no prestar atención a la intransitividad de la relación ε, que a su vez se basa en la confusión de ε con Ɔ, a menudo se construyen sofismas, cuya exposición formal y responsiva no siempre es fácil. Tales son, por ejemplo, algunos de los sofismas de la “comedia filosófica” de Platón, Eutidemo 850, bueno, al menos razonamientos como los siguientes: "El oro es oro y no puede ser oro; una persona es una persona y no puede no ser una persona. Por lo tanto, tu padre Jeredem, aproximadamente esto es lo que Sócrates le dice a Eutidemo, es un padre y no puede ser un no-padre. Esto significa que él es el padre de todos, y no sólo de las personas, sino también de los caballos y otros animales. De la misma manera, tu madre es la madre de todos, la madre de los erizos. Así que eres hermano de los terneros y de los cachorros, y lechones. “Entonces tienes un perro y él tiene cachorros y, por lo tanto, el perro es su padre. Pero el perro es tuyo. Y él es tuyo, siendo su padre, entonces tu padre es un perro y tú eres un hermano de los cachorros. “Siguiente: le pegaste a tu perro, eso significa que le pegaste a tu padre, etc.” O aquí hay otro ejemplo de “Hipias el Mayor” 851: "Cada uno de nosotros, los dos interlocutores, somos uno y, por tanto, es común que cada uno de nosotros sea un número impar. En consecuencia, los dos juntos también seremos un número impar cuando seamos dos. Pero si esto no es así, si los dos juntos somos pares, entonces cada uno por separado también es par, etc." El razonamiento se realiza aquí según el siguiente esquema: Heredem (individuo) ε tu padre (clase); su padre (individuo) ε padre (clase); padre(clase) = padre(clase); produciendo erizos, lechones, etc. (clase) Ɔ Ɔ criaturas que dan a luz (clase). Pero está claro que, debido a la intransitividad de la operación “ε”, a partir de estas premisas no es posible sacar la conclusión de que Heredem ε produciendo erizos, etc. De la misma manera, del hecho de que Pedro (individuo) ε apóstol (clase de apostolado), es decir, que Pedro también es “doce”, y no “uno 852. Así, de lo dicho se desprende absolutamente que incluso desde un punto de vista puramente formal, el individuo es fundamentalmente diferente de la clase, incluso de la clase individual, contrariamente a la opinión de los lógicos nominalistas, que intentaron interpretar la clase no como un cuerpo de pensamiento único y autónomo, sino como un conjunto de individuos, y contra las aspiraciones de los lógicos positivistas, que querían destruir la naturaleza original del individuo y reducirlo a la suma de características, es decir, a una clase unitaria. Una clase “especial” o “única” -singulière- debe distinguirse estrictamente del único individuo incluido en su volumen: de lo contrario, se podría escribir para tal clase x la fórmula: lo cual, como ya hemos visto, no tiene sentido, pues “ε” es un signo de una relación entre términos diferentes e incluso heterogéneos, y no uno solo. Por lo tanto, una clase de unidad formada a partir de un único elemento “x” suele denotarse con un signo especial, a saber, ιx, que se lee: “igual a x”, “égal à x”; aquí el símbolo “ι” es una abreviatura de la palabra ἴσος, igual. Este símbolo "ι" está formalmente definido por la igualdad: es decir, “ιx es un símbolo de una clase y tal que (ɜ) justifica la función proposicional (continua) (con variable y) “y = y”. Por lo tanto, aplicando a ambos lados de la igualdad escrita la operación “уɛ”, que iguala el elemento individual “y” a las clases “ɩx” y “уɜ (у = x)”, y recordando que las operaciones “yɛ” y “уɜ” se destruyen mutuamente, encontramos: y ε ι x . = . y = x(VI), es decir, la igualdad de dos símbolos “ει” y “=", de modo que De ello se deduce que, aunque la fórmula (IV) es injusta, sin embargo (para x = x), es decir, que el individuo “x” siempre pertenece a su clase unitaria “ɩx”. Si, por el contrario, “a” es una clase de participaciones, entonces su único elemento ya no podrá designarse mediante “a”, sino que deberá utilizarse mediante símbolos especiales, entre los que se incluye el símbolo invertido “. ”, que dice: “esta a”, “le a”, “der a”, “ὁ a”. En general, el símbolo "ɩ" transforma a un individuo en su clase unidad, y viceversa, el símbolo " » transforma la clase de unidad en un individuo, por lo que tenemos dos igualdades. equivalentes entre sí; en signos: Todo lo dicho hasta ahora es completamente justo, porque se basa en la diferencia esencial entre la clase individual y el individuo. Pero aquí el individuo sólo es introducido por el símbolo, sin definición. Por lo tanto, para el racionalismo hay aquí un obstáculo evidente. Intentan solucionarlo de la siguiente manera: Una clase unitaria se define como una clase formada por un solo individuo. ¿Pero cuál es el número uno? ¿Y qué es un “individuo”? La lógica matemática, “según la costumbre de las ciencias matemáticas –selon l’habitude des Mathématiques” 854 no determina al individuo, sino sólo la identidad de los individuos. Por supuesto, la cuestión aquí no está en absoluto en la imaginaria "costumbre de las ciencias matemáticas", sino en la imposibilidad de definir al individuo como una realidad supraracional. Un intento de determinar la identidad de los individuos permite reemplazar la cuestión de la identidad numérica real por una cuestión de atributo, similitud formal, es decir, razonamiento, ¡imposible! - sobre individuos - razonamiento sobre conceptos sobre ellos, es decir, sobre clases. Esta sustitución se hace deliberadamente y es profundamente significativa, especialmente después de la distinción decisiva entre individuos y clases. Así, “dos individuos k y l se dicen idénticos si el segundo pertenece a cada clase en la que participa el primero - on dira que les deux individus k et l sont identiques, si le second appartient à toute classe dont le premier fait partie” 855. Simbólicamente, esta definición se expresa mediante la fórmula: k ≡ l: k ε a. Ɔa. l ε a (XI). Aquí “α ≡” es un signo de identidad, y el puntero “a” para Ɔ significa que la implicación escrita es válida para cualquier a que satisfaga la inclusión “k ε a” 856. Al mismo tiempo, se llama la atención sobre el hecho de que “la identidad de los individuos es lógicamente diferente de la igualdad de clases, así como los individuos k e I son diferentes de las clases individuales ɩ k y ɩ l” 857. ¿Cómo podemos entender esta fórmula? – Nada más que la definición del signo “α ≡”. La fórmula (XI) dice que cuando nos encontramos con una combinación gráfica de guiones y letras sin precedentes, aparece una “imagen” lo cual, por tanto, no tiene significado alguno, entonces, de ahora en adelante, de una vez por todas, queremos, creemos, exigimos entender por ello nada más que una designación abreviada y convencional de una implicación que ya nos resulta clara. o, más precisamente, un conjunto de implicaciones, con todos los valores posibles de la variable “a”, cuyo campo de cambio está determinado por la función “k e a”, es decir, repetimos una vez más, por “k ≡ l” queremos referirnos a una designación abreviada de la expresión donde P es el signo de la multiplicación lógica de todos los factores obtenidos para todos los valores posibles de a. Es este sistema de implicación, que habla sólo de la relación entre las pertenencias, - ε, - de los individuos “k” y “l” a las clases “a”, lo que aceptamos llamar identidad de los individuos. Pero todavía no sabemos lógicamente qué es un individuo, no tenemos el concepto de individuo y, por lo tanto, sólo planteamos el término puramente simbólicamente, como un signo de algo (-cualquier cosa, pero no una clase o un juicio o una relación-) que puede estar en una relación de “identidad”; Por identidad entendemos alguna fórmula compleja en relación con este “algo” a las clases. Repetimos una vez más que surge aquí, de la manera más evidente, la impotencia del pensamiento lógico frente al ser concreto, es decir, el ser individual, y la lástima (-¡necesaria lástima!-) de los intentos de la mente de sustituir el ser individual por el racional-figurativo - ¡pero no racional! - términos. – Además, como ya hemos dicho, la cuestión de determinar la unicidad de la clase sigue abierta. De hecho, ¿cómo se puede determinar, en términos racionales, que la clase ɩa es singular, es decir, que contiene sólo un elemento, es decir, que hay sólo un a? – Esto se logra indicando dos características de la clase ɩa: en primer lugar, que contiene elementos, es decir, que es una clase distinta de cero; en segundo lugar, que si existieran dos de esos elementos, a saber, x e y, entonces serían idénticos entre sí. Que la clase ɩa no sea cero se expresa mediante la fórmula negativa: y “no es” (– =) Λ (XIV), donde Λ es el signo de la clase cero, o bien, en una forma positiva más conveniente: Así, la singularidad de la clase ɩa se expresará mediante las fórmulas: a – = Λ: x ε a . y ε a. Ɔx,y. x ≡ y (XVII), Ǝa. x ε a . y ε a . Ɔx,y. x ≡ y (XVIII) 859 , es decir, para cualquier xey que pertenezca a la clase ɩа, la implicación escrita sigue siendo verdadera. No es necesario señalar que todo lo dicho sobre la definición lógica de identidad se aplica también a esta definición de singularidad, pues la singularidad es sólo un caso especial de identidad, es decir, la identidad consigo mismo, la autoidentidad. Volviendo, finalmente, a la lógica de las relaciones -relations-, aquí naturalmente debemos resolver la cuestión de las relaciones entre individuos. En este departamento de lógica matemática se toma como axioma que siempre existe una relación entre individuos, en sí mismos individuales, a su vez representados por un individuo único. “Entre dos individuos dados”, dice el axioma, “existe una relación especial (singulière) que no existe entre otros dos individuos”. Sin embargo, esta relación especial se explica, como era de esperar, en un sentido formal y no en un sentido real. Esto queda claro a partir de las explicaciones que siguen a este axioma. “Desde el punto de vista del volumen - extensión”, dicen, “este axioma es obvio, porque el par en cuestión es suficiente para determinar una relación diferente a todas las demás. Desde el punto de vista del contenido, podemos decir que si consideramos la totalidad -l'ensemble- de todas las relaciones que existen entre dos individuos dados, entonces la misma totalidad no existe entre ningún otro par de individuos; en otras palabras, si un determinado par tiene todas las relaciones de otro par, entonces estos dos pares son idénticos, lo cual se escribe así: x1 R y 1 · ƆR · x 2 R y2 : Ɔ: x 1 ≡ x2 · y 1 ≡ y2 (XIX) 860 Aquí el signo ƆR muestra que la complicación del lado izquierdo es válida para cualquier relación R que pueda conectar x 1 e y 1 . Entonces, individual, es decir, específicamente, la relación nuevamente se descompone en una serie de generales, es decir, abstractas, todas las relaciones abstractas incluidas en la composición de esta en particular. Pero además de la insensatez ontológica de equiparar lo concreto con la suma de abstracciones, surge la pregunta sobre la legalidad de tal definición, incluso en el ámbito puramente formal. Después de todo, se basa enteramente en el concepto de “todas” las relaciones entre un par de elementos determinado. Sin mencionar que el concepto mismo de "todo" aún no está definido en la lógica matemática, especialmente cuando se relaciona con el grupo de grupos superfinitos, es dudoso que sea posible, en general, tener un concepto definido sobre el grupo de "todos" las relaciones no entre clases, sino entre individuos. Pero esto es lo que requiere prueba, porque no está del todo claro (y es difícilmente aceptable) que un grupo transfinito de abstracciones pueda agotar la concreción. Si la especificidad puede considerarse desde un ángulo de visión formal-racional, entonces, sin duda, puede introducirse en la especulación formal sólo bajo la apariencia de un límite, es decir, como un máximo absoluto. Pero el concepto de esto aún no se ha desarrollado, excepto por un intento completamente desconocido de Archimandrita. Serapion, y además, no está claro si tal cosa puede existir en relación con los individuos. Después de todo, los individuos específicos poseen creatividad, son capaces de crear relaciones absolutas e imprevistas que no están incluidas en un grupo arbitrariamente voluminoso de relaciones prefabricadas; en una palabra, superan cualquier concepto preconcebido sobre ellas: en palabras de A. Bergson, "la vie déborde l'intelligence - la vida surge de las orillas de la razón", y esto siempre sucede. Plano. , – Eutidemo (págs. Soloviev, vol. 2, p. 145). pl. , – Hipio el Mayor, id., vol. 2, págs. 133-140. Cout., – Pr. d. M., págs. 51–52.