XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

Na jednom príklade možno vysvetliť, že superracionálna syntéza, čo je dogma, nie je vo vede niečím úplne bezprecedentným a neočakávaným. Vykonáva sa veľmi často, napríklad pri konštrukcii takzvaných iracionálnych čísel. Podľa pôvodnej definície je „číslo“ celé číslo a potom racionálne číslo, t.j. zlomok. Riešenie niektorých geometrických problémov však často vedie k pomeru veličín – napríklad segmentov –, ktorý nie je vyjadrený číslami. Aritmetické operácie zodpovedajúce týmto akciám sú nemožné, pretože táto kombinácia aritmetických symbolov nemá žiadny význam. Čo napríklad znamená √2? – To znamená a len to, že v priebehu rozhodovania sme narazili na stenu. Hľadali sme určité číslo, ale ukázalo sa, že neexistuje číslo, ktoré by spĺňalo podmienky úlohy: √2 je symbol aritmetickej nemožnosti. prečo? – Ale pretože vo všeobecnosti √a znamená číslo x, ktoré po druhej mocnine dáva a, teda číslo, ktoré spĺňa rovnicu: x2 = a. Ale je ľahké dokázať, že neexistuje a nemôže existovať číslo x, ktorého druhá mocnina by sa rovnala 2. To isté platí v geometrii. Môžeme sa napríklad pokúsiť zistiť, koľkokrát je jeden segment dlhší ako druhý. V niektorých prípadoch budeme definovať toto „kedy? , t.j. nájdime číslo, ktoré ho charakterizuje; a v iných nebude takéto číslo vôbec a potom samotná otázka „koľko“ nedáva zmysel. Uhlopriečka štvorca teda nie je dlhšia ani kratšia ako strana toho istého štvorca. Uhlopriečka a strana sú navzájom neporovnateľné v smere „v akom čase“, ako sa hovorí, „nesúmerateľné“. Akékoľvek číslo, ktoré použijeme na charakterizáciu tohto pomeru, sa ukáže ako nevhodné. Ak má strana svoje vlastné číslo, potom uhlopriečka nie a naopak. Medzi jedným a druhým je akási priepasť, pre čísla nepriechodná. Dĺžka uhlopriečky je transcendentálna (- používam toto slovo vo všeobecnom zmysle, a nie ako matematický terminus technicus -) vo vzťahu k dĺžke strany. Túto skutočnosť prvýkrát objavil Pytagoras; Ako viete, samotný geometer bol zdesený hĺbkou skutočnosti, ktorú objavil, a dôsledkami, ktoré z toho plynú. Koniec koncov, táto jedna skutočnosť raz a navždy spôsobila nenapraviteľné porušenia celého racionalizmu. Kombinácie symbolov ako √2 sa v stredoveku nazývali „numeri ficti, fiktívne čísla“ alebo v Liber abaci Leonarda z Pisy z roku 1202 „numeri surdi, slepé čísla“ a vôbec sa nepovažovali za čísla. Prvýkrát, iba v Arithmetica integra Michaela Stiefela, vydanej v Norimbergu v roku 1544, dostali konvenčný význam čísel a zodpovedajúci názov „numeri irrationales“ a Stiefel vyhlasuje, že „irrationalis numerus non est verus numerus“, t. j. že „iracionálne číslo nie je skutočné číslo“. A aj teraz v mnohých učebniciach algebry je dôležité uviesť, že nie je možné extrahovať druhú odmocninu z 2, ale stále atď. Akonáhle však chceme uvažovať o týchto nových aritmetických entitách v pojmoch starých, akonáhle chceme naliať nové víno do starých mechov, vedie to k rozkladu symbolu novej entity na čiastkové prvky, ktoré sú v oblasti starých pojmov navzájom nezlučiteľné, a samotná podstata sa vyparí. Poviem vám jasnejšie, čo sa tu deje. – Iracionálne „čísla“ boli dlho vágnou absurditou, ktorú každý nevedome využíval z praktickej potreby a o ktorej však nikto nevedel. Ale v 70. rokoch 19. storočia sa dostať z tejto situácie stalo naliehavou potrebou. Otázka bola zrelá a odpoveď na ňu dali takmer súčasne viacerí bádatelia, z ktorých ako najväčší možno uviesť mená G. Cantora, K. Weierstrassa, C. du Mereta, E. Heineho, R. Dedekinda, G. Kossaka, S. Pincherleho, O. Biermanna, J. Tanneryho, M. Pašu, V. Rössela a ďalších. navzájom nezávislé a pretože – čo je veľmi pochopiteľné – sa výrazne líšia svojim vzhľadom. Ale v podstate všetci hovoria to isté. Preto sa trochu pozastavím pri jednom z nich – pri metóde G. Cantora – toho istého Kantora, o ktorom sme sa už toľkokrát mali možnosť rozprávať v priestore pomaly sa miešajúceho chleba, na okraji brezového hája a doma, pred rozpálenou pecou. pamätáš? niekedy, keď sme sa v noci zobudili, zaplietli sme sa do tichého rozhovoru a čas nenápadne ubiehal, až nám hodiny na zvonici pripomenuli blížiace sa ráno... Aby ste pochopili Cantorovu konštrukciu, opýtam sa vás jednu vec: zabudnite na všetko, čo ste doteraz počuli o iracionálnych číslach, a majte na pamäti, že musíte vytvoriť úplne nový predmet myslenia. G. Cantor vezme nekonečnú množinu čísel a 1, a 2, a 3, a 4,... a n, ... a n+m,..., usporiadaných v poradí písania tak, že za každým číslom je k nemu najbližšie a pred každým, okrem prvého, je najbližšie, ktoré mu predchádza. Tento rad čísel považuje Cantor za jeden objekt α. Symbolicky to označme uzavretím celej skupiny do zátvoriek, aby bolo možné napísať rovnosť, ktorá slúži ako definícia α, a to: α=(a 1, a 2, a 3, … a n,… a n+m, …) Znamená to, že α nie je nič iné ako nekonečná skupina, mysliteľná v jednote. V určitých prípadoch sa čísla a 1, a 2,.. a n,... môžu ukázať ako také, že rad α, ako sa hovorí, „bude konvergovať“, t. j. bude mať nasledujúcu vlastnosť: bez ohľadu na to, aké malé číslo σ vezmeme, vždy bude n také veľké, t. j. člen alebo prvok, a n tak vzdialené, že rozdiel medzi ním a absolútnou hodnotou nie je veľký, + (t. j. bez zohľadnenia znamienka rozdielu) bude menšie ako σ; symbolicky: an+m – a n < σ, kde σ je ľubovoľne malé. Inými slovami, čím ďalej sa dostaneme k akémukoľvek členu a n, tým menší bude rozdiel medzi ním a všetkými nasledujúcimi, a navyše ho možno priblížiť k nule tak, ako si želáte, hoci, všeobecne povedané, nikdy sa nulou nestane. Toto by bola napríklad skupina čísel. V skutočnosti bude absolútna hodnota rozdielu medzi (n+m) a n-tým členom: Čím viac m, tým menšia je hodnota 1/2 m, a teda väčší čitateľ. Ale on je vždy n. Je jasné, že bez ohľadu na to, aké malé je nám dané číslo σ, vždy je možné zvoliť n také veľké, že je 1/2n < σ a teda ešte viac, aby rozdiel medzi (n+m)-tým a n-tým členom, t.j. došlo ku konvergencii, „konverguje“, potom rad a 1, a 2, a 3,... dostane názov hlavného radu Fundamentalreihe a celá skupina ako jediný objekt α dostane názov iracionálneho čísla. Iracionalita je teda v oblasti konečnej aritmetiky založenej na rozume nezmysel z hľadiska „čísel“, teda čísel v ich vlastnom, konečnom zmysle, získaných ako kombinácia konečného počtu základných symbolov (1, 2, 3, 4, 5, ... n, ...). Žiadna kombinácia týchto symbolov, konečných, imanentných v rozume, nemôže poskytnúť obraz iracionality alebo dokonca niečoho „podobného“. Iracionalita je určite transcendentálna, pre racionálnu sféru absolútne nepochopiteľná. A raz a navždy, konečne a neodvolateľne, musíme opustiť zámer prezentovať iracionalitu vo forme konečnej kombinácie racionalít. Ale pomocou racionálnych symbolov ako beztvarej substancie môžeme pomocou úplne nových konštruktívnych definícií vniesť do agregátu racionálnych čísel, ktorý je ako celok bez kvality, novú esenciu, ktorá ho organizuje. Potom bude iracionálne číslo vtlačené a stelesnené v tejto „látke“. Každé racionálne číslo zvlášť, každý prvok, každý atóm tohto agregátu sám o sebe, vo svojom pôvodnom význame, nemá nič spoločné s celkom, ktorý je v ňom obsiahnutý, rovnako ako estetická predstava sochy nemá nič spoločné s mramorovými kryštálmi, ktoré tvoria sochu, alebo významom básne so zvukmi jednotlivých slov. Ale nekonečno, presnejšie: superkonečné, - ich súčet úplne odráža tento celok, túto myšlienku. V základnom rade Cantor, ktorý zobrazuje, stelesňuje, predstavuje a je podľa definície iracionálnym číslom α, každý z prvkov a1, a2,… аn, … pokiaľ len vstupujeme do sféry iracionality, nemá to nič spoločné s α a je dokonca absurdné pýtať sa, v akom vzťahu sa nachádzajú tieto v podstate neporovnateľné symboly, z ktorých α je pre každé ai transcendentálne (kde i = 1, 2, 3,... n,...). Ale množina čísel a i, spojená znamienkom konvergencie a definíciou „pôsobení“ na α ako na jeden objekt, presne zobrazuje túto transcendentálnu podstatu α. Následne, keď je α úplne preskúmané, ukazuje sa, že je možné transponovať všetko ai v tvare α, hoci je nemožné, naopak, transponovať α v tvare ai; potom je medzi ai a α ustanovený pojem „podobnosť“, hoci táto „podobnosť“ je len podobnosťou náznaku, nie tautegóriou. To znamená, že α je síce pre všetky ai transcendentálne, z hľadiska ai „nepochopiteľné“, ale všetky ai sú pre α imanentné, preň úplne transparentné. Dá sa dokonca povedať, že z pohľadu ai nemožno vidieť tie transcendentálne korene ai, to transcendentálne osvetlenie a i, ktoré je však z pohľadu α ​​jasné a zrejmé. Z konceptu rovnosti dvoch iracionalít, α a inej, jemu analogickej, β, získaných rôznymi procesmi, je stanovené, že konečná časť symbolov ai môže byť vyhodená z α, že je možné vybrať a odstrániť nekonečnú skupinu zo skupiny (a 1, a 2,.. a n...), že je možná permutácia, „konečná transpozícia“ množina prvkov a i, pokiaľ štruktúra nemení sériu, pokiaľ sa prvky nepohybujú tak, aby sa nemohli vrátiť do starého usporiadania určitými párovými permutáciami - a predsa sa α nezmení. Navyše aj úplne odlišné množiny (a1, a2, a3,.. an,..) a (b 1, b 2, b 3,.. b n,..) môžu vyjadrovať to isté číslo α: úplne odlišné znaky môžu vyjadrovať rovnakú racionálnu podstatu. Takže: keď sme narazili na nemožnú kombináciu symbolov, problém sme absolútne nedokázali vyriešiť. Narazili sme na stenu - obmedzenia najaritmetickejších entít stelesnených v týchto znameniach. Zostávalo len jediné: buď opustiť samotnú úlohu, alebo sa povzniesť nad rovinu myslenia, ktorá operuje s „konečnými“ symbolmi – vniesť novú myšlienku, ideu aktuálneho – teda syntetizovaného – nekonečna a pomocou nej vytvoriť zvláštnym tvorivým činom ducha úplne novú mentálnu podstatu – iracionalitu. Bola tu postupnosť zrážok? Samozrejme nie! Urobili sme skok – prerušenie vývoja; sme predstavili niečo výrazne nové. Nemohli sme to zaviesť, obmedzujúc sa na tie esencie, ktoré sú dané, teda „konečné“ esencie, oddávajúc sa pozitivistickej deprivácii mysle a spočívajúc na nemožnosti prekročiť hranice týchto symbolov. Mohli by sme ísť aj vyššie; ale to si vyžadovalo snahu vôle a kus rozumu – veľmi špecifické úsilie a pokoru pred predmetom štúdia na vytvorenie symbolov iracionality. Vytvorenie novej entity si vyžaduje voľný výkon. Jeho sloboda je vyjadrená v tom, že máme možnosť buď zostať pri „dobrom“ starom, alebo sa povzniesť k „lepšiemu“ novému. Úspech spočíva v tom, že „prírodné sily“ - zotrvačnosť a samoľúbosť vlastná mysli - ju tlačia do stagnácie v starom, v konečnom dôsledku v „známom“. Je potrebné prekonať samoľúbosť rozumu, prelomiť magický kruh jeho konečných pojmov a vstúpiť do nového prostredia – prostredia nadkonečného, ​​rozumu nedostupného a pre neho absurdného. V aritmetike je to rozumný výkon. Bolo by však veľkou chybou vidieť v tomto počine niečo výnimočné a výnimočné. Moderná matematika je vo svojej celistvosti postavená na koncepte limity a limitujúceho procesu, s ktorým sa musíme jasne vysporiadať vždy, keď sa jasne objaví myšlienka nekonečna, a bez ktorého tichej účasti na budovaní vedy nemožno urobiť ani krok. Iracionality, ktorých teória tu odznela, sú len najjednoduchším a dobre známym prípadom obmedzujúceho procesu; ale okrem toho existuje mnoho ďalších podobných aplikácií základného konceptu prekonania konečnosti. Transcendentálnu analytickú funkciu teda nemožno vyjadriť žiadnym konečným počtom prvkov, zatiaľ čo v súvislosti s algebraickou funkciou Weierstrass zistil, že tak môže byť vyjadrená vždy. Potom sa však objaví začiatok prekonávania konečnosti a podľa Poincarého teorému sa ukáže, že „každá analytická funkcia môže byť definovaná pomocou spočítateľnej množiny prvkov. (x – a)" 840 . Analytická funkcia je teda v rovnakom vzťahu k algebraickej funkcii ako iracionálne číslo k racionálnemu číslu. R. Dedekind, – Spojitosť a iracionálne čísla [1872]. Per. s ním. s cca. S. O. Šatunovskij. Odessa, vyd. "Matéza". Ed. 2., 1909,- s prísl. články "Doc. podstatné meno trans. čísla." – Weber. Wellstein. – Vasiliev, §§ 18–31. – J. Tannery, – Úvod do teórie funkcií jednej premennej, 1913 (francúzske 1. vyd. sa stalo bibliografickým vydaním). - Jeho, - Teoretický kurz. a praktická aritmetika. Per. A. A. Kotlyarevsky, vyd. D. L. Volkovsky, M., 1913. – M. Volkov, – Evolúcia pojmu číslo. Petrohrad, 1899. - F. Klein, - Otázky elementárnej a vyššej matematiky, 1. diel, Odesa, 1912, prel. úprava V. Kogan, vyd. Mathesis, s. 47–56. – F. Klein – Anwendung d. Diferenciál-u. Integrálna zmena geometrie. Eine Revision d. Principien, Lpz. 1901, 2. ausg. 1907. – A. Focc, – O podstate matematiky. Per. I. V. Yashunsky. Petrohrad, 1911. Publ. "Fyzika". – Ch. du Méray, – Nouv. Précis d'Analyse infini tésim. Paris, 1872 (hlavnú sériu nazýva „konvergentný variant“ a rovnocennú sériu – „ekvivalent“. - G. Cantor, - Ueb. die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie d. trigon. Reihen („Mat. An.“, Bd. 5). – Pasch, – Einl. v d. Int. – L128rech. u. B. Russel, – Principles of mathematics., 1902. – Heine, – Die Elemente d. Functionenlehre (“Crelle’s Journ.”, Bd. 74 – Weierstrassova teória nie je prezentovaná v jeho pôvodných prácach: Korsak, – Die Elemente d. 2-Fürnte – Grundl.8 Aufl., 1898 A. Pringsheim, – Irrationalzahlen u. Konvergenz unendlicher Processe (“Enc. d. Math. Wis.” Lpz. 1898–1904, Bd. 11, SS. 47 ff., 1991. – O. Stolz u. Borel, – Leq. s. la Th. d. fon.,, IV, s. 54–55. N. H. Abel, – Note sur un mémorie de M. L. Olivier ayant pour titre „Remarque sur les séries infinies...“ („Oeuvres compl.“ de N. H. Abel, nouv. éd. par L. Sylov et S. Lie, T. 1, s. 399–402). Abel dokazuje, že kritérium konvergencie nemôže byť dané ako rovnosť, – [H. V.] Bugajev, – Nekonečná konvergencia. riadkov podľa ich vonkajšej mysle. M., 1863. – Svoj vlastný, – Úvod. v analýze a diferenciáli. isch., lit. Lek., ed. 2nd, [M.], 1898, s. 143–144. – L. Euler, – De Infinities infinitis gradibus („Acta Petrop.“, 1778). – P. du Bois-Reymond, – Die allgemeine Funktionentheorie, Tübingen, 1882. – E. Borel, – Leçons sur la théorie des Fonctions, Paríž, 1898. – His, – Leç. s. les Fonctions entières, P., 1900. – Jeho vlastný, – L. s. l. séries divergantes, R., 1901. – Jeho vlastný, – L. s. l. séries à termes positifs, rec. et red. par R. d'Adhénar, P., 1902. His, L. s. l. Funkcie méromorfov. – H. Parfentiev, – Výskum teórie rastu funkcií, Kazaň, 1910. Z mála pokusov v tomto napríklad, a aj to len vo vzťahu. iracionality, - Viem: pokus Solomona Maimona (o ňom pozri: B. Jakovenko, - Filozofický koncept Sol. Maimona, „Otázky Fil. a Psych.“, 1912, knihy 114 (IV) a 115 (V); potom: Benno Kerru, - System einerbegriffe d. Grenzrag Erkenntnisstheorie. von G. Kohn, Lpz u. Wien, 1890. Posmrtná práca - K. Žakov, - Základy evolučnej teórie poznania (limitizmus), - Limity epistemológie, 1. najnovšia hranica, 1913. Január. ale prekvapivo nie do takej miery, aby to mohli využiť, nielen bez toho, aby porušili, ale dokonca posilnili hlavné línie svojich konštrukcií.