XIX. Понятие тождества в математической логике (к стр. 81).

Der Wunsch, erwartungsgemäß jede Diskussion über numerische Identität aus dem Bereich der Wissenschaft auszuschließen, zeigt sich am deutlichsten dort, wo die wissenschaftliche Methode im Allgemeinen am strengsten und präzisesten ist, nämlich in der modernen mathematischen Logik oder der sogenannten Logistik. Hier wird in der „Klassenrechnung“ die Identität von Individuen recht streng definiert und genau definiert als ihre gemeinsame Zugehörigkeit zu einer beliebigen Klasse, zu der jeder von ihnen allgemein gehören kann, also mit anderen Worten als die Möglichkeit für jede Kombination von Merkmalen eines Individuums, eine entsprechende und gleiche Kombination von Merkmalen eines anderen zu finden. Es ist klar, dass hier die numerische Identität durch eine spezifische Identität ersetzt wird. Die Bedeutung dieser Substitution ist umso deutlicher, als in der mathematischen Logik ein Individuum strikt von einer einzelnen oder speziellen Klasse, die ihm entspricht (einer Klasse mit dem Volumen „Eins“), unterschieden wird und in der „Beziehungsrechnung“ ein wichtiges Axiom postuliert wird, wonach jedes Paar gegebener Individuen eine besondere Beziehung hat, die zwischen keinem anderen Individuum besteht, d. h. eine Beziehung, die ausschließlich diesem Paar eigen ist. Und doch wird die Identität von Individuen trotz dieser subtilen Unterscheidungen in der modernen Wissenschaft vollständig in eine Reihe gemeinsamer Merkmale zerlegt, so dass der wahre Charakter des Individuums als Träger seiner Merkmale im Gegensatz zu seinem formalen Charakter wiederum nur bestätigt, aber überhaupt nicht zum Ausdruck gebracht wird. Dies beweist einmal mehr, dass numerische Identität nur symbolisch begründet oder behauptet werden kann, aber nicht logisch definiert, formuliert oder ausgedrückt wird. Nach diesen allgemeinen Bemerkungen erinnern wir uns kurz daran, wie diese Definitionen in den symbolischen Zeichen der Logistik zum Ausdruck kommen. Am auffälligsten ist hier bekanntlich die entscheidende Unterscheidung zwischen den Beziehungen von „Implikation“ und „Inklusion“, d. Ɔ ist ein Zeichen sowohl für Implikation als auch für Inklusion; ε – relativ zur Klasse – das Vorzeichen der Korrespondenzherstellungsoperation (Abkürzung ἐστί) und z – das Vorzeichen derselben Operation bezüglich des Urteils. Diese Unterscheidung, verstärkt durch den Unterschied der Vorzeichen, ist äußerst wichtig. Die gewöhnliche Sprache verwechselt jedoch beide Arten von Beziehungen, d. Logiker identifizierten sie schon lange, und nur Peano zeichnete sie als Erster auf, und selbst dann dank der von ihm erfundenen Symbolik. Um den Unterschied zwischen der Operation Ɔ und der Korrespondenzoperation deutlicher zu machen, nehmen wir zum Beispiel einen gewöhnlichen Syllogismus: Major: Jeder Mensch ist sterblich. Fazit: Daher ist Sokrates sterblich. Der Konnektiv der Hauptprämisse ist hier Ɔ, wie üblicherweise angenommen wird, aber der Konnektiv der Nebenprämisse ist überhaupt nicht Ɔ, wie fast die gesamte Mehrheit der Logiker zu denken neigt, sondern – ε. Tatsächlich wird in der größeren Prämisse das Verhältnis der Klassen „Menschheit“ und „Sterblichkeit“ hergestellt, und im zweiten ist es nicht mehr das Verhältnis von Klassen, sondern des einzelnen „Sokrates“ zur Klasse „Menschheit“, zu der „Sokrates“ gehört. Die Hauptprämisse ist also, wie man sagt, zweifellos eine Implikation, aber die Nebenprämisse ist keine Implikation mehr, sondern die Unterordnung des Individuums unter die Klasse, und zwar von der ersten Art. Das bedeutet, dass die Formel des analysierten Syllogismus tatsächlich wie folgt lautet: a Ɔ b . ∩ . x ε a: Ɔ: x ε b (I) und überhaupt nicht die Formel eines gewöhnlichen, typischen Syllogismus, der die Beziehung zwischen Klassen herstellt: a Ɔ b . ∩ . c Ɔ a: Ɔ: c Ɔ b (II) Es ist kaum notwendig, den signifikanten Unterschied zwischen den Formeln (I) und (II) zu beachten. Man sollte nicht denken, dass die Symbole Ɔ und ε, die sehr unterschiedliche logische und ontologische Bedeutungen haben, aus formaler Sicht ungestraft für die Zwecke der numerischen Logistikmechanik vermischt werden könnten und dass diese „Feinheit“ von Peans Unterscheidung der Begriffe keine „pragmatische“ Bedeutung für die Technik der Notation hat. Weit gefehlt, denn die eigentlichen Eigenschaften beider Relationen, also Ɔ und ε, unterscheiden sich erheblich: Die Relation Ɔ, da sie eine Verbindung zwischen homogenen Entitäten oder Begriffen (Klassen, Urteile) herstellt, ist transitiv, während die Relation ε, da sie eine Verbindung zwischen heterogenen Entitäten (Klasse und Individuum) herstellt, offensichtlich intransitiv ist: Wenn a Ɔ b und b Ɔ c, dann ist das laut Formel klar a Ɔ b . ∩ . b Ɔ c: Ɔ: a Ɔ c (III) und a Ɔ c; aber aus der Tatsache, dass x ε y und y ε z, folgt keineswegs, dass x ε z, denn wenn x als Individuum unter die Klasse y subsumiert wird und die Klasse y als Individuum unter die Klasse z subsumiert wird, dann wird z in Bezug auf x bereits eine Klasse von Klassen und nicht nur eine Klasse sein und kann daher x nicht zu seinen Elementen, als Teil seines Volumens, zählen; Für z besteht das Volumen aus einzelnen Klassen, und sie selbst sind für z bereits unteilbar, unteilbar, unzerlegbar. Unter Vernachlässigung der Intransitivität der Relation ε, die wiederum auf der Verwechslung von ε mit Ɔ beruht, werden häufig Sophismen konstruiert, deren formale und reaktionsfähige Offenlegung nicht immer einfach ist. Dies sind zum Beispiel einige der Sophismen in Platons „philosophischer Komödie“ Euthydemus 850, zumindest mit der folgenden Begründung: „Gold ist Gold und kann kein Nicht-Gold sein; ein Mensch ist ein Mensch und kann kein Nicht-Mensch sein. Folglich ist dein Vater Kheredem – ungefähr das sagt Sokrates zu Euthydemos – ein Vater und er kann kein Nicht-Vater sein. Das bedeutet, dass er der Vater aller ist, und zwar nicht nur der Menschen, sondern auch der Pferde und anderer Tiere. Ebenso ist deine Mutter die Mutter aller, die Mutter der Igel. Du bist also ein Bruder der Kälber und.“ Welpen und Ferkel. „Dann haben Sie einen Hund, und er hat Welpen, und daher ist der Hund ihr Vater. Aber der Hund gehört dir. Und er gehört dir, da er sein Vater ist, also ist dein Vater ein Hund, und du bist ein Bruder der Welpen. „Als nächstes: Du schlägst deinen Hund, das heißt, du schlägst deinen Vater usw.“ Oder hier ist ein weiteres Beispiel aus „Hippias der Ältere“ 851: „Jeder von uns, die beiden Gesprächspartner, ist eins und deshalb ist es üblich, dass jeder von uns eine ungerade Zahl ist. Folglich werden wir beide zusammen auch eine ungerade Zahl sein, wenn wir zu zweit sind. Aber wenn das nicht so ist, wenn wir beide zusammen gerade sind, dann ist jeder von uns einzeln auch gerade usw.“ Die Argumentation erfolgt hier nach folgendem Schema: Heredem (Einzelperson) ε dein Elternteil (Klasse); dein Elternteil (Einzelperson) ε Elternteil (Klasse); parent(class) = parent(class); Produktion von Igeln, Ferkeln usw. (Klasse) Ɔ Ɔ gebärende Kreaturen (Klasse). Es ist jedoch klar, dass aufgrund der Intransitivität der Operation „ε“ aus diesen Prämissen keinesfalls die Schlussfolgerung gezogen werden kann, dass Heredem ε produziert Igel usw. Ebenso aus der Tatsache, dass Petrus (Einzelperson) ε Apostel (Klasse des Apostelamtes), d.h. dass Petrus auch „zwölf“ ist und nicht „eins“ 852. Aus dem Gesagten wird also absolut sicher, dass sich das Individuum auch aus rein formaler Sicht grundlegend von der Klasse, sogar von der individuellen Klasse unterscheidet, im Gegensatz zur Meinung der nominalistischen Logiker, die die Klasse nicht als ein einziges und in sich geschlossenes Gedankengebäude, sondern als eine Ansammlung von Individuen interpretieren wollten, und im Gegensatz zu den Bestrebungen der positivistischen Logiker, die die ursprüngliche Natur des Individuums zerstören und es auf die Summe seiner Merkmale, d. h. auf eine Einheitsklasse, reduzieren wollten. Eine „spezielle“ oder „einzelne“ – Singulière – Klasse muss streng von dem einzigen in ihrem Band enthaltenen Individuum unterschieden werden: andernfalls könnte man für eine solche Klasse x die Formel schreiben: was, wie wir bereits gesehen haben, bedeutungslos ist, denn „ε“ ist ein Zeichen für eine Beziehung zwischen verschiedenen und sogar heterogenen Begriffen und nicht für ein und dasselbe. Eine aus einem einzelnen Element „x“ gebildete Einheitenklasse wird daher üblicherweise mit einem Sonderzeichen bezeichnet, nämlich ιx, sprich: „gleich x“, „égal à x“; hier ist das Symbol „ι“ eine Abkürzung des Wortes ἴσος, gleich. Dieses Symbol „ι“ wird formal durch die Gleichheit definiert: d.h. „ιx ist ein Symbol einer Klasse y, so dass (ɜ) die aussagekräftige (kontinuierliche) Funktion (mit Variable y) „y = y“ rechtfertigt. Wenn wir also auf beide Seiten der geschriebenen Gleichheit die Operation „уɛ“ anwenden, die das einzelne Element „y“ den Klassen „ɩx“ und „уɜ (у = x)“ gleichsetzt, und uns daran erinnern, dass sich die Operationen „yɛ“ und „уɜ“ gegenseitig zerstören, finden wir: y ε ι x . = . y = x(VI), d.h. die Gleichheit zweier Symbole „ει“ und „=“, so dass Daraus folgt, dass Formel (IV) zwar ungerecht ist, jedoch (für x = x), d. h. dass das Individuum „x“ immer zu seiner Einheitenklasse „ɩx“ gehört. Handelt es sich hingegen bei „a“ um eine Einheitenklasse, so kann deren einziges Element nicht mehr durch „a“ bezeichnet werden, sondern muss durch Sonderzeichen verwendet werden, zu denen auch das invertierte Symbol „ “, was lautet: „this a“, „le a“, „der a“, „ὁ a“. Im Allgemeinen transformiert das Symbol „ɩ“ ein Individuum in seine Einheitenklasse und umgekehrt das Symbol „ » wandelt die Einheitenklasse in ein Individuum um, sodass wir zwei Gleichheiten haben. einander gleichwertig; in Zeichen: Alles bisher Gesagte ist völlig berechtigt, denn es beruht auf dem wesentlichen Unterschied zwischen der einzelnen Klasse und dem Einzelnen. Aber das Individuum wird hier nur durch das Symbol vorgestellt, ohne Definition. Für den Rationalismus liegt hier also ein offensichtlicher Stolperstein. Sie versuchen es auf folgende Weise zu umgehen: Eine Einheitsklasse ist definiert als eine Klasse, die von einer einzelnen Person gebildet wird. Aber was ist die Nummer eins? Und was ist ein „Individuum“? Die mathematische Logik bestimmt „nach der Sitte der mathematischen Wissenschaften – selon l’habitude des Mathématiques“ 854 nicht das Individuum, sondern nur die Identität von Individuen. Natürlich geht es hier überhaupt nicht um den imaginären „Gebrauch der mathematischen Wissenschaften“, sondern um die Unmöglichkeit, das Individuum als überrationale Realität zu definieren. Der Versuch, die Identität von Individuen zu bestimmen, ermöglicht es, die Frage nach der tatsächlichen numerischen Identität durch eine Frage nach Attributen, formaler Ähnlichkeit, d. h. Argumentation zu ersetzen – unmöglich! - über Individuen - Argumentation über Konzepte über sie, d. h. über Klassen. Diese Substitution erfolgt bewusst und ist von großer Bedeutung, insbesondere nach der entscheidenden Unterscheidung zwischen Individuen und Klassen. „Zwei Individuen k und l gelten als identisch, wenn das zweite zu jeder Klasse gehört, an der das erste teilnimmt – on dira que les deux individus k et l sont identiques, si le second appartient à toute classe dont le Premier fait partie“ 855. Symbolisch wird diese Definition durch die Formel ausgedrückt: k ≡ l: k ε a. Ɔa. l ε a (XI). Hier ist „α ≡“ ein Identitätszeichen, und der Zeiger „a“ für Ɔ bedeutet, dass die schriftliche Implikation für jedes a gültig ist, das die Inklusion „k ε a“ erfüllt 856. Gleichzeitig wird darauf hingewiesen, dass „die Identität von Individuen logisch von der Gleichheit von Klassen verschieden ist, so wie sich die Individuen k und I von den individuellen Klassen ɩ k und ɩ l unterscheiden“ 857. Wie können wir diese Formel verstehen? – Nichts weiter als die Definition des Zeichens „α ≡“. Formel (XI) besagt, dass, wenn wir auf eine bisher beispiellose grafische Kombination aus Strichen und Buchstaben stoßen, ein „Bild“ das also keine Bedeutung hat, dann wollen, glauben, fordern wir von nun an ein für alle Mal darunter nichts anderes zu verstehen als eine verkürzte, konventionelle Bezeichnung einer uns bereits klaren Implikation oder genauer gesagt, eine Menge von Implikationen mit allen möglichen Werten der Variablen „a“, deren Änderungsbereich durch die Funktion „k e a“ bestimmt wird, d. h. wir wiederholen es noch einmal, mit „k ≡ l“ wollen wir eine Kurzbezeichnung für den Ausdruck meinen wobei P das Vorzeichen der logischen Multiplikation aller Faktoren ist, die für alle möglichen Werte von a erhalten werden. Es ist dieses Implikationssystem, das nur über die Beziehung zwischen den Zugehörigkeiten - ε, - der Individuen „k“ und „l“ zu den Klassen „a“ spricht, das wir als Identität von Individuen bezeichnen. Aber wir wissen immer noch nicht logisch, was ein Individuum ist, wir haben nicht den Begriff eines Individuums und deshalb setzen wir den Begriff nur rein symbolisch, als Zeichen von etwas (- irgendetwas, aber nicht einer Klasse, einem Urteil oder einer Beziehung -), das in einer Beziehung der „Identität“ stehen kann; Mit Identität meinen wir eine komplexe Formel in Bezug auf dieses „Etwas“ für Klassen. Wir wiederholen noch einmal, dass hier auf offensichtlichste Weise die Ohnmacht des logischen Denkens gegenüber dem konkreten, d. - Bedingungen. – Darüber hinaus bleibt, wie bereits erwähnt, die Frage der Bestimmung der Einzigartigkeit der Klasse offen. Wie kann man eigentlich rational feststellen, dass die Klasse ɩa singulär ist, das heißt, dass sie nur ein Element enthält – dass es nur ein a gibt? – Dies wird erreicht, indem zwei Merkmale der Klasse ɩa angegeben werden: erstens, dass sie überhaupt Elemente enthält, d. h. dass es sich um eine Klasse ungleich Null handelt; Zweitens, wenn es zwei solche Elemente gäbe, nämlich x und y, dann wären sie identisch miteinander. Dass die Klasse ɩa nicht Null ist, wird durch die negative Formel ausgedrückt: und „ist nicht“ (– =) Λ (XIV), wobei Λ das Vorzeichen der Nullklasse ist, oder in einer bequemeren, positiven Form: Die Singularität der Klasse ɩa wird also durch die Formeln ausgedrückt: a – = Λ: x ε a . y ε a. Ɔ x,y. x ≡ y (XVII), Ǝa. x ε ein . y ε ein . Ɔ x,y. x ≡ y (XVIII) 859 , das heißt, für jedes x und y, das zur Klasse ɩа gehört, bleibt die geschriebene Implikation wahr. Es ist kaum notwendig, darauf hinzuweisen, dass alles, was über die logische Definition von Identität gesagt wurde, auch für diese Definition von Singularität gilt, denn Singularität ist nur ein Sonderfall von Identität, nämlich Identität mit sich selbst, Selbstidentität. Wenden wir uns schließlich der Logik der Beziehungen – rélations – zu, so müssen wir hier natürlich die Frage nach der Beziehung zwischen Individuen klären. In diesem Bereich der mathematischen Logik wird als Axiom angenommen, dass es immer eine Beziehung zwischen Individuen gibt, die selbst individuell ist und ihrerseits durch ein einzigartiges Individuum repräsentiert wird. „Zwischen zwei gegebenen Individuen“, heißt es in dem Axiom, „besteht eine besondere – singuläre – Beziehung, die zwischen zwei anderen Individuen nicht besteht.“ Allerdings wird dieser besondere Zusammenhang erwartungsgemäß im formalen Sinne erklärt und nicht im realen Sinne. Dies wird aus den Erläuterungen, die diesem Axiom folgen, deutlich. „Aus der Sicht von Volumen – Ausdehnung“, sagen sie, „ist dieses Axiom offensichtlich, denn das betreffende Paar reicht aus, um eine Beziehung zu bestimmen, die sich von allen anderen unterscheidet.“ Inhaltlich können wir sagen: Wenn wir die Gesamtheit – l'ensemble – aller Beziehungen betrachten, die zwischen zwei gegebenen Individuen bestehen, dann existiert dieselbe Gesamtheit zwischen keinem anderen Paar von Individuen; Mit anderen Worten: Wenn ein bestimmtes Paar alle Beziehungen eines anderen Paares hat, dann sind diese beiden Paare identisch, was wie folgt geschrieben wird: x1 R y 1 · ƆR · x 2 R y2 : Ɔ: x 1 ≡ x2 · y 1 ≡ y2 (XIX) 860 Hier zeigt das Zeichen ƆR, dass die Komplikation der linken Seite für jede Beziehung R gilt, die x 1 und y 1 verbinden kann. Also, individuell, d.h. konkret, die Beziehung zerfällt wieder in eine Reihe allgemeiner, d.h. abstrakter, – alle abstrakten Beziehungen, die in die Zusammensetzung dieser besonderen Beziehung einbezogen sind. Doch neben der ontologischen Sinnlosigkeit einer solchen Gleichsetzung des Konkreten mit der Summe der Abstraktionen stellt sich auch im rein formalen Bereich die Frage nach der Rechtmäßigkeit einer solchen Definition. Es basiert schließlich vollständig auf dem Konzept „aller“ Beziehungen zwischen einem bestimmten Paar von Elementen. Ganz zu schweigen davon, dass der eigentliche Begriff „alles“ in der mathematischen Logik noch nicht definiert ist, insbesondere wenn er sich auf die Gruppe superendlicher Gruppen bezieht, ist es zweifelhaft, ob es überhaupt möglich ist, einen eindeutigen Begriff über die Gruppe „aller“ Beziehungen nicht zwischen Klassen, sondern zwischen Individuen zu haben. Aber das ist es, was einen Beweis erfordert, denn es ist überhaupt nicht klar (und es ist überhaupt nicht akzeptabel), dass eine transfinite Gruppe von Abstraktionen die Konkretheit erschöpfen kann. Wenn Spezifität aus formal-rationaler Sicht betrachtet werden kann, dann kann sie zweifellos nur unter dem Deckmantel einer Grenze, also als absolutes Maximum, in die formale Spekulation eingeführt werden. Aber das Konzept dafür wurde bis auf einen völlig unbekannten Versuch von Archimandrite noch nicht entwickelt. Serapion – und außerdem ist unklar, ob es so etwas überhaupt in Bezug auf Einzelpersonen geben kann. Schließlich besitzen bestimmte Individuen Kreativität, sind in der Lage, absolute, unvorhergesehene Beziehungen zu schaffen, die nicht in eine willkürlich umfangreiche Gruppe vorgefertigter Beziehungen eingebunden sind – mit einem Wort, sie übertreffen jedes vorgefasste Konzept über sie: in den Worten von A. Bergson: „la vie déborde l’intelligence – das Leben entsteht an den Ufern der Vernunft“, und das geschieht immer. Plat. , – Euthydemus (S. Solovyov, Bd. 2, S. 145). Pl. , – Hippius der Ältere, id., Bd. 2, S. 133–140. Cout., – Pr. D. M., S. 51–52.