XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

Mund të shpjegohet me një shembull se sinteza super-racionale, që është ajo që është dogma, nuk është diçka krejtësisht e paprecedentë dhe e papritur në shkencë. Ajo kryhet shumë shpesh, për shembull në ndërtimin e të ashtuquajturave numra irracionalë. Sipas përkufizimit origjinal, "numri" është një numër i plotë dhe më pas një numër racional, domethënë një thyesë. Megjithatë, zgjidhja e disa problemeve gjeometrike shpesh çon në një raport të sasive - për shembull, segmente - që nuk shprehet në numra. Veprimet aritmetike që korrespondojnë me këto veprime janë të pamundura, sepse ky kombinim i simboleve aritmetike nuk ka asnjë kuptim. Çfarë do të thotë √2, për shembull? - Kjo do të thotë se dhe vetëm se gjatë vendimit kemi hasur në një mur. Ne po kërkonim një numër të caktuar, por rezultoi se nuk kishte një numër që do të plotësonte kushtet e problemit: √2 është simbol i pamundësisë aritmetike. Pse? – Por sepse në përgjithësi √a do të thotë një numër x që në katror jep a, pra një numër që plotëson ekuacionin: x2 = a. Por është e lehtë të vërtetohet se nuk ka dhe nuk mund të ketë një numër x katrori i të cilit do të ishte i barabartë me 2. E njëjta gjë vlen edhe në gjeometri. Për shembull, mund të përpiqemi të zbulojmë se sa herë një segment është më i gjatë se një tjetër. Në disa raste ne do të përcaktojmë këtë "sa ore?" , d.m.th. le të gjejmë numrin që e karakterizon; dhe në të tjerat nuk do të ketë fare një numër të tillë, dhe atëherë vetë pyetja "sa" nuk ka kuptim. Kështu, diagonalja e një katrori nuk është as më e gjatë dhe as më e shkurtër se një brinjë e të njëjtit katror. Diagonalja dhe ana janë të pakrahasueshme me njëra-tjetrën në drejtimin "në çfarë kohe", siç thonë ata, "të pakrahasueshme". Çfarëdo numri që marrim për të karakterizuar këtë raport do të rezultojë i papërshtatshëm. Nëse një anë ka numrin e vet, atëherë diagonalja nuk ka, dhe anasjelltas. Mes njërit dhe tjetrit ka një lloj humnerë, të pakalueshme për numra. Gjatësia e diagonales është transcendentale ( - Unë e përdor këtë fjalë në një kuptim të përgjithshëm, dhe jo si një terminus technicus matematikor -) në lidhje me gjatësinë e anës. Ky fakt u zbulua për herë të parë nga Pitagora; Siç e dini, vetë gjeometri u tmerrua nga thellësia e faktit që zbuloi dhe pasojat që rrjedhin prej tij. Në fund të fundit, ky fakt i vetëm ka shkaktuar njëherë e përgjithmonë shkelje të pariparueshme për të gjithë racionalizmin. Kombinimet e simboleve si √2 në Mesjetë quheshin "numeri ficti, numra fiktivë" ose, në abaci Liber të Leonardit të Pizës, që daton në vitin 1202, "numeri surdi, numra të verbër" dhe nuk konsideroheshin fare numra. Për herë të parë, vetëm në Arithmetica integra të Michael Stiefel, botuar në Nuremberg në 1544, atyre iu dha kuptimi konvencional i numrave dhe emri përkatës "numeri irracionales", dhe Stiefel deklaron se "irrationalis numerus non est verus numerus", d.m.th se "një numër irracional nuk është një numër i vërtetë". Dhe edhe tani në shumë tekste shkollore të algjebrës është e rëndësishme të thuhet se megjithëse është e pamundur të nxirret rrënja katrore e 2, por prapë, etj. Në gamën e veprimeve që njeh aritmetika, nuk ka rrugëdalje nga kjo vështirësi. Këto operacione çojnë në një rezultat që nuk ka më kuptim nëse rrethi i tyre nuk prishet; dhe nëse nuk prishet, atëherë ky kombinim cenon integritetin e vetë rrethit, duke prodhuar shkatërrim dhe shkatërrim të brendshëm. Pra - dhe në përgjithësi: operacionet racionale çojnë në kombinime të tilla që nuk kanë më vend midis prodhuesve të tyre dhe që kërkojnë një çarje në sferën racionale për të lindur në një botë të re, deri tani të paprecedentë dhe të paimagjinueshme. Zgjidhja në algjebër arrihet vetëm me krijimin e entiteteve aritmetike të botës tjetër, transcendentale për gamën e veprimeve të dhëna, të cilat tashmë janë të pashpjegueshme në simbole të fundme, por që janë postuluar prej tyre, justifikohen dhe u jepet një kuptim i ri, më i lartë. Megjithatë, sapo duam t'i mendojmë këto entitete të reja aritmetike në terma të atyre të vjetrave, sapo duam të derdhim verë të re në kacekë të vjetër, kjo rezulton në zbërthimin e simbolit të entitetit të ri në elementë përbërës që janë të papajtueshëm me njëri-tjetrin në fushën e koncepteve të vjetra, dhe vetë thelbi avullon. Unë do t'ju them më qartë se çfarë po ndodh këtu. – “Numrat” irracionalë për një kohë të gjatë ishin një absurditet i paqartë, të cilin të gjithë e përdornin në mënyrë të pandërgjegjshme për hir të domosdoshmërisë praktike, dhe për të cilin, megjithatë, askush nuk ishte në dijeni. Por nga vitet 70 të shekullit të 19-të, dalja nga kjo situatë u bë një domosdoshmëri urgjente. Pyetja ishte e pjekur, dhe përgjigja për të u dha pothuajse njëkohësisht nga disa studiues, ndër të cilët, si më të mëdhenjtë, tregojnë emrat e G. Cantor, K. Weierstrass, C. du Meret, E. Heine, R. Dedekind, G. Kossak, S. Pincherle, O. Biermann, J. Pasörmann, R. Tannery, M. të pavarura nga njëra-tjetra dhe sepse - gjë që është shumë e kuptueshme - ato ndryshojnë dukshëm në pamjen e tyre. Por, në thelb, të gjithë thonë të njëjtën gjë. Ndaj, ndalem pak te njëra prej tyre - te metoda e G. Cantor - i njëjti Kantor, për të cilin ju dhe unë kemi pasur rastin të flasim kaq herë në hapësirën e bukës që përzihet ngadalë, buzë një korije mështekne dhe në shtëpi, përballë një furre të ndezur. A ju kujtohet? nganjëherë, duke u zgjuar natën, përfshiheshim në një bisedë të qetë dhe koha rrëshqiste pa u vënë re derisa ora në kambanore na kujtonte mëngjesin që po afrohej... Për të kuptuar konstruksionin e Cantor-it, unë do t'ju pyes një gjë: harroni gjithçka që keni dëgjuar deri më tani për numrat irracionalë dhe mbani në mend se ju duhet të krijoni një objekt mendimi krejtësisht të ri. G. Cantor merr një grup të pafund numrash a 1, a 2, a 3, a 4,... a n, ... dhe n+m,..., të renditur sipas radhës së shkrimit, në mënyrë që pas çdo numri të vijë më afër tij dhe para secilit, përveç të parit, të jetë më i afërti që i paraprin. Kjo seri numrash konsiderohet nga Cantor si një objekt i vetëm α. Le ta shënojmë simbolikisht këtë duke e mbyllur të gjithë grupin në kllapa, në mënyrë që të bëhet e mundur të shkruhet barazia që shërben si përkufizim i α, përkatësisht: α=(a 1, a 2, a 3, … a n,… a n+m, …) Do të thotë që α nuk është gjë tjetër veçse një grup i pafund, i imagjinueshëm në unitet. Në raste të caktuara, numrat a 1, a 2,.. a n,... mund të rezultojnë të tillë që seria α, siç thonë ata, "do të konvergojë", d.m.th., do të ketë vetinë e mëposhtme: sado i vogël të jetë numri σ që marrim, do të ketë gjithmonë një n aq të madh, d.m.th., një term ose element, dhe n aq i largët sa që dallimi nën, m, të jetë i madh në mes të tij. vlera absolute (d.m.th., pa marrë parasysh shenjën e diferencës) do të jetë më e vogël se σ; simbolikisht: an+m – dhe n < σ, ku σ është arbitrarisht i vogël. Me fjalë të tjera, sa më tej të marrim një term a n, aq më pak bëhet diferenca midis tij dhe të gjithë atyre që e ndjekin dhe, për më tepër, ai mund të afrohet me zero sa të dëshirohet, megjithëse, në përgjithësi, nuk do të bëhet kurrë zero. Ky, për shembull, do të ishte një grup numrash. Në fakt, për të vlera absolute e diferencës midis termave (n+m)-të dhe n-të do të jetë: Sa më shumë m, aq më e vogël është vlera e 1/2 m, dhe për rrjedhojë aq më i madh është numëruesi. Por ai është gjithmonë n. Është e qartë se sado i vogël të jetë një numër σ që na është dhënë, është gjithmonë e mundur të zgjedhim n aq të madh sa të ketë 1/2n < σ dhe për këtë arsye, aq më tepër, në mënyrë që ndryshimi midis termave (n+m)të dhe ntë, d.m.th. ka pasur konvergjencë, “konvergon”, pastaj seria a 1, a 2, a 3,... merr emrin e serisë kryesore, Fundamentalreihe, dhe i gjithë grupi, si një objekt i vetëm α, merr emrin e një numri irracional. Kështu, irracionaliteti, në fushën e aritmetikës së fundme bazuar në arsye, është i pakuptimtë nga pikëpamja e "numrave", domethënë numrave në kuptimin e tyre përfundimtar, të marrë si një kombinim i një numri të fundëm simbolesh bazë (1, 2, 3, 4, 5, ... n, ...). Asnjë kombinim i këtyre simboleve, të fundme, imanente në arsye, nuk mund të japë një imazh për irracionalitetin apo edhe ndonjë gjë "të ngjashme" me të. Irracionaliteti është sigurisht transcendental, absolutisht i pakuptueshëm për sferën racionale. Dhe njëherë e përgjithmonë, përfundimisht dhe në mënyrë të pakthyeshme, duhet të braktisim synimin për të paraqitur irracionalitetin në formën e një kombinimi të fundëm racionalitetesh. Por, duke përdorur simbolet racionale si një substancë pa formë, ne, me ndihmën e përkufizimeve krejtësisht të reja konstruktive, mund të fusim në agregatin e numrave racionalë, i cili është pa cilësi në tërësi, një thelb të ri që e organizon atë. Atëherë numri irracional do të shtypet dhe mishërohet në këtë "substancë". Çdo numër racional veçmas, çdo element, çdo atom i këtij agregati në vetvete, në kuptimin e tij origjinal, nuk ka asgjë të përbashkët me të tërën e mishëruar në të, ashtu si ideja estetike e një statuje nuk ka asgjë të përbashkët me kristalet e mermerit që përbëjnë statujën, apo kuptimin e një poezie me tingujt e fjalëve të veçanta. Por e pafundmeja, - më saktë: superfinite, - tërësia e tyre pasqyron plotësisht këtë tërësi, këtë ide. Në serinë bazë Cantor, e cila përshkruan, mishëron, përfaqëson dhe është, sipas përkufizimit, një numër irracional α, secili nga elementet a1, a2,… аn, … për sa kohë që sapo po hyjmë në sferën e irracionalitetit, nuk ka të bëjë fare me α dhe madje është absurde të pyesim se në çfarë raporti ndodhen këto simbole në thelb të pakrahasueshme, nga të cilat α është transcendentale për çdo ai (ku i = 1, 2, 3,... n,...). Por grupi i numrave a i, i lidhur me shenjën e konvergjencës dhe përcaktimin e "veprimeve" në α si një objekt i vetëm, përshkruan saktësisht këtë thelb transcendental të α. Më pas, kur α shqyrtohet plotësisht, rezulton të jetë e mundur të transpozohet i gjithë ai në formën e α, megjithëse është e pamundur, anasjelltas, të transpozohet α në formën e ai; atëherë koncepti i "ngjashmërisë" vendoset midis një i dhe α, megjithëse kjo "ngjashmëri" është vetëm një ngjashmëri e një aluzion, jo një tautegori. Kjo do të thotë se megjithëse α është transcendent për të gjithë ai, "i pakuptueshëm" nga këndvështrimi i një i, por të gjitha ai janë imanente për α, plotësisht transparente për të. Madje mund të thuhet se nga pikëpamja e ai është e pamundur të shihen ato rrënjë transcendentale të ai, ai ndriçim transcendental i një i, i cili megjithatë është i qartë dhe i dukshëm nga pikëpamja e α. Imanenca dhe transcendenca në sferën e esencave të arsyes janë të ngjashme me ato në sferën e esencave të ontologjisë: Zoti është transcendental për botën, nga pikëpamja e botës, por bota nuk është transcendentale ndaj Zotit, por përshkohet tërësisht nga energjitë hyjnore - α dhe ai është i ndryshëm, nëse a dhe ai mund të shihen të gjitha në seri. ngjashmëria e ai dhe α vetë ndryshojnë me një ndryshim në i. Nga pikëpamja e një legalisti formal, racional, sipas ligjit të identitetit, ai nuk është si α; por, për vetëdijen e menjëhershme, dhe unë mund të lë të kuptohet për α, dhe, për më tepër, më transparente ose më e re, në varësi të vlerës së i. Megjithatë, ju lutem vini re se këtu unë po paraqes vetëm rezultate të përgjithshme, por jo vetë teorinë. Nga koncepti i barazisë së dy irracionaliteteve, α dhe një tjetër, analoge me të, β, e përftuar me procese të ndryshme, konstatohet se pjesa e fundme e simboleve ai mund të hidhet nga α, se është e mundur të zgjidhet dhe të hiqet një grup i pafund nga grupi (a 1, a 2,... a n...), se është e mundur, më në fund, të kryhet një grup i caktuar, në fund, në një pozicion të caktuar. i elementeve a i, për sa kohë që struktura nuk ndryshon seri, për sa kohë që elementët nuk lëvizin në mënyrë që të mos jenë në gjendje të kthehen në rregullimin e vjetër me anë të ndërrimeve të caktuara në çift - dhe megjithatë α nuk do të ndryshojë. Për më tepër, edhe grupe krejtësisht të ndryshme (a1, a2, a3,.. an,..) dhe (b 1, b 2, b 3,.. b n,..) mund të shprehin të njëjtin numër α: shenja krejtësisht të ndryshme mund të shprehin të njëjtin thelb racional. Pra: duke hasur në një kombinim të pamundur simbolesh, ne nuk ishim absolutisht në gjendje ta zgjidhnim problemin. Ne kemi ngecur në një mur - kufizimet e entiteteve më aritmetike të mishëruara në këto shenja. Mbeti vetëm një gjë: ose të braktisësh vetë detyrën, ose të ngrihesh mbi rrafshin e të menduarit që funksionon me simbole "të fundme" - të prezantosh një ide të re, idenë e pafundësisë aktuale - domethënë të sintetizuar - dhe, me ndihmën e saj, të krijojë, me një akt të veçantë krijues të shpirtit, një thelb mendor krejtësisht të ri - irracionalitetin. A kishte një sekuencë zbritjesh këtu? Sigurisht që jo! Ne bëmë një kërcim - një ndërprerje në zhvillim; ne kemi prezantuar diçka shumë të re. Ne nuk mund ta prezantojmë atë, duke u kufizuar në ato esenca që jepen, pra esenca të “fundme”, duke e braktisur veten në privimin pozitivist të mendjes dhe duke u mbështetur në pamundësinë për të dalë përtej kufijve të këtyre simboleve. Mund të shkonim edhe më lart; por kjo kërkonte një përpjekje vullneti dhe një vepër arsyeje - një përpjekje dhe përulësi shumë specifike përpara se objekti i studimit të kërkohej për të krijuar simbole të irracionalitetit. Krijimi i një entiteti të ri kërkon një arritje falas. Liria e saj shprehet në faktin se na jepet mundësia që ose të qëndrojmë me të vjetrën "e mirë", ose të ngrihemi në të renë "më të mirë". Arritja qëndron në faktin se "forcat natyrore" - inercia dhe vetëkënaqësia e natyrshme në mendje - e shtyjnë atë në stanjacion në të vjetrën, në fund të fundit, në "të njohurin". Është e nevojshme të kapërcehet vetëkënaqësia e arsyes, të thyhet rrethi magjik i koncepteve të saj të fundme dhe të hyhet në një mjedis të ri - mjedisi i superfundit, i paarritshëm për arsyen dhe absurd për të. Kjo është një arritje e arsyeshme në aritmetikë. Megjithatë, do të ishte një gabim i madh për të parë në këtë vepër diçka të jashtëzakonshme dhe të veçantë. Matematika moderne, në tërësinë e saj, është ndërtuar mbi konceptin e një kufiri dhe një procesi kufizues, me të cilin duhet të përballemi qartë sa herë që shfaqet qartë ideja e pafundësisë dhe pa pjesëmarrjen e heshtur të të cilit në ndërtimin e shkencës nuk mund të hidhet një hap i vetëm. Irracionalitetet, disa sugjerime për teorinë e të cilave janë bërë këtu, janë vetëm rasti më i thjeshtë dhe më i njohur i një procesi kufizues; por, përveç kësaj, ka edhe shumë aplikime të tjera të ngjashme të konceptit bazë të tejkalimit të fundësisë. Kështu, një funksion analitik transcendental nuk mund të shprehet me ndonjë numër të kufizuar elementësh, ndërsa në lidhje me një funksion algjebrik Weierstrass zbuloi se ai gjithmonë mund të shprehet si i tillë. Por më pas shfaqet fillimi i kapërcimit të finitudës dhe rezulton, sipas teoremës së Poincare-së, se “çdo funksion analitik mund të përcaktohet me anë të një grupi të numërueshëm elementësh (x – a)" 840 . Kështu, një funksion analitik qëndron në të njëjtin raport me një funksion algjebrik si një numër irracional me një numër racional. E njëjta fushë e tejkalimit të fundshmërisë përfshin jashtëzakonisht interesante, nga pikëpamja teoriko-njohëse dhe ontologjike, studime të shenjave të konvergjencës dhe divergjencës së serive të pafundme, në lidhje me çështjen e funksioneve në rritje dhe zvogëlim dhe teorinë e integraleve të përcaktuara. Këtu janë "funksionet ideale" Π. du Bois-Reymond përsëri, në një kuptim të caktuar, mund të barazohet me irracionalitetin, por jo midis numrave dhe jo midis funksioneve, por midis integraleve. Kërkimet e N. Abel, N. V. Bugaev, P. du Bois-Reymond, E. Borel, J. Hadamard, A. Poincaré dhe të tjerë 841, pavarësisht nga specialiteti i problemeve të shtruara dhe metodave të përdorura atje, kanë rëndësinë më të madhe për filozofinë dhe mund të habitemi që deri më tani nuk është bërë pothuajse asnjë aplikim i tyre842. R. Dedekind, – Vazhdimësia dhe numrat irracionalë [1872]. Per. me të. me përafërsisht. S. O. Shatunovsky. Odessa, ed. "Mathesis". Ed. 2, 1909, - me aksesor. artikuj "Dokument. Emër trans. numra." – Weber. Wellstein. – Vasiliev, §§ 18–31. – J. Tannery, – Hyrje në teorinë e funksioneve të një ndryshoreje, 1913 (Edicioni i parë frëngjisht u bë botim bibliografik). - E tij, - Kursi teorik. dhe aritmetikë praktike. Per. A. A. Kotlyarevsky, ed. D. L. Volkovsky, M., 1913. – M. Volkov, – Evolucioni i konceptit të numrit. Shën Petersburg, 1899. - F. Klein, - Pyetje të matematikës elementare dhe të larta, Pjesa 1, Odessa, 1912, përkth. redaktuar nga V. Kogan, ed. Mathesis, fq. 47–56. – F. Klein – Anwendung d. Diferenciale-u. Integralrechnung auf die Geometrie. Eine Rishikimi d. Principien, Lpz. 1901, 2 gusht. 1907. – A. Focc, – Mbi thelbin e matematikës. Per. I. V. Yashunsky. Shën Petersburg, 1911. Bot. "Fizika". – Ch. du Méray, – Nouv. Précis d'Analyse infini tésim. Paris, 1872 (ai e quan serinë kryesore “variant konvergjent”, dhe seritë e barabarta - “ekuivalente”. - G. Cantor, - Ueb. die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie d. trigon. Reihen (“Mat. An.”, Bd. 5). – Pasch, – Einl. in .,p. 1882. – B. Russel, – Principles of Mathematics., 1902. – Die Elemente d. “Crelle’s Journ.”, Bd. 74 – Teoria e Weierstrass-it nuk është paraqitur në veprat e tij origjinale. Fuktionen, Halle, 1880; d exakten Wissenschaften, Lpz 1910. – O. Stolz u. Borel, – Leq. s. la Th. d. fon.,, IV, f. 54–55. N. H. Abel, – Note sur un mémorie de M. L. Olivier ayant pour titre “Remarque sur les séries infinies...” (“Oeuvres compl.” nga N. H. Abel, nouv. éd. par L. Sylov et S. Lie, T. 1, f. 399–40). Abeli ​​dëshmon se kriteri i konvergjencës nuk mund të jepet si barazi, - [H. V.] Bugaev, – Konvergjencë e pafund. rreshtave sipas mendjes së tyre të jashtme. M., 1863. – E tij, – Parathënie. në analizë dhe diferencial. isch., lit. Lek., ed. 2, [M.], 1898, f. 143–144. – L. Euler, – De Infinities infinitis gradibus (“Acta Petrop.”, 1778). – P. du Bois-Reymond, – Die allgemeine Funktionentheorie, Tübingen, 1882. – E. Borel, – Leçons sur la théorie des Fonctions, Paris, 1898. – His, – Leç. s. les Fonctions entières, P., 1900. – E tij, – L. s. l. séries divergantes, R., 1901. – E tij, – L. s. l. seri à termes positifs, rec. et kuqe. par R. d'Adhénar, P., 1902. His, L. s. l. Funksionet méromorphes. – H. Parfentiev, – Kërkime mbi teorinë e rritjes së funksioneve, Kazan, 1910. Nga përpjekjet e pakta në këtë për shembull, dhe madje edhe atëherë vetëm në lidhje. irracionalitetet, - Unë e di: përpjekja e Solomon Maimon (rreth tij, shih: B. Yakovenko, - Koncepti filozofik i Sol. Maimon, “Questions of Phil. and Psych.”, 1912, librat 114 (IV) dhe 115 (V); pastaj: Benno Kerru, - System einerfegragneurez. Erkenntnisstheorie, Lpz, 1890 - K. Zhakov, - Bazat e evolucionit të njohurive (P. Florensky), V.3 transcendentalistët përdorin edhe konceptin e limitit, por, çuditërisht, jo në masën që mund ta përdornin, jo vetëm pa shkelur, por edhe duke forcuar linjat kryesore të ndërtimeve të tyre.