XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

Со еден пример може да се објасни дека суперрационалната синтеза, што е догма, не е нешто сосема невидено и неочекувано во науката. Се изведува многу често, на пример во изградбата на таканаречените ирационални броеви. Според првобитната дефиниција, „број“ е цел број, а потоа рационален број, односно дропка. Меѓутоа, решавањето на некои геометриски проблеми често доведува до сооднос на количини - на пример, отсечки - што не се изразува во бројки. Аритметичките операции што одговараат на овие дејства се невозможни, бидејќи оваа комбинација на аритметички симболи е лишена од какво било значење. Што значи √2, на пример? – Тоа значи дека и само дека во текот на одлуката налетавме на ѕид. Баравме одреден број, но се покажа дека нема број што би ги задоволил условите на проблемот: √2 е симбол на аритметичка неможност. Зошто? – Но затоа што генерално √a значи број x кој кога се квадрира дава a, односно број што ја задоволува равенката: x2 = a. Но, лесно е да се докаже дека не постои и не може да има број x чиј квадрат би бил еднаков на 2. Истото важи и за геометријата. Можеме, на пример, да се обидеме да откриеме колку пати еден сегмент е подолг од друг. Во некои случаи ќе го дефинираме ова „во колку часот?“ , т.е. да го најдеме бројот што го карактеризира; а во други воопшто нема да има таков број, а потоа самото прашање „колку“ нема смисла. Така, дијагоналата на квадрат не е ниту подолга ниту пократка од страна на истиот квадрат. Дијагоналата и страната се неспоредливи едни со други во насока „во кое време“, како што велат, „неспоредливи“. Без оглед на бројот што ќе го земеме за да го карактеризираме овој сооднос, ќе испадне дека е несоодветен. Ако една страна има свој број, тогаш дијагоналата нема, и обратно. Помеѓу едното и другото има некаква бездна, непроодна за бројки. Должината на дијагоналата е трансцендентална ( - го користам овој збор во општа смисла, а не како математички терминус техника -) во однос на должината на страната. Овој факт првпат бил откриен од Питагора; Како што знаете, самиот геометар бил ужаснат од длабочината на фактот што го открил и последиците што произлегуваат од него. На крајот на краиштата, овој факт еднаш засекогаш предизвика непоправливи прекршувања на целиот рационализам. Комбинациите на симболи како √2 во средниот век се нарекувале „нумери фикти, фиктивни броеви“ или, во Liber abaci на Леонард од Пиза, датира од 1202 година, „нумери сурди, слепи броеви“ и воопшто не се сметале за броеви. За прв пат, само во Arithmetica integra на Мајкл Штифел, објавена во Нирнберг во 1544 година, им било дадено конвенционалното значење на броевите и соодветното име „numeri irrationales“, а Штифел изјавува дека „irrationalis numerus non est verus numerus“, односно дека „ирационален број не е вистински број“. И дури и сега во многу учебници за алгебра е важно да се наведе дека иако е невозможно да се извлече квадратниот корен од 2, но сепак, итн. Во опсегот на операции што го знае аритметиката, нема излез од оваа тешкотија. Овие операции водат до резултат кој повеќе нема смисла освен ако нивниот круг не е прекинат; и ако не е скршена, тогаш оваа комбинација го нарушува интегритетот на самиот круг, предизвикувајќи внатрешно уништување и уништување. Значи - и воопшто: рационалните операции водат до такви комбинации на кои веќе нема место меѓу нивните производители и кои бараат прекин во рационалното царство за да се родат во нов, досега невиден и незамислив свет. Решението во алгебрата се постигнува само со создавање на туѓи, трансцендентални аритметички ентитети за опсегот на дадените операции, кои се веќе неискажливи во конечни симболи, но се постулирани од нив, се оправдуваат и им се дава ново, повисоко значење. Меѓутоа, штом сакаме да ги мислиме овие нови аритметички ентитети во однос на старите, штом сакаме да истуриме ново вино во стари корички, тоа резултира со распаѓање на симболот на новиот ентитет на компоненти кои се некомпатибилни едни со други во областа на старите концепти, а самата суштина испарува. Ќе ти кажам појасно што се случува овде. – Нерационалните „цифри“ долго време беа нејасен апсурд, кој сите несвесно го користеа заради практична неопходност, а за кој, сепак, никој не беше свесен. Но, до 70-тите години на 19 век, излегувањето од оваа ситуација стана итна потреба. Прашањето беше зрело, а одговорот на него го дадоа речиси истовремено неколку истражувачи, меѓу кои, како најголеми, имињата на G. Cantor, K. Weierstrass, C. du Meret, E. Heine, R. Dedekind, G. Kossak, S. Pincherle, O. Biermann, J. Tannery, R. независни еден од друг и затоа што - што е многу разбирливо - тие значително се разликуваат по својот изглед. Но, во суштина, сите тие го кажуваат истото. Затоа, малку се задржувам на еден од нив - на методот на Г. Се сеќаваш ли? понекогаш, будејќи се навечер, се вклучувавме во тивок разговор, а времето незабележано се лизгаше додека часовникот на камбанаријата не потсети на претстојното утро... За да ја разберете конструкцијата на Кантор, ќе ве прашам едно: заборавете на сè што досега сте слушнале за ирационалните броеви и имајте на ум дека треба да создадете сосема нов предмет на размислување. G. Cantor зема бесконечно множество од броеви a 1, a 2, a 3, a 4,... a n, ... и n+m,..., подредени по редослед на пишување, така што после секој број најблиску до него и пред секој, освен првиот, има најблискиот што му претходи. Оваа серија на броеви Кантор ја смета како единствен објект α. Да го означиме ова симболично со заградување на целата група во загради, така што ќе биде можно да се напише еднаквоста што служи како дефиниција на α, имено: α=(a 1, a 2, a 3, … a n,… a n+m, …) Тоа значи дека α не е ништо повеќе од бесконечна група, замислива во единство. Во одредени случаи, броевите a 1, a 2,.. a n,... може да испаднат да бидат такви што серијата α, како што велат, „ќе се спои“, т.е. ќе го има следново својство: колку и да е мал бројот σ што ќе го земеме, секогаш ќе има n толку голем, т.е. член или елемент, а n толку оддалечена што разликата помеѓу него не е под, колку е голема. апсолутната вредност (т.е. без да се земе предвид знакот на разликата) ќе биде помала од σ; симболично: an+m – и n < σ, каде што σ е произволно мал. Со други зборови, колку подалеку земеме кој било член a n, толку е помала разликата помеѓу него и сите оние што го следат, а згора на тоа, може да се приближи до нула колку што сакате, иако, генерално кажано, никогаш нема да стане нула. Ова, на пример, би било група на броеви. Всушност, за него апсолутната вредност на разликата помеѓу (n+m)-тиот и n-тиот член ќе биде: Колку повеќе m, толку е помала вредноста од 1/2 m, и затоа броителот е поголем. Но, тој секогаш е н. Јасно е дека колку и да е мал некој број σ што ни е даден, секогаш е можно да се избере n толку голем што да има 1/2n < σ и затоа, уште повеќе, така што разликата помеѓу (n+m)-тиот и n-тиот член, т.е. имаше конвергенција, „конвергира“, потоа серијата a 1, a 2, a 3,... го добива името на главната серија, Fundamentalreihe, а целата група, како единствен објект α, го добива името на ирационален број. Така, ирационалноста, на полето на конечната аритметика заснована на разумот, е бесмислица од гледна точка на „броевите“, односно броевите во нивната последна смисла, добиени како комбинација од конечен број основни симболи (1, 2, 3, 4, 5, ... n, ...). Ниту една комбинација од овие симболи, конечни, иманентни по разум, не може да даде слика за ирационалност или дури и нешто „слично“ на неа. Ирационалноста е секако трансцендентална, апсолутно неразбирлива за рационалното царство. И еднаш засекогаш, конечно и неотповикливо, мора да се откажеме од намерата да ја претставиме ирационалноста во форма на конечна комбинација на рационалности. Но, користејќи рационални симболи како безоблична супстанција, можеме, со помош на сосема нови конструктивни дефиниции, во агрегатот на рационалните броеви, кој е безквалитетен во целина, да внесеме нова суштина што ја организира. Тогаш ирационалниот број ќе биде втиснат и отелотворен во оваа „супстанција“. Секој рационален број одделно, секој елемент, секој атом од овој агрегат сам по себе, во неговото првобитно значење, нема ништо заедничко со целото отелотворено во него, исто како што естетската идеја на статуата нема ништо заедничко со мермерните кристали што ја сочинуваат статуата или значењето на песната со звуците на поединечни зборови. Но, бесконечното, - поточно: суперконечното, - севкупноста од нив целосно ја отсликува оваа целина, оваа идеја. Во основната серија Кантор, која прикажува, отелотворува, претставува и е, според дефиницијата, ирационален број α, секој од елементите a1, a2,… аn, … се додека само влегуваме во доменот на ирационалноста, нема врска со α, па дури е апсурдно да се запрашаме во каква врска се наоѓаат овие суштински неспоредливи симболи, од кои α е трансцендентален за секој ai (каде i = 1, 2, 3,... n,...). Но, множеството броеви a i, поврзани со знакот на конвергенција и дефиницијата за „дејства“ на α како единствен објект, точно ја прикажува оваа трансцендентална суштина на α. Последователно, кога α целосно ќе се испита, се покажува дека е можно да се транспонира целиот ai во форма на α, иако е невозможно, обратно, да се транспонира α во форма на ai; тогаш концептот на „сличност“ се воспоставува помеѓу i и α, иако оваа „сличност“ е само сличност на навестување, а не таутегорија. Ова значи дека иако α е трансцендентален за сите ai, „неразбирлив“ од гледна точка на i, но сите ai се иманентни за α, целосно проѕирни за него. Дури може да се каже дека од гледна точка на ai е невозможно да се видат тие трансцендентални корени на ai, тоа трансцендентално просветлување на i, кое, сепак, е јасно и очигледно од гледна точка на α. Значи: наидов на невозможна комбинација на симболи, апсолутно не можевме да го решиме проблемот. Наидовме на ѕид - ограничувањата на повеќето аритметички ентитети отелотворени во овие знаци. Остана само едно: или да се напушти самата задача, или да се издигне над рамнината на размислување што функционира со „конечни“ симболи - да се воведе нова идеја, идејата за актуелната - односно синтетизирана - бесконечност и, со помош на тоа, да се создаде, со посебен креативен чин на духот, сосема нова ментална суштина - ирационалност. Имаше ли редослед на одбитоци овде? Секако дека не! Направивме скок - прекин во развојот; воведовме нешто значително ново. Не можевме да го воведеме, ограничувајќи се на оние суштини што се дадени, односно „конечни“ есенции, препуштајќи се на позитивистичкото лишување од умот и почивајќи се на неможноста да се излезе надвор од границите на овие симболи. Можеме да одиме и повисоко; но ова бараше напор на волја и подвиг на разумот - многу специфичен напор и понизност пред предметот на проучување да биде потребен за создавање симболи на ирационалност. Создавањето нов ентитет бара бесплатен подвиг. Нејзината слобода се изразува во фактот што ни се дава можност или да останеме со „доброто“ старо, или да се издигнеме кон „подоброто“ ново. Подвигот лежи во фактот дека „природните сили“ - инерцијата и самозадоволството својствени на умот - го туркаат до стагнација во старото, на крајот на краиштата, во „познатото“. Неопходно е да се надмине самозадоволството на разумот, да се прекине магичниот круг на неговите конечни концепти и да се влезе во нова средина - околината на суперконечното, недостапно за разумот и апсурдно за него. Ова е разумен подвиг во аритметиката. Сепак, би било голема грешка да се види во овој подвиг нешто исклучително и посебно. Модерната математика, во целост, е изградена врз концептот на граница и ограничувачки процес, со кои треба јасно да се справуваме секогаш кога јасно се појавува идејата за бесконечноста, и без чие тивко учество во изградбата на науката не може да се направи ниту еден чекор. Ирационалностите, некои навестувања за чија теорија се дадени овде, се само наједноставниот и добро познат случај на ограничувачки процес; но, покрај тоа, постојат и многу други слични примени на основниот концепт на надминување на конечноста. Така, трансценденталната аналитичка функција не може да се изрази со кој било конечен број елементи, додека во однос на алгебарската функција Вајерштрас открил дека секогаш може да се изрази како таква. Но, тогаш се појавува почетокот на надминување на конечноста и излегува, според теоремата на Поенкаре, дека „секоја аналитичка функција може да се дефинира со помош на броило збир на елементи (х – а)“ 840 . Така, аналитичката функција стои во ист однос со алгебарската функција како што ирационален број стои со рационален број. Истата област на надминување на конечноста вклучува исклучително интересни, од теоретско-когнитивна и онтолошка гледна точка, студии за знаци на конвергенција и дивергенција на бесконечни серии, во врска со прашањето за зголемување и намалување на функциите и теоријата на одредени интеграли. Еве ги „идеалните функции“ Π. du Bois-Reymond може повторно, во одредена смисла, да се изедначи со ирационалност, но не меѓу броевите и не меѓу функциите, туку меѓу интегралите. Истражувањето на Н. N. H. Abel, – Note sur un mémorie de M. L. Olivier ayant pour titre “Remarque sur les séries infinies...” („Oeuvres compl.” од N. H. Abel, nouv. éd. par L. Sylov et S. Lie, T. 1, стр. 399–40). Абел докажува дека критериумот за конвергенција не може да се даде како еднаквост, – [Х. В.] Бугаев, – Бесконечна конвергенција. редови според нивниот надворешен ум. М., 1863. – Свои, – Вовед. во анализа и диференцијал. иш., осветлена. Лек., ед. 2-ри, [М.], 1898, стр. 143–144. – L. Euler, – De Infinities infinitis gradibus („Acta Petrop.“, 1778). – P. du Bois-Reymond, – Die allgemeine Funktionentheorie, Tübingen, 1882. – E. Borel, – Leçons sur la théorie des Fonctions, Париз, 1898. – Неговиот, – Leç. с. les Fonctions entières, P., 1900. – Неговиот, – L. s. л. séries divergantes, R., 1901. – Неговите, – L. s. л. серии à termes positifs, rec. и црвено. par R. d'Adhénar, P., 1902. Неговиот, L. s. л. Функциите мероморфи. – Х. Парфентиев, – Истражување за теоријата на раст на функциите, Казан, 1910 г. Од неколкуте обиди во ова на пример, па дури и тогаш само во однос. ирационалности, - Знам: обидот на Соломон Мајмон (за него, види: Б. Јаковенко, - Филозофски концепт на Сол. Мајмон, „Прашања на Фил. и Псих.“, 1912 година, книги 114 (IV) и 115 (V); потоа: Бено Керу, - System einerfegraneurez. Erkenntnisstheorie Her, Lpz, 1890 година. Постхумно - К трансценденталистите исто така го користат концептот на граница, но, зачудувачки, не до степен до кој би можеле да го искористат, не само без да ги нарушат, туку дури и да ги зајакнат главните линии на нивните конструкции.