XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

ერთი მაგალითით შეიძლება აიხსნას, რომ სუპერრაციონალური სინთეზი, რაც დოგმაა, არ არის სრულიად უპრეცედენტო და მოულოდნელი მეცნიერებაში. იგი ხორციელდება ძალიან ხშირად, მაგალითად, ე.წ. ირაციონალური რიცხვების აგებაში. თავდაპირველი განმარტებით, "რიცხვი" არის მთელი რიცხვი, შემდეგ კი რაციონალური რიცხვი, ანუ წილადი. თუმცა, ზოგიერთი გეომეტრიული ამოცანის გადაწყვეტა ხშირად იწვევს რაოდენობების - მაგალითად, სეგმენტების - თანაფარდობას, რომელიც არ არის გამოხატული რიცხვებით. ამ მოქმედებების შესაბამისი არითმეტიკული ოპერაციები შეუძლებელია, რადგან არითმეტიკული სიმბოლოების ეს კომბინაცია ყოველგვარ მნიშვნელობას მოკლებულია. რას ნიშნავს √2, მაგალითად? - ეს ნიშნავს, რომ და მხოლოდ ის, რომ გადაწყვეტილების მიღებისას კედელს წავაწყდით. ჩვენ ვეძებდით გარკვეულ რიცხვს, მაგრამ აღმოჩნდა, რომ არ არსებობდა რიცხვი, რომელიც დააკმაყოფილებდა ამოცანის პირობებს: √2 არის არითმეტიკული შეუძლებლობის სიმბოლო. რატომ? – მაგრამ რადგან ზოგადად √a ნიშნავს x რიცხვს, რომელიც კვადრატში იძლევა a, ანუ რიცხვს, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას: x2 = a. მაგრამ ადვილი დასამტკიცებელია, რომ არ არსებობს და არ შეიძლება იყოს x რიცხვი, რომლის კვადრატი ტოლი იქნება 2-ის. იგივეა გეომეტრიაშიც. ჩვენ შეგვიძლია, მაგალითად, ვცადოთ გავარკვიოთ, რამდენჯერ არის ერთი სეგმენტი მეორეზე გრძელი. ზოგიერთ შემთხვევაში ჩვენ განვსაზღვრავთ ამ "რა დროს?" , ე.ი. ვიპოვოთ მისი დამახასიათებელი რიცხვი; და სხვებში საერთოდ არ იქნება ასეთი რიცხვი და მაშინ კითხვას "რამდენი" აზრი არ აქვს. ამრიგად, კვადრატის დიაგონალი არც გრძელია და არც მოკლე, ვიდრე იგივე კვადრატის მხარე. დიაგონალი და გვერდი შეუდარებელია ერთმანეთთან მიმართებაში "რა დროს", როგორც ამბობენ, "შეუდარებელი". რა რიცხვიც არ უნდა ავიღოთ ამ თანაფარდობის დასახასიათებლად, უვარგისი აღმოჩნდება. თუ მხარეს აქვს საკუთარი ნომერი, მაშინ დიაგონალი არა და პირიქით. ერთსა და მეორეს შორის არის რაღაც უფსკრული, რიცხვებისთვის გაუვალი. დიაგონალის სიგრძე ტრანსცენდენტურია ( - ამ სიტყვას ვიყენებ ზოგადი მნიშვნელობით და არა როგორც მათემატიკური ტერმინის ტექნიკა -) გვერდის სიგრძესთან მიმართებაში. ეს ფაქტი პირველად პითაგორამ აღმოაჩინა; მოგეხსენებათ, თავად გეომეტრი შეძრწუნებული იყო მის მიერ აღმოჩენილი ფაქტის სიღრმით და მისგან გამომდინარე შედეგებით. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ ერთმა ფაქტმა ერთხელ და სამუდამოდ გამოიწვია ყველა რაციონალიზმის გამოუსწორებელი დარღვევა. სიმბოლოების კომბინაციებს, როგორიცაა √2 შუა საუკუნეებში ეწოდებოდა "numeri ficti, ფიქტიური რიცხვები" ან 1202 წლით დათარიღებული ლეონარდ პიზას Liber abaci-ში "numeri surdi, ბრმა რიცხვები" და საერთოდ არ ითვლებოდა რიცხვებად. პირველად, მხოლოდ მაიკლ შტიფელის Arithmetica integra-ში, რომელიც გამოქვეყნდა ნიურნბერგში 1544 წელს, მათ მიენიჭათ რიცხვების ჩვეულებრივი მნიშვნელობა და შესაბამისი სახელწოდება "numeri irrationales" და სტიფელი აცხადებს, რომ "irrationalis numerus non est verus numerus", ანუ "ირაციონალური რიცხვი არ არის ჭეშმარიტი რიცხვი". და ახლაც ბევრ ალგებრის სახელმძღვანელოში მნიშვნელოვანია იმის თქმა, რომ მართალია შეუძლებელია 2-ის კვადრატული ფესვის ამოღება, მაგრამ მაინც და ა.შ. მოქმედებების დიაპაზონში, რომელიც არითმეტიკამ იცის, ამ სირთულიდან გამოსავალი არ არის. ამ ოპერაციებს მივყავართ შედეგამდე, რომელსაც აზრი აღარ აქვს, თუ მათი წრე არ დაირღვევა; და თუ ის არ არის გატეხილი, მაშინ ეს კომბინაცია არღვევს თავად წრის მთლიანობას, რაც იწვევს შინაგან განადგურებას და განადგურებას. ასე რომ - და საერთოდ: რაციონალურ ოპერაციებს მივყავართ ისეთ კომბინაციებამდე, რომლებსაც აღარ აქვთ ადგილი მათ მწარმოებლებს შორის და რომლებიც საჭიროებენ რღვევას რაციონალურ სფეროში, რათა დაიბადონ ახალ, აქამდე უპრეცედენტო და წარმოუდგენელ სამყაროში. ალგებრაში გამოსავალი მიიღწევა მხოლოდ ამქვეყნიური, ტრანსცენდენტული არითმეტიკული ერთეულების შექმნით მოცემული ოპერაციების დიაპაზონისთვის, რომლებიც უკვე გამოუთქმელია სასრულ სიმბოლოებში, მაგრამ მათ მიერ არის პოსტულირებული, ისინი გამართლებულია და მათ ენიჭებათ ახალი, უმაღლესი მნიშვნელობა. თუმცა, როგორც კი გვინდა ვიფიქროთ ამ ახალი არითმეტიკული ერთეულების შესახებ ძველის მიხედვით, როგორც კი გვინდა ახალი ღვინის დავასხათ ძველ ტილოებში, ეს იწვევს ახალი ერთეულის სიმბოლოს დაშლას კომპონენტურ ელემენტებად, რომლებიც შეუთავსებელია ერთმანეთთან ძველი ცნებების სფეროში და თავად არსი აორთქლდება. უფრო გარკვევით გეტყვით რა ხდება აქ. – ირაციონალური „რიცხვები“ დიდი ხნის განმავლობაში იყო ბუნდოვანი აბსურდი, რომელსაც ყველა გაუცნობიერებლად იყენებდა პრაქტიკული აუცილებლობისთვის და რომლის შესახებ, თუმცა, არავინ იცოდა. მაგრამ XIX საუკუნის 70-იან წლებში ამ მდგომარეობიდან გამოსვლა გადაუდებელ აუცილებლობად იქცა. კითხვა მომწიფებული იყო და მასზე პასუხი თითქმის ერთდროულად რამდენიმე მკვლევარმა გასცა, რომელთა შორის, როგორც ყველაზე დიდი, მიუთითებს G. Cantor, K. Weierstrass, C. du Meret, E. Heine, R. Dedekind, G. Kossak, S. Pincherle, O. Biermann, J. Pastnery, Rösnery, M. ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და იმიტომ, რომ - რაც ძალიან გასაგებია - ისინი მნიშვნელოვნად განსხვავდებიან თავიანთი გარეგნობით. მაგრამ, არსებითად, ისინი ყველა ერთსა და იმავეს ამბობენ. ამიტომ, ცოტას ვჩერდები ერთ-ერთ მათგანზე - გ.კანტორის მეთოდზე - იგივე კანტორის შესახებ, რომლის შესახებაც მე და შენ რამდენჯერ გვქონდა საშუალება გვესაუბრა ნელ-ნელა აურიეთ პურის სივრცეში, არყის ჭალის პირას და სახლში, ანთებული ღუმელის წინ. გახსოვს? ხანდახან, ღამით გაღვიძებისას, წყნარ საუბარში ვეხებოდით და დრო შეუმჩნევლად ცურავდა მანამ, სანამ სამრეკლოზე საათი მოახლოებულ დილას არ გაგვახსენებდა... კანტორის კონსტრუქციის გასაგებად, ერთ რამეს გკითხავთ: დაივიწყეთ ყველაფერი, რაც აქამდე გსმენიათ ირაციონალური რიცხვების შესახებ და გაითვალისწინეთ, რომ სრულიად ახალი სააზროვნო ობიექტის შექმნა გჭირდებათ. G. Cantor იღებს რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს a 1, a 2, a 3, a 4,... a n, ... და n+m,..., დალაგებული წერის თანმიმდევრობით, ისე რომ ყოველი რიცხვის შემდეგ ყველაზე ახლოს მიდის მას და ყოველი მათგანის წინ, პირველის გარდა, არის უახლოესი, რომელიც წინ უსწრებს მას. რიცხვთა ეს სერია კანტორის მიერ განიხილება, როგორც ერთი ობიექტი α. სიმბოლურად აღვნიშნოთ ეს მთელი ჯგუფის ფრჩხილებში ჩასმით, რათა შესაძლებელი გახდეს ტოლობის დაწერა, რომელიც ემსახურება α-ს განმარტებას, კერძოდ: α=(a 1, a 2, a 3, … a n,… a n+m,…) ეს ნიშნავს, რომ α სხვა არაფერია, თუ არა უსასრულო ჯგუფი, წარმოდგენა ერთიანობაში. ზოგიერთ შემთხვევაში, რიცხვები a 1, a 2,.. a n,... შეიძლება აღმოჩნდეს ისეთი, რომ α სერიებს, როგორც ამბობენ, "დაახლოება", ანუ ექნება შემდეგი თვისება: რაც არ უნდა მცირე რიცხვი ავიღოთ σ, ყოველთვის იქნება n იმდენად დიდი, ანუ ტერმინი ან ელემენტი, და n იმდენად შორს, რომ ქვე, რაოდენ დიდია განსხვავება მას შორის. აბსოლუტური მნიშვნელობა (ანუ სხვაობის ნიშნის გათვალისწინების გარეშე) იქნება σ-ზე ნაკლები; სიმბოლურად: an+m – და n < σ, სადაც σ არის თვითნებურად მცირე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო შორს ავიღებთ a n ტერმინს, მით ნაკლებია განსხვავება მასსა და ყველა მის მიმდევარს შორის და, უფრო მეტიც, ის შეიძლება მიუახლოვდეს ნულს, როგორც სასურველია, თუმცა, ზოგადად რომ ვთქვათ, ის არასოდეს გახდება ნული. ეს, მაგალითად, იქნება რიცხვების ჯგუფი. სინამდვილეში, მისთვის სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა (n+m)-ე და n-ე წევრებს შორის იქნება: რაც მეტია m, მით უფრო მცირეა 1/2 მ-ის მნიშვნელობა და, შესაბამისად, უფრო დიდია მრიცხველი. მაგრამ ის ყოველთვის ნ. ცხადია, რაოდენ მცირეც არ უნდა იყოს ჩვენთვის მოცემული σ რიცხვი, ყოველთვის შესაძლებელია ავირჩიოთ n იმდენად დიდი, რომ იყოს 1/2n < σ და ამიტომ, მით უმეტეს, რომ განსხვავება (n+m)-ე და n-ე წევრებს შორის, ე.ი. იყო კონვერგენცია, „კონვერგენცია“, შემდეგ სერია a 1, a 2, a 3,... იღებს მთავარი სერიის სახელს, Fundamentalreihe და მთელი ჯგუფი, როგორც ერთი ობიექტი α, იღებს ირაციონალური რიცხვის სახელს. ამრიგად, ირაციონალურობა, მიზეზზე დაფუძნებული სასრული არითმეტიკის სფეროში, სისულელეა "რიცხვების" თვალსაზრისით, ანუ რიცხვები საკუთარი, საბოლოო გაგებით, მიღებული ძირითადი სიმბოლოების სასრული რაოდენობის (1, 2, 3, 4, 5, ... n, ...) თვალსაზრისით. ამ სიმბოლოების არც ერთი კომბინაცია, სასრული, გონივრული იმანენტური, არ შეუძლია წარმოადგინოს ირაციონალურობის ან თუნდაც რაიმე „მსგავსის“ გამოსახულება. ირაციონალურობა, რა თქმა უნდა, ტრანსცენდენტულია, რაციონალური სფეროსთვის აბსოლუტურად გაუგებარი. და ერთხელ და სამუდამოდ, საბოლოოდ და შეუქცევად, ჩვენ უნდა მივატოვოთ განზრახვა, წარმოვადგინოთ ირაციონალურობა რაციონალურობათა სასრული კომბინაციის სახით. მაგრამ რაციონალური სიმბოლოების, როგორც უფორმო სუბსტანციის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია, სრულიად ახალი კონსტრუქციული განმარტებების დახმარებით, რაციონალური რიცხვების აგრეგატში, რომელიც მთლიანობაში უხარისხოა, შევიტანოთ ახალი არსი, რომელიც აწესრიგებს მას. მაშინ ირაციონალური რიცხვი აღიბეჭდება და განხორციელდება ამ "სუბსტანციაში". თითოეულ რაციონალურ რიცხვს ცალ-ცალკე, თითოეულ ელემენტს, ამ აგრეგატის თითოეულ ატომს თავისთავად, თავდაპირველი მნიშვნელობით, არაფერი აქვს საერთო მასში განსახიერებულ მთლიანობასთან, ისევე როგორც ქანდაკების ესთეტიკურ იდეას არაფერი აქვს საერთო მარმარილოს კრისტალებთან, რომლებიც ქმნიან ქანდაკებას, ან ლექსის მნიშვნელობა ცალკეული სიტყვების ბგერებთან. მაგრამ უსასრულო, - უფრო ზუსტად: ზესასრული, - მათი მთლიანობა მთლიანად ასახავს ამ მთლიანობას, ამ იდეას. კანტორის ძირითად სერიაში, რომელიც ასახავს, ​​განასახიერებს, წარმოადგენს და, განმარტების მიხედვით, არის ირაციონალური რიცხვი α, თითოეული ელემენტი a1, a2,… аn,… სანამ ჩვენ მხოლოდ ირაციონალურობის სფეროში შევდივართ, მას საერთო არ აქვს α-სთან და აბსურდული კითხვაც კია, თუ რა მიმართებაშია განლაგებული ეს არსებითად შეუდარებელი სიმბოლოები, რომელთაგან α ტრანსცენდენტურია ყველა აისთვის (სადაც i = 1, 2, 3,... n,...). მაგრამ a i რიცხვების სიმრავლე, რომელიც დაკავშირებულია კონვერგენციის ნიშნით და α-ზე „მოქმედებების“ განმარტებით, როგორც ერთიან ობიექტზე, ზუსტად ასახავს α-ს ამ ტრანსცენდენტურ არსს. შემდგომში, როდესაც α მთლიანად განიხილება, აღმოჩნდება, რომ შესაძლებელია ყველა ai-ს გადატანა α-ს სახით, თუმცა შეუძლებელია, პირიქით, α-ს გადატანა აი-ს სახით; მაშინ i-სა და α-ს შორის დამყარებულია „მსგავსების“ ცნება, თუმცა ეს „მსგავსება“ მხოლოდ მინიშნების მსგავსებაა და არა ტატუგორია. ეს ნიშნავს, რომ მართალია α ტრანსცენდენტულია ყველა ai-სთვის, "გაუგებარი" a i-ს თვალსაზრისით, მაგრამ ყველა ai არის იმანენტური α-სთვის, მისთვის სრულიად გამჭვირვალე. შეიძლება ითქვას, რომ აი-ს თვალსაზრისით შეუძლებელია აი-ის იმ ტრანსცენდენტული ფესვების, i-ის ტრანსცენდენტული განათების დანახვა, რაც, თუმცა, α-ს თვალსაზრისით ნათელი და აშკარაა. იმანენტურობა და ტრანსცენდენტურობა გონების არსის სფეროში მსგავსია ონტოლოგიის არსების სფეროში: ღმერთი სამყაროსთვის ტრანსცენდენტურია, სამყაროს თვალსაზრისით, მაგრამ სამყარო არ არის ტრანსცენდენტული ღმერთის მიმართ, არამედ მთლიანად არის გაჟღენთილი ღვთაებრივი ენერგიებით - α და აი, თუ განიხილება ის, რაც განსხვავებულად განიხილება. თავად ai-სა და α-ს მსგავსება იცვლება i-ის ცვლილებით. ფორმალური ლეგალისტის, რაციონალურის თვალსაზრისით, იდენტობის კანონის მიხედვით აი არ ჰგავს α; მაგრამ, უშუალო ცნობიერებისთვის, და შემიძლია მივუთითო α-ზე და, უფრო მეტიც, უფრო გამჭვირვალე ან ღრუბლიანი, i-ის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. თუმცა, გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ აქ მე წარმოგიდგენთ მხოლოდ ზოგად შედეგებს, მაგრამ არა თავად თეორიას. ორი ირაციონალურობის, α და მისი ანალოგის, β, სხვადასხვა პროცესით მიღებული ტოლობის კონცეფციიდან დადგინდა, რომ ai სიმბოლოების სასრული ნაწილი შეიძლება ამოვიდეს α-დან, რომ შესაძლებელია ჯგუფიდან უსასრულო ჯგუფის არჩევა და ამოღება (a 1, a 2,... a n...), რომ შესაძლებელია, ბოლოს და ბოლოს, შეასრულოს უსასრულო სიმრავლე. a i ელემენტების, სანამ სტრუქტურა არ იცვლის სერიებს, სანამ ელემენტები არ მოძრაობენ ისე, რომ ვერ შეძლებენ ძველ განლაგებას გარკვეული წყვილის პერმუტაციებით დაუბრუნდნენ - და მაინც α არ შეიცვლება. უფრო მეტიც, სრულიად განსხვავებულმა სიმრავლემაც კი (a1, a2, a3,.. an,..) და (b 1, b 2, b 3,.. b n,..) შეიძლება გამოხატოს ერთი და იგივე რიცხვი α: სრულიად განსხვავებულ ნიშნებს შეუძლიათ გამოხატონ ერთი და იგივე რაციონალური არსი. ასე რომ: როდესაც შევხვდით სიმბოლოების შეუძლებელ კომბინაციას, ჩვენ აბსოლუტურად ვერ მოვახერხეთ პრობლემის გადაჭრა. ჩვენ წავაწყდით კედელს - ამ ნიშნებში განსახიერებული ყველაზე არითმეტიკული ერთეულების შეზღუდვები. დარჩა მხოლოდ ერთი რამ: ან დავალების მიტოვება, ან აზროვნების სიბრტყეზე მაღლა აწევა, რომელიც მოქმედებს "სასრულო" სიმბოლოებით - შემოიტანო ახალი იდეა, ფაქტობრივი - ანუ სინთეზირებული - უსასრულობის იდეა და მისი დახმარებით შექმნა სულის განსაკუთრებული შემოქმედებითი აქტით სრულიად ახალი გონებრივი არსი - ირაციონალურობა. იყო თუ არა აქ გამოქვითვების თანმიმდევრობა? რა თქმა უნდა არა ! ჩვენ გავაკეთეთ ნახტომი - შესვენება განვითარებაში; ჩვენ შემოვიტანეთ რაღაც მნიშვნელოვნად ახალი. ჩვენ არ შეგვეძლო მისი გაცნობა, შემოვიფარგლებით იმ არსებით, რომლებიც მოცემულია, ანუ „სასრულო“ არსებით, მივატოვეთ თავი გონების პოზიტივისტურ ჩამორთმევაზე და დავეყრდენით ამ სიმბოლოების საზღვრებს გასვლის შეუძლებლობას. შეგვეძლო მაღლა ასვლაც; მაგრამ ამას სჭირდებოდა ნებისყოფის ძალისხმევა და გონიერების ბედი - ძალიან სპეციფიკური ძალისხმევა და თავმდაბლობა, სანამ კვლევის ობიექტი საჭირო იქნებოდა ირაციონალურობის სიმბოლოების შესაქმნელად. ახალი ერთეულის შექმნა მოითხოვს უფასო ფულს. მისი თავისუფლება გამოიხატება იმაში, რომ ჩვენ გვეძლევა შესაძლებლობა ან დავრჩეთ „კარგთან“ ძველთან, ან ავიდეთ „უკეთესთან“ ახალთან. ბედი იმაში მდგომარეობს, რომ „ბუნებრივი ძალები“ ​​- გონების თანდაყოლილი ინერცია და თვითკმაყოფილება - უბიძგებს მას სტაგნაციისკენ ძველში, საბოლოო ჯამში, „ცნობილში“. საჭიროა გონების თვითკმაყოფილების დაძლევა, მისი სასრული ცნებების ჯადოსნური წრის გაწყვეტა და ახალ გარემოში შესვლა - ზესასრულის, გონებისთვის მიუწვდომელი და მისთვის აბსურდის გარემოში. ეს არის გონივრული წარმატება არითმეტიკაში. თუმცა, დიდი შეცდომა იქნებოდა ამ ფანტაზიაში რაღაც განსაკუთრებული და განსაკუთრებული დანახვა. თანამედროვე მათემატიკა, მთლიანობაში, აგებულია ლიმიტისა და შემზღუდველი პროცესის კონცეფციაზე, რომელთანაც ნათლად გვიწევს საქმე ყოველ ჯერზე, როცა აშკარად ჩნდება უსასრულობის იდეა და რომლის გარეშეც მეცნიერების მშენებლობაში ჩუმი მონაწილეობის გადადგმა შეუძლებელია. ირაციონალურობა, რომლის თეორიაზეც რამდენიმე მინიშნება გაკეთდა აქ, შეზღუდვის პროცესის მხოლოდ უმარტივესი და ცნობილი შემთხვევაა; მაგრამ, გარდა ამისა, არსებობს სასრულობის დაძლევის ძირითადი კონცეფციის მრავალი სხვა მსგავსი გამოყენება. ამრიგად, ტრანსცენდენტური ანალიტიკური ფუნქცია არ შეიძლება გამოისახოს ელემენტების სასრული რაოდენობით, მაშინ როცა ალგებრული ფუნქციის მიმართ ვეიერშტრასმა აღმოაჩინა, რომ ის ყოველთვის შეიძლება გამოისახოს როგორც ასეთი. მაგრამ შემდეგ ჩნდება სასრულობის დაძლევის დასაწყისი და პუანკარეს თეორემის მიხედვით ირკვევა, რომ „ყოველი ანალიტიკური ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ელემენტების თვლადი სიმრავლის საშუალებით. (x – ა)“ 840 . ამრიგად, ანალიტიკური ფუნქცია დგას იმავე მიმართებაში ალგებრულ ფუნქციასთან, როგორც ირაციონალური რიცხვი რაციონალურ რიცხვთან. სასრულობის დაძლევის იგივე სფერო მოიცავს უაღრესად საინტერესო, თეორიულ-შემეცნებითი და ონტოლოგიური თვალსაზრისით, უსასრულო სერიების კონვერგენციისა და დივერგენციის ნიშნების შესწავლას, ფუნქციების ზრდისა და კლების საკითხთან და განსაზღვრული ინტეგრალების თეორიასთან დაკავშირებით. აქ არის „იდეალური ფუნქციები“ Π. du Bois-Reymond შეიძლება კვლავ, გარკვეული გაგებით, გაუტოლდეს ირაციონალურობას, მაგრამ არა რიცხვებს შორის და არა ფუნქციებს შორის, არამედ ინტეგრალებს შორის. აბელის, ნ.ვ. ბუგაევის, პ. დუ ბოის-რეიმონდის, ე. ბორელის, ჯ. ჰადამარის, ა. პუანკარეს და სხვების კვლევა 841, მიუხედავად იქ დასმული პრობლემებისა და იქ გამოყენებული მეთოდებისა, უდიდესი მნიშვნელობა აქვს ფილოსოფიას და შეიძლება გაგიკვირდეთ, რომ აქამდე თითქმის არცერთი გამოყენება არ ყოფილა842. R. Dedekind, – უწყვეტობა და ირაციონალური რიცხვები [1872]. პერ. მასთან ერთად. ერთად დაახლ. S. O. შატუნოვსკი. ოდესა, რედ. "მათეზისი". რედ. მე-2, 1909 წ., - აქსესუარით. სტატიები "დოქ. არსებითი სახელი ტრანს. ნომრები." – ვებერი. ველშტეინი. – ვასილიევი, §§ 18–31. – J. Tannery, – Introduction to theory of functions of one variable, 1913 (ფრანგული 1st ed. გახდა ბიბლიოგრაფიული გამოცემა). - მისი, - თეორიული კურსი. და პრაქტიკული არითმეტიკა. პერ. A.A. Kotlyarevsky, ed. D. L. Volkovsky, M., 1913. – M. Volkov, – რიცხვის ცნების ევოლუცია. პეტერბურგი, 1899. - F. Klein, - კითხვები ელემენტარული და უმაღლესი მათემატიკისა, ნაწილი 1, ოდესა, 1912, თარგმანი. რედაქტირებული V. Kogan, ed. მათეზისი, გვ.47–56. – F. Klein – Anwendung d. დიფერენციალური-უ. გეომეტრიის ინტეგრაციული ფორმულა. Eine Revision d. პრინციპიენი, ლპზ. 1901 წელი, 2 აგვისტო. 1907. – A. Focc, – მათემატიკის არსზე. პერ. I.V. Yashunsky. პეტერბურგი, 1911 წ. "ფიზიკა". – ჩ. du Méray, – Nouv. Infini Tésim ანალიზის ზუსტი. პარიზი, 1872 (მთავარ სერიებს ის უწოდებს „კონვერგენენტულ ვარიანტს“, ხოლო ტოლ სერიებს - „ეკვივალენტს“. - G. Cantor, - Ueb. die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie d. trigon. Reihen („Mat. An.“, Bd. 5). – Pasch, – Einl-fre. in d.. 1882. – B. Russel, – Principles of Mathematics., 1902. – Heine, – Die Elemente d. (“Crelle’s Journ.”, Bd. 74 – Weierstrass’s theory is not present in its original works: G. Fuktionen, Halle, 1880; 2-te Aufl., 1898 A. Pringsheim, – Irrationalzahlen u Processe (“Enc. d. Math. Wis.” Lpz. 1898–1904, Bd. 11, SS d exakten Wissenschaften, Lpz 1910. – O. Stolz u. ბორელი, – ლეკ. ს. la Th. დ. ფონ.,, IV, გვ.54–55. N. H. Abel, – Note sur un memorie de M. L. Olivier ayant pour titre “Remarque sur les séries infinies...” (“Oeuvres compl.” de N. H. Abel, nouv. éd. par L. Sylov et S. Lie, T. 1, p. 399–40). აბელი ამტკიცებს, რომ კონვერგენციის კრიტერიუმი თანასწორობის სახით არ შეიძლება იყოს მოცემული, – [ჰ. ვ.] ბუგაევი, – უსასრულო კონვერგენცია. რიგები მათი გარეგანი გონების მიხედვით. მ., 1863. – საკუთარი, – შესავალი. ანალიზსა და დიფერენციალში. ისხ., ლიტ. ლეკ., რედ. 2nd, [M.], 1898, გვ. 143–144. – L. Euler, – De Infinities infinitis gradibus („Acta Petrop.“, 1778). – P. du Bois-Reymond, – Die allgemeine Funktionentheorie, Tübingen, 1882. – E. Borel, – Leçons sur la théorie des Fonctions, Paris, 1898. – მისი, – Leç. ს. les Fonctions entières, P., 1900. – მისივე, – L. s. ლ. séries divergantes, R., 1901. – მისივე, – L. s. ლ. სერია à termes positifs, rec. და წითელი. par R. d'Adhénar, P., 1902. მისი, L. s. ლ. მერომორფების ფუნქციები. – ჰ.პარფენტიევი, – კვლევა ფუნქციათა ზრდის თეორიის შესახებ, ყაზანი, 1910 წ. ამ რამდენიმე მცდელობიდან, მაგალითად, და მაშინაც კი, მხოლოდ მიმართებაში. ირაციონაციები, - ვიცი: სოლომონ მაიმონის მცდელობა (მას შესახებ იხ.: ბ. იაკოვენკო, - სოლ. მაიმონის ფილოსოფიური კონცეფცია, „ფილ. და ფსიქიკის კითხვები“, 1912 წ., წიგნები 114 (IV) და 115 (V); შემდეგ: ბენო კერუ, - System einerfes. Erkenntnisstheorie, Lpz, 1890, - ცოდნის ევოლუციური თეორია (Limits of the Epistemology) .1 ტრანსცენდენტალისტები ასევე იყენებენ ლიმიტის ცნებას, მაგრამ, გასაკვირია, არა იმდენად, რამდენადაც მათ შეეძლოთ მისი გამოყენება, არა მხოლოდ მათი კონსტრუქციების ძირითადი ხაზების დარღვევის, არამედ გაძლიერების გარეშეც კი.