XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

На једном примеру се може објаснити да супер-рационална синтеза, што је догма, није нешто сасвим без преседана и неочекивано у науци. Врло често се спроводи, на пример у конструкцији такозваних ирационалних бројева. Према првобитној дефиницији, „број“ је цео број, а затим рационални број, односно разломак. Међутим, решавање неких геометријских задатака често доводи до односа количина – на пример, сегмената – који није изражен бројевима. Аритметичке операције које одговарају овим радњама су немогуће, јер је ова комбинација аритметичких симбола лишена сваког значења. Шта, на пример, значи √2? – То значи да смо и само да смо приликом доношења одлуке наишли на зид. Тражили смо одређени број, али се показало да не постоји број који би задовољио услове задатка: √2 је симбол аритметичке немогуће. Зашто? – Али зато што уопштено √а означава број х који, када се квадрира, даје а, односно број који задовољава једначину: к2 = а. Али лако је доказати да не постоји и не може постојати број х чији би квадрат био једнак 2. Исто важи и за геометрију. Можемо, на пример, покушати да сазнамо колико пута је један сегмент дужи од другог. У неким случајевима ћемо дефинисати ово „у које време?“ , тј. хајде да пронађемо број који га карактерише; а у другима толики број уопште неће бити и онда само питање „колико“ нема смисла. Дакле, дијагонала квадрата није ни дужа ни краћа од странице истог квадрата. Дијагонала и страна су неупоредиве једна са другом у правцу „у које време“, како кажу, „неупоредиво“. Који год број да узмемо да карактеришемо овај однос, испоставиће се да је неприкладан. Ако страна има свој број, онда дијагонала нема, и обрнуто. Између једног и другог постоји некакав понор, непроходан за бројеве. Дужина дијагонале је трансцендентална (- користим ову реч у општем смислу, а не као математички терминус тецхницус -) у односу на дужину странице. Ову чињеницу је први открио Питагора; Као што знате, сам геометар је био ужаснут дубином чињенице коју је открио и последицама које из тога произилазе. На крају крајева, ова једна чињеница је једном заувек нанела непоправљиве повреде сваком рационализму. Комбинације симбола као што је √2 у средњем веку називане су „нумери фицти, измишљени бројеви“ или, у Либер абаци Леонарда из Пизе, који датира из 1202. године, „нумери сурди, слепи бројеви“ и уопште се нису сматрали бројевима. По први пут, тек у Аритхметица интегра Михаела Штифела, објављеној у Нирнбергу 1544. године, дато им је конвенционално значење бројева и одговарајући назив „нумери ирратионалес“, а Стифел изјављује да „ирратионалис нумерус нон ест верус нумерус“, односно да „није прави ирационалан број.“ Чак и сада у многим уџбеницима алгебре важно је навести да иако је немогуће извући квадратни корен од 2, али ипак, итд. У опсегу операција које аритметика познаје, нема излаза из ове тешкоће. Ове операције доводе до резултата који више нема смисла осим ако се њихов круг не прекине; а ако се не разбије, онда ова комбинација нарушава интегритет самог круга, производећи унутрашње уништење и пустош. Дакле – и уопштено: рационалне операције доводе до оваквих комбинација којима више није место међу својим произвођачима и које захтевају раскид у рационалном царству да би се родиле у нови, до сада невиђени и незамисливи свет. Решење у алгебри се постиже само стварањем оностраних, трансценденталних аритметичких ентитета за опсег датих операција, које су већ неизразиве у коначним симболима, али се њима постулирају, оправдавају и добијају ново, више значење. Међутим, чим пожелимо да те нове аритметичке целине замислимо у терминима старих, чим пожелимо да улијемо ново вино у старе мехове, то резултира декомпозицијом симбола новог ентитета на саставне елементе који су међусобно некомпатибилни у пољу старих појмова, а сама суштина испарава. понекад смо се, буђење ноћу, упуштали у тихи разговор, а време је неопажено клизило док нас сат на звонику није подсетио на приближавање јутра... Да бих разумео Канторову конструкцију, замолићу вас једно: заборавите све што сте до сада чули о ирационалним бројевима и имајте на уму да треба да створите потпуно нови предмет мисли. Г. Кантор узима бесконачан скуп бројева а 1, а 2, а 3, а 4,... а н, ... и н+м,..., распоређених по редоследу писања, тако да му после сваког броја долази најближи и испред сваког, осим првог, најближи који му претходи. Овај низ бројева Кантор сматра једним објектом α. Означимо то симболично тако што ћемо целу групу ставити у заграде, тако да је могуће написати једнакост која служи као дефиниција α, и то: α=(а 1, а 2, а 3, … а н,… а н+м, …) То значи да α није ништа друго до бесконачна група, замислива у јединству. У одређеним случајевима, бројеви а 1, а 2,.. а н,... могу се показати таквим да ће се низ α, како кажу, „конвергирати“, односно имаће следеће својство: без обзира колико мали број σ узмемо, увек ће постојати н тако велико, тј. члан или елемент, и н толико удаљен између њега и било ког накнадног члана да је разлика у + м, без обзира колико је велика разлика апсолутна вредност (тј. без узимања у обзир знака разлике) биће мања од σ; симболично: ан+м – и н < σ, где је σ произвољно мало. Другим речима, што даље узимамо било који појам а н, то је мања разлика између њега и свих оних који га следе, и, штавише, може се приближити нули колико год желимо, иако, уопштено говорећи, никада неће постати нула. Ово би, на пример, била група бројева. У ствари, за њега ће апсолутна вредност разлике између (н+м)-ог и н-тог члана бити: Што је више м, то је мања вредност од 1/2 м, а самим тим и већи бројилац. Али он је увек н. Јасно је да колико год мали био неки број σ који нам је дат, увек је могуће изабрати н толико велико да постоји 1/2н < σ и самим тим, чак и више, тако да разлика између (н+м)-тог и н-ог члана, тј. дошло је до конвергенције, „конвергира“, тада низ а 1, а 2, а 3,... добија назив главне серије, Фундаменталреихе, а цела група, као један објекат α, добија назив ирационалног броја. Дакле, ирационалност, у области коначне аритметике засноване на разуму, јесте бесмислица са становишта „бројева“, односно бројева у сопственом, коначном смислу, добијених као комбинација коначног броја основних симбола (1, 2, 3, 4, 5, ... н, ...). Ниједна комбинација ових симбола, коначних, иманентних разуму, не може пружити слику ирационалности или чак било шта „слично“ њој. Ирационалност је свакако трансцендентална, апсолутно несхватљива за рационалну област. И једном за свагда, коначно и неопозиво, морамо напустити намеру да ирационалност представимо у виду коначне комбинације рационалности. Али, користећи рационалне симболе као безобличну супстанцу, можемо, уз помоћ потпуно нових конструктивних дефиниција, унети у агрегат рационалних бројева, који је у целини бесквалитетан, нову суштину која га организује. Тада ће ирационални број бити утиснут и отелотворен у овој „супстанци“. Сваки рационални број посебно, сваки елемент, сваки атом овог агрегата сам по себи, у свом изворном значењу, нема ништа заједничко са целином која је у њему оличена, као што естетска идеја кипа нема ништа заједничко са мермерним кристалима који чине статуу, или значењем песме са звуцима појединих речи. Али бесконачно, – тачније: супер-коначно, – њихова укупност у потпуности одражава ову целину, ову идеју. У Канторовом основном низу, који приказује, отелотворује, представља и јесте, према дефиницији, ирационалан број α, сваки од елемената а1, а2,… ан, … све док тек улазимо у област ирационалности, то нема никакве везе са α и чак је апсурдно питати се у каквом се односу налазе ови суштински неупоредиви симболи, од којих је α трансцендентално за сваки аи (где је и = 1, 2, 3,... н,...). Али скуп бројева а и, повезаних знаком конвергенције и дефиницијом „дејстава“ на α као један објекат, тачно осликава ову трансценденталну суштину α. Након тога, када се α потпуно испита, испоставља се да је могуће транспоновати све аи у облику α, иако је немогуће, обрнуто, транспоновати α у облику аи; онда се концепт „сличности“ успоставља између а и и α, иако је ова „сличност“ само сличност наговештаја, а не таутегорија. То значи да иако је α трансцендентално за све аи, „неразумљиво” са тачке гледишта аи, али су сви аи иманентни за α, потпуно транспарентни за њега. Може се чак рећи да је са тачке гледишта аи немогуће видети те трансценденталне корене аи, то трансцендентално осветљење једног и, што је, међутим, јасно и очигледно са тачке гледишта α. Иманентност и трансцендентност у области суштина разума су сличне онима у области суштина онтологије: Бог је трансценденталан за свет, са становишта света, али свет није трансценденталан Богу, већ је у потпуности прожет Божанским енергијама – α и аи се сматрају различитим, али ако се у низу α или α види различитост, онда се у низу α или сличности може видети разлика аи. аи и α се сами мењају са променом и. Са становишта формалног легалисте, рационално, према закону идентитета, аи није као α; али, за непосредну свест, и могу да наговестим α, и, штавише, транспарентније или замућеније, у зависности од вредности и. Међутим, имајте на уму да овде износим само опште резултате, али не и саму теорију. Из концепта једнакости две ирационалности, α и друге, њој аналогне, β, добијене различитим процесима, утврђује се да се коначни део симбола аи може избацити из α, да је могуће изабрати и избацити бесконачну групу из групе (а 1, а 2,... а н...), да је могуће извршити транспозицију, коначну транспозицију „а” бесконачан скуп елемената а и, све док структура не мења низ, све док се елементи не померају тако да не могу да се врате на стари распоред одређеним парним пермутацијама - а ипак се α неће променити. Штавише, чак и потпуно различити скупови (а1, а2, а3,.. ан,..) и (б 1, б 2, б 3,.. б н,..) могу изразити исти број α: потпуно различити знаци могу изразити исту рационалну суштину. Дакле: наишли смо на немогућу комбинацију симбола, нисмо били у стању да решимо проблем. Наишли смо на зид - ограничења већине аритметичких ентитета оличена у овим знацима. Преостало је само једно: или одустати од самог задатка, или се издићи изнад равни мишљења која оперише „коначним“ симболима – увести нову идеју, идеју стварне – односно синтетизоване – бесконачности и уз помоћ ње створити, посебним стваралачким актом духа, сасвим нову менталну суштину – ирационалност. Да ли је овде постојао низ дедукција? Наравно да не! Направили смо скок – прекид у развоју; увели смо нешто значајно ново. Нисмо могли да га уведемо, ограничавајући се на оне суштине које су дате, односно „коначне“ суштине, препуштајући се позитивистичкој депривацији ума и почивајући на немогућности да изађемо ван граница ових симбола. Могли бисмо и више; али за то је био потребан напор воље и подвиг разума – веома специфичан напор и понизност пред предметом проучавања били су потребни да би се створили симболи ирационалности. Стварање новог ентитета захтева бесплатан подвиг. Његова слобода се изражава у томе што нам се пружа могућност да или останемо при „добром“ старом, или да се уздигнемо ка „бољем“ новом. Подвиг лежи у чињеници да га „природне силе” - инерција и самозадовољство својствене уму - гурају до стагнације у старом, на крају, у "познатом". Неопходно је превазићи самозадовољство разума, прекинути магични круг његових коначних појмова и ући у нову средину – окружење супер-коначног, недоступно разуму и за њега апсурдно. Ово је разуман подвиг у аритметици. Ипак, била би велика грешка видети у овом подвигу нешто изузетно и посебно. Савремена математика, у целини, изграђена је на концепту границе и ограничавајућег процеса, са којима се морамо јасно суочити сваки пут када се јасно појави идеја бесконачности, а без чијег тихог учешћа у изградњи науке не може се направити ни један корак. Ирационалности, чији су неки наговештаји о теорији овде дати, само су најједноставнији и добро познати случај ограничавајућег процеса; али, поред тога, постоји много других сличних примена основног концепта превазилажења коначности. Дакле, трансцендентална аналитичка функција не може бити изражена било којим коначним бројем елемената, док је у односу на алгебарску функцију Вајерштрас открио да се она увек може изразити као таква. Али тада се појављује почетак превазилажења коначности и испоставља се, према Поенкареовој теореми, да се „свака аналитичка функција може дефинисати помоћу пребројивог скупа елемената (х – а)" 840 . Дакле, аналитичка функција стоји у истом односу према алгебарској функцији као што је ирационални број према рационалном броју. Иста област превазилажења коначности обухвата изузетно интересантна, са теоријско-когнитивног и онтолошког становишта, проучавања знакова конвергенције и дивергенције бесконачних низова, у вези са питањем растућих и опадајућих функција и теоријом одређених интеграла. Ево „идеалних функција“ Π. ду Боис-Реимонд се опет може, у извесном смислу, изједначити са ирационалношћу, али не међу бројевима и не међу функцијама, већ међу интегралима. Истраживања Н. Абела, Н. В. Бугајева, П. ду Боис-Реимонда, Е. Борела, Ј. Адамарда, А. Поинцареа и других 841, упркос специфичности проблема који се тамо постављају и метода које се тамо користе, од највеће су важности за филозофију, и може се само изненадити да до сада није било готово 8 апликација42. Р. Дедекинд, – Континуитет и ирационални бројеви [1872]. Пер. са њим. са прибл. С. О. Схатуновски. Одесса, ур. "Матхесис". Ед. 2. 1909, - са додатком. чланци "Док. именица транс. бројеви." – Вебер. Веллстеин. – Васиљев, §§ 18–31. – Ј. Таннери, – Увод у теорију функција једне променљиве, 1913 (француско 1. издање постало је библиографско издање). - Његов, - Теоријски курс. и практична аритметика. Пер. А. А. Котљаревски, ур. Д. Л. Волковски, М., 1913. – М. Волков, – Еволуција појма броја. Санкт Петербург, 1899. - Клајн Ф., - Питања основне и више математике, 1. део, Одеса, 1912, прев. приредио В. Коган, ур. Матеза, стр. 47–56. – Ф. Клајн – Анвендунг д. Диференцијал-у. Интегралрецхнунг ауф дие Геометрие. Еине Ревисион д. Принципиен, Лпз. 1901, 2. авг. 1907. – А. Фоцц, – О суштини математике. Пер. И. В. Иасхунски. Санкт Петербург, 1911. Публ. „Физика”. – Цх. ду Мераи, – Ноув. Прецис д'Аналисе инфини тесим. Париз, 1872 (главну серију назива „конвергентна варијанта”, а једнаке серије – „еквивалент”. - Г. Цантор, - Уеб. дие Аусдехнунг еинес Сатзес аус дер Тхеорие д. тригон. Реихен („Мат. Ан.”, Бд. 5). – Пасцх, – Еинф. Л. у. 1882. – Б. Руссел, – Принциплес оф матхематицс., 1902. – Дие Елементе, д. 1880; 2-те Ауфл., 1898 А. Прингсхеим, – Ирратионалзахлен у Конвергенз. 1910. – О. Столз у. Борел, – Лек. с. ла Тх. д. фон., ИВ, стр. 54–55. Н. Х. Абел, – Ноте сур ун меморие де М. Л. Оливиер аиант поур титре „Ремаркуе сур лес сериес инфиниес...” („Оеуврес цомпл.” де Н. Х. Абел, ноув. ед. пар Л. Силов ет С. Лие, Т. 1, стр. 399–40). Абел доказује да се критеријум конвергенције не може дати као једнакост, – [Х. В.] Бугаев, – Бесконачна конвергенција. редови према њиховом спољашњем уму. М., 1863. – Свој, – Увод. у анализи и диференцијалу. исцх., лит. Лек., ур. 2нд, [М.], 1898, стр. 143–144. – Л. Еулер, – Де Инфинитиес инфинитис градибус („Ацта Петроп.“, 1778). – П. ду Боис-Реимонд, – Дие аллгемеине Функтионентхеорие, Тибинген, 1882. – Е. Борел, – Лецонс сур ла тхеорие дес Фонцтионс, Париз, 1898. – Хис, – Лец. с. лес Фонцтионс ентиерес, П., 1900. – Свој, – Л. с. л. сериес дивергантес, Р., 1901. – Свој, – Л. с. л. сериес а термес поситифс, рец. ет ред. пар Р. д'Адхенар, П., 1902. Хис, Л. с. л. Фунцтионс мероморпхес. – Х. Парфентијев, – Истраживање теорије раста функција, Казањ, 1910. Од неколико покушаја у овом на пример, па и тада само у рел. ирационалности, - Знам: покушај Соломона Мајмона (о њему види: Б. Јаковенко, - Филозофски концепт Сол. Мајмона, "Питања Фил. и Псих.", 1912, књиге 114 (ИВ) и 115 (В); затим: Бенно Керру, - Систем д.е. Еркеннтисстхеорие, Лпз, 1890. - Основе еволуцијске теорије, - Границе епистемологије, 19. јун трансценденталисти такође користе концепт границе, али, изненађујуће, не у мери у којој би могли да га користе, не само да не наруше, већ чак и ојачају главне линије својих конструкција.