XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

Na jednym przykładzie można wytłumaczyć, że synteza superracjonalna, bo taki jest dogmat, nie jest w nauce czymś zupełnie bezprecedensowym i nieoczekiwanym. Dokonuje się tego bardzo często, np. przy konstrukcji tzw. liczb niewymiernych. Według pierwotnej definicji „liczba” to liczba całkowita, a następnie liczba wymierna, czyli ułamek. Jednak rozwiązanie niektórych problemów geometrycznych często prowadzi do stosunku wielkości – na przykład odcinków – który nie jest wyrażony liczbowo. Operacje arytmetyczne odpowiadające tym działaniom są niemożliwe, ponieważ ta kombinacja symboli arytmetycznych jest pozbawiona jakiegokolwiek znaczenia. Co na przykład oznacza √2? – Oznacza to i tylko tyle, że w trakcie podejmowania decyzji natknęliśmy się na mur. Szukaliśmy pewnej liczby, ale okazało się, że nie ma liczby, która spełniałaby warunki zadania: √2 jest symbolem arytmetycznej niemożliwości. Dlaczego? – Ale ponieważ ogólnie √a oznacza liczbę x, która po podniesieniu do kwadratu daje a, czyli liczbę spełniającą równanie: x2 = a. Łatwo jednak udowodnić, że nie ma i nie może być liczby x, której kwadrat byłby równy 2. To samo dotyczy geometrii. Możemy na przykład spróbować dowiedzieć się, ile razy jeden segment jest dłuższy od drugiego. W niektórych przypadkach zdefiniujemy to „o której godzinie?” , tj. znajdźmy liczbę, która go charakteryzuje; a w innych takiej liczby w ogóle nie będzie i wtedy samo pytanie „ile” nie ma sensu. Zatem przekątna kwadratu nie jest ani dłuższa, ani krótsza niż bok tego samego kwadratu. Przekątna i bok są ze sobą nieporównywalne w kierunku „w jakim czasie”, jak mówią, „niewspółmierne”. Jakakolwiek liczba, którą przyjmiemy do scharakteryzowania tego stosunku, okaże się nieodpowiednia. Jeśli bok ma swój własny numer, to przekątna nie ma i odwrotnie. Pomiędzy jednym a drugim jest jakaś przepaść, nieprzekraczalna dla liczb. Długość przekątnej jest transcendentalna (- używam tego słowa w sensie ogólnym, a nie matematycznym terminus technicus -) w stosunku do długości boku. Fakt ten został po raz pierwszy odkryty przez Pitagorasa; Jak wiadomo, sam geometr był przerażony głębią faktu, który odkrył i konsekwencjami, jakie z tego płyną. Przecież ten jeden fakt raz na zawsze spowodował nieodwracalne naruszenia wszelkiego racjonalizmu. Kombinacje symboli takie jak √2 w średniowieczu nazywano „numeri ficti, liczbami fikcyjnymi” lub w Liber abaci Leonarda z Pizy z 1202 r. „numeri surdi, ślepymi liczbami” i w ogóle nie uważano ich za liczby. Po raz pierwszy dopiero w wydanej w Norymberdze w 1544 roku Arithmetica integra Michaela Stiefela nadano im umowne znaczenie liczb i odpowiadającą im nazwę „numeri irrationales”, a Stiefel stwierdza, że ​​„irrationalis numerus non est verus numerus”, czyli „liczba niewymierna nie jest liczbą prawdziwą”. I nawet teraz w wielu podręcznikach algebry ważne jest stwierdzenie, że chociaż nie da się wyodrębnić pierwiastka kwadratowego z 2, ale mimo to itp. W zakresie działań znanych arytmetyce nie ma wyjścia z tej trudności. Operacje te prowadzą do wyniku, który nie ma już sensu, chyba że ich krąg zostanie przerwany; a jeśli nie zostanie uszkodzony, wówczas ta kombinacja narusza integralność samego kręgu, powodując wewnętrzne zniszczenie i dewastację. A zatem - i w ogóle: racjonalne działania prowadzą do takich kombinacji, na które nie ma już miejsca wśród ich producentów i które wymagają zerwania w sferze racjonalnej, aby narodzić się w nowym, dotychczas niespotykanym i niewyobrażalnym świecie. Rozwiązanie w algebrze osiąga się jedynie poprzez stworzenie nieziemskich, transcendentalnych bytów arytmetycznych dla zakresu danych operacji, które są już niewyrażalne w skończonych symbolach, ale są przez nie postulowane, uzasadniane i nadawane jest im nowe, wyższe znaczenie. Gdy jednak chcemy myśleć o tych nowych bytach arytmetycznych w kategoriach starych, gdy tylko chcemy wlać nowe wino do starych bukłaków, skutkuje to rozkładem symbolu nowego bytu na elementy składowe, które nie są ze sobą kompatybilne w zakresie starych pojęć, a sama esencja wyparowuje. Powiem ci jaśniej, o co tu chodzi. – Irracjonalne „liczby” przez długi czas były niejasnym absurdem, z którego wszyscy nieświadomie korzystali ze względu na praktyczną konieczność, a którego jednak nikt nie był świadomy. Jednak w latach 70. XIX wieku wyjście z tej sytuacji stało się pilną koniecznością. Pytanie było dojrzałe, a odpowiedzi na nie udzieliło niemal jednocześnie kilku badaczy, spośród których jako największych można wskazać nazwiska G. Cantora, K. Weierstrassa, C. du Mereta, E. Heine’a, R. Dedekinda, G. Kossaka, S. Pincherle’a, O. Biermanna, J. Tannery’ego, M. Paszy, V. Rössela i innych. niezależne od siebie i dlatego – co jest bardzo zrozumiałe – znacznie różnią się wyglądem. Ale w istocie wszyscy mówią to samo. Dlatego zatrzymam się trochę na jednym z nich – na metodzie G. Cantora – tego samego Cantora, o którym tyle razy mieliśmy okazję rozmawiać z Państwem na przestrzeni wolno mieszającego chleba, na skraju brzozowego gaju i w domu, przed płonącym piecem. pamiętasz? W pewnych przypadkach liczby a 1, a 2,... a n,... mogą okazać się takie, że szereg α, jak mówią, „zbiega się”, czyli będzie miał następującą własność: niezależnie od tego, jak małą liczbę σ weźmiemy, zawsze znajdzie się n tak duże, tj. wyraz lub element, oraz n tak odległe, że różnica między nim a dowolnym kolejnym wyrazem an+m, niezależnie od tego, jak duże jest to m, ma wartość bezwzględną (tj. bez biorąc pod uwagę znak różnicy) będzie mniejsza niż σ; symbolicznie: an+m – i n < σ, gdzie σ jest dowolnie małe. Innymi słowy, im dalej weźmiemy dowolny termin an, tym mniejsza staje się różnica między nim a wszystkimi następującymi po nim wyrazami, a ponadto można go doprowadzić do zera, zgodnie z potrzebą, chociaż ogólnie rzecz biorąc, nigdy nie osiągnie zera. Będzie to na przykład grupa liczb. W rzeczywistości dla niego wartość bezwzględna różnicy między (n+m)-tym i n-tym wyrazem będzie wynosić: Im więcej m, tym mniejsza wartość 1/2 m, a zatem i większy licznik. Ale on zawsze jest n. Jasne jest, że niezależnie od tego, jak mała może być dana nam liczba σ, zawsze można wybrać n tak duże, że istnieje 1/2n < σ, a zatem tym bardziej, że różnica między (n+m)-tym i n-tym wyrazem, tj. nastąpiła zbieżność, „zbiega się”, wówczas szereg a 1, a 2, a 3,… otrzymuje nazwę szeregu głównego Fundamentalreihe, a cała grupa jako pojedynczy obiekt α otrzymuje nazwę liczby niewymiernej. Ale używając racjonalnych symboli jako bezkształtnej substancji, możemy za pomocą zupełnie nowych konstruktywnych definicji wprowadzić do agregatu liczb wymiernych, który jako całość jest pozbawiony jakości, nową esencję, która ją organizuje. Wtedy liczba niewymierna zostanie odciśnięta i ucieleśniona w tej „substancji”. Każda liczba wymierna z osobna, każdy element, każdy atom tego agregatu sam w sobie, w swoim pierwotnym znaczeniu, nie ma nic wspólnego z ucieleśnioną w nim całością, tak jak estetyczna idea posągu nie ma nic wspólnego z marmurowymi kryształami tworzącymi posąg, ani znaczeniem wiersza z dźwiękami poszczególnych słów. Ale nieskończoność, a dokładniej: superskończoność, ich całość całkowicie odzwierciedla tę całość, tę ideę. W podstawowym szeregu Cantora, który przedstawia, ucieleśnia, reprezentuje i zgodnie z definicją jest liczbą niewymierną α, każdy z elementów a1, a2,…an,… dopóki wkraczamy w sferę irracjonalności, nie ma to nic wspólnego z α, a wręcz absurdem jest pytać, w jakim związku znajdują się te zasadniczo nieporównywalne symbole, z których α jest transcendentalne dla każdego ai (gdzie i = 1, 2, 3,... n,...). Ale zbiór liczb a i, połączony znakiem zbieżności i definicją „działań” na α jako na pojedynczym przedmiocie, dokładnie oddaje tę transcendentalną istotę α. Następnie, po całkowitym zbadaniu α, okazuje się, że można dokonać transpozycji całego ai w postaci α, chociaż odwrotnie nie jest możliwe transponowanie α w postaci ai; wówczas między a i i α ustala się pojęcie „podobieństwa”, chociaż to „podobieństwo” jest jedynie podobieństwem podpowiedzi, a nie tautegorią. Oznacza to, że choć α jest dla każdego ai transcendentalne, „niezrozumiałe” z punktu widzenia i, to jednak wszelkie ai są dla α immanentne, całkowicie dla niego przejrzyste. Można nawet powiedzieć, że z punktu widzenia ai nie da się dostrzec tych transcendentalnych korzeni ai, tej transcendentalnej iluminacji i, która jednak z punktu widzenia α jest jasna i oczywista. Immanencja i transcendencja w sferze istot rozumu są podobne do tych w sferze istot ontologii: Bóg jest transcendentalny dla świata z punktu widzenia świata, ale świat nie jest transcendentalny wobec Boga, ale jest całkowicie przeniknięty Boskimi energiami - α i ai są różne, ale jeśli α rozważy się w szeregu wszystkich ai, to widać, że różnica lub podobieństwo samych ai i α zmienia się wraz ze zmianą ja. Z punktu widzenia legalisty formalnego, racjonalnego, zgodnie z prawem tożsamości, ai nie jest jak α; ale dla bezpośredniej świadomości i mogę wskazać α, a ponadto bardziej przejrzyste lub mętne, w zależności od wartości i. Proszę jednak pamiętać, że tutaj przedstawiam jedynie ogólne wyniki, a nie samą teorię. Z koncepcji równości dwóch irracjonalności α i analogicznej do niej β, uzyskanej różnymi procesami, wynika, że skończoną część symboli ai można wyrzucić z α, że można wybrać i usunąć z grupy nieskończoną grupę (a 1, a 2,.. a n...), że można w końcu dokonać permutacji parami, „transpozycji” nieskończonego zbioru elementów a i, o ile konstrukcja nie zmienia szeregów, dopóki elementy nie przemieszczają się tak, aby nie móc powrócić do starego układu poprzez pewne permutacje parami - a mimo to α się nie zmieni. Co więcej, nawet zupełnie różne zbiory (a1, a2, a3,..an,..) i (b 1, b 2, b 3,.. b n,..) mogą wyrażać tę samą liczbę α: zupełnie różne znaki mogą wyrażać tę samą racjonalną istotę. A zatem: napotkawszy niemożliwą kombinację symboli, absolutnie nie byliśmy w stanie rozwiązać problemu. Natknęliśmy się na mur – ograniczenia najbardziej arytmetycznych bytów ucieleśnionych w tych znakach. Pozostało tylko jedno: albo porzucić samo zadanie, albo wznieść się ponad płaszczyznę myślenia operującą symbolami „skończonymi” – wprowadzić nową ideę, ideę aktualnej – czyli syntetyzowanej – nieskończoności i za jej pomocą stworzyć, poprzez specjalny akt twórczy ducha, zupełnie nową istotę mentalną – irracjonalność. Czy był tu ciąg dedukcji? Oczywiście, że nie! Dokonaliśmy skoku - przerwy w rozwoju; wprowadziliśmy coś znacząco nowego. Nie mogliśmy go wprowadzić, ograniczając się do tych esencji, które są dane, czyli esencji „skończonych”, oddając się pozytywistycznemu pozbawieniu umysłu i opierając się na niemożliwości wyjścia poza granice tych symboli. Moglibyśmy też pójść wyżej; wymagało to jednak wysiłku woli i wyczynu rozumu – bardzo specyficznego wysiłku i pokory, zanim obiekt badań miał stworzyć symbole irracjonalności. Utworzenie nowego podmiotu wymaga darmowego wyczynu. Jej wolność wyraża się w tym, że mamy możliwość pozostania przy „dobrym” starym lub wzniesienia się do „lepszego” nowego. Wyczyn polega na tym, że „siły naturalne” - bezwładność i samozadowolenie nieodłącznie związane z umysłem - popychają go do stagnacji w starym, ostatecznie w „znanym”. Należy przezwyciężyć samozadowolenie rozumu, przełamać magiczny krąg jego skończonych pojęć i wejść w nowe środowisko – środowisko nadskończoności, niedostępne rozumowi i dla niego absurdalne. Jest to rozsądne osiągnięcie w arytmetyce. Byłoby jednak wielkim błędem widzieć w tym wyczynie coś wyjątkowego i wyjątkowego. Współczesna matematyka w całości zbudowana jest na pojęciu granicy i procesu ograniczającego, z którym musimy sobie jasno radzić za każdym razem, gdy wyraźnie pojawia się idea nieskończoności, i bez którego cichego udziału w konstruowaniu nauki nie można zrobić ani kroku. Irracjonalności, których teoria została tutaj poczyniona, są jedynie najprostszym i dobrze znanym przypadkiem procesu ograniczającego; ale ponadto istnieje wiele innych podobnych zastosowań podstawowej koncepcji przezwyciężania skończoności. Zatem transcendentalna funkcja analityczna nie może być wyrażona przez jakąkolwiek skończoną liczbę elementów, natomiast w przypadku funkcji algebraicznej Weierstrass stwierdził, że zawsze można ją w ten sposób wyrazić. Potem jednak pojawia się początek pokonywania skończoności i okazuje się, zgodnie z twierdzeniem Poincarégo, że „każdą funkcję analityczną można zdefiniować za pomocą przeliczalnego zbioru elementów (x – a)” 840 . Zatem funkcja analityczna ma taki sam związek z funkcją algebraiczną, jak liczba niewymierna z liczbą wymierną. Ten sam obszar pokonywania skończoności obejmuje niezwykle interesujące z teoretyczno-poznawczego i ontologicznego punktu widzenia badania znaków zbieżności i rozbieżności szeregów nieskończonych, w powiązaniu z problematyką funkcji rosnących i malejących oraz teorią całek oznaczonych. Oto „funkcje idealne” Π. du Bois-Reymonda można ponownie w pewnym sensie utożsamić z irracjonalnością, ale nie wśród liczb i nie wśród funkcji, ale wśród całek. Badania N. Abela, N. V. Bugaeva, P. du Bois-Reymonda, E. Borela, J. Hadamarda, A. Poincarégo i innych 841, mimo specyfiki postawionych tam problemów i stosowanych w nich metod, mają dla filozofii największe znaczenie i można się tylko dziwić, że dotychczas nie dokonano ich prawie żadnego zastosowania 842. R. Dedekind, – Ciągłość i liczby niewymierne [1872]. Za. z nim. z ok. S. O. Szatunowski. Odessa, wyd. „Mateza”. wyd. 2.1909, - z wyposażeniem. artykuły „Dok. rzeczownik przeł. liczby.” – Webera. Wellsteina. – Wasiliew, §§ 18–31. – J. Tannery, – Wprowadzenie do teorii funkcji jednej zmiennej, 1913 (wyd. francuskie stało się wydaniem bibliograficznym). - Jego, - Kurs teoretyczny. i praktyczna arytmetyka. Za. A. A. Kotlyarevsky, wyd. D. L. Volkovsky, M., 1913. – M. Volkov, – Ewolucja pojęcia liczby. Petersburg, 1899. - F. Klein, - Zagadnienia matematyki elementarnej i wyższej, część 1, Odessa, 1912, przeł. pod red. V. Kogana, wyd. Mathesis, s. 47–56. – F. Klein – Anwendung zm. Mechanizm różnicowy-u. Integralrechnung auf die Geometry. Wersja Eine d. Principien, Lpz. 1901, 2 sierpnia. 1907. – A. Focc, – O istocie matematyki. Za. I. V. Jaszunski. Petersburg, 1911. Wyd. "Fizyka". – Ch. du Méray, – Nouv. Précis d'Analyse infini tésim. Paryż, 1872 (szereg główny nazywa „wariantem zbieżnym”, a szereg równy „równoważnikiem”. - G. Cantor, - Ueb. die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie d. trigon. Reihen („Mat. An.”, Bd. 5). – Pasch, – Einl. in d. Dif. u. Int.-rechn., Lpz. 1882. – B. Russel, – Zasady matematyki, 1902. – Heine, – Die Elemente d. Functionenlehre („Crelle’s Journ.”, Bd. 74). – Teoria Weierstrassa nie jest przedstawiona w jego oryginalnych dziełach: Korsak, – Die Elemente d. – Grundl. 1898 A. Pringsheim, – Irrationalzahlen u. Konvergenz unendlicher Processe („Enc. d. Math. Wis.” Lpz. 1898–1904, Bd. 11, SS. 47 i nast.), – Die logischen Grundlagen d ty Borel, – Leq. s. la Th. d. fon.,, IV, s. 54–55. N. H. Abel, – Note sur un mémorie de M. L. Olivier ayant pour titre „Remarque sur les séries infinies…” („Oeuvres compl.” de N. H. Abel, nouv. éd. par L. Sylov et S. Lie, T. 1, s. 399–402). Abel udowadnia, że ​​kryterium zbieżności nie można podać w formie równości, – [H. V.] Bugaev, – Nieskończona zbieżność. rzędy zgodnie ze swym zewnętrznym umysłem. M., 1863. – Własny, – Wstęp. w analizie i różnicowaniu. isch., dosł. Lek., wyd. 2., [M.], 1898, s. 143–144. – L. Euler, – De Infinities infinitis gradibus („Acta Petrop.”, 1778). – P. du Bois-Reymond, – Die allgemeine Funktionentheorie, Tübingen, 1882. – E. Borel, – Leçons sur la théorie des Fonctions, Paryż, 1898. – Jego, – Leç. S. les Fonctions entières, P., 1900. – Własny, – L. s. l. serie rozbieżne, R., 1901. – Własny, – L. s. l. seria à termes positifs, rec. i czerwony. par R. d'Adhénar, P., 1902. His, L. s. l. Funkcje meromorfów. – H. Parfentiev, – Badania nad teorią wzrostu funkcji, Kazań, 1910. Z nielicznych prób w tym na przykład, a nawet wtedy tylko w związku. irracjonalności, - wiem: próba Salomona Maimona (o nim zob.: B. Yakovenko, - Koncepcja filozoficzna Sol. Maimona, „Pytania Phil. and Psych.”, 1912, księgi 114 (IV) i 115 (V); następnie: Benno Kerru, - System einer Theorie d. Grenzbegriffe. Eine Beitrag zur Erkenntnisstheorie. Her. von G. Kohn, Lpz. u. Wien, 1890. Posthumous work. - K. Zhakov, - Fundamentals of the evolutionary theory of knowledge (limitism). P. Florensky, - Limits of epistemology, Serg. Pos., 1913 (= “God. V.”, 1913, January). The newest transcendentalists also use the concept of ograniczać, ale, o dziwo, nie na tyle, aby mogli z niego skorzystać, nie tylko bez naruszania, ale wręcz wzmacniania głównych linii swoich konstrukcji.