XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

Se puede explicar con un ejemplo que la síntesis supraracional, que es el dogma, no es algo completamente sin precedentes e inesperado en la ciencia. Se lleva a cabo muy a menudo, por ejemplo en la construcción de los llamados números irracionales. Según la definición original, "número" es un número entero y luego un número racional, es decir, una fracción. Sin embargo, la solución de algunos problemas geométricos a menudo conduce a una relación de cantidades (por ejemplo, segmentos) que no se expresa en números. Las operaciones aritméticas correspondientes a estas acciones son imposibles, porque esta combinación de símbolos aritméticos carece de significado. ¿Qué significa √2, por ejemplo? – Esto significa eso y sólo que en el transcurso de la decisión tropezamos con un muro. Estábamos buscando un número determinado, pero resultó que no había ningún número que cumpliera las condiciones del problema: √2 es un símbolo de imposibilidad aritmética. ¿Por qué? – Sino porque en general √a significa un número x que al cuadrado da a, es decir, un número que satisface la ecuación: x2 = a. Pero es fácil demostrar que no existe ni puede haber un número x cuyo cuadrado sea igual a 2. Lo mismo ocurre en geometría. Podemos, por ejemplo, intentar averiguar cuántas veces un segmento es más largo que otro. En algunos casos definiremos este “¿a qué hora?” , es decir. busquemos el número que lo caracteriza; y en otros no habrá tal número en absoluto, y entonces la pregunta misma "cuánto" no tiene sentido. Por tanto, la diagonal de un cuadrado no es ni más larga ni más corta que un lado del mismo cuadrado. La diagonal y el lado son incomparables entre sí en la dirección "en qué momento", como dicen, "inconmensurables". Cualquiera que sea el número que tomemos para caracterizar esta relación resultará inadecuado. Si un lado tiene su propio número, entonces la diagonal no, y viceversa. Entre uno y otro hay una especie de abismo, infranqueable para los números. La longitud de la diagonal es trascendental (-uso esta palabra en un sentido general, y no como un término matemático technicus-) en relación con la longitud del lado. Este hecho fue descubierto por primera vez por Pitágoras; Como saben, el propio geómetra quedó horrorizado por la profundidad del hecho que descubrió y las consecuencias que se derivan de él. Después de todo, este hecho ha provocado de una vez por todas rupturas irreparables en todo racionalismo. Las combinaciones de símbolos como √2 en la Edad Media se denominaban “numeri ficti, números ficticios” o, en el Liber abaci de Leonardo de Pisa, que data de 1202, “numeri surdi, números ciegos” y no se consideraban números en absoluto. Por primera vez, sólo en la Arithmetica integra de Michael Stiefel, publicada en Nuremberg en 1544, se les dio el significado convencional de los números y el nombre correspondiente "numeri irrationales", y Stiefel declara que "irrationalis numerus non est verus numerus", es decir, que "un número irracional no es un número verdadero". E incluso ahora en muchos libros de texto de álgebra es importante afirmar que aunque es imposible extraer la raíz cuadrada de 2, aún así, etc. En el conjunto de operaciones que conoce la aritmética, no hay salida a esta dificultad. Estas operaciones conducen a un resultado que ya no tiene sentido a menos que se rompa su círculo; y si no se rompe, entonces esta combinación viola la integridad del círculo mismo, produciendo destrucción y devastación interna. Así, y en general, las operaciones racionales conducen a combinaciones que ya no tienen cabida entre sus productores y que requieren una ruptura en el ámbito racional para nacer en un mundo nuevo, hasta ahora inimaginable y sin precedentes. La solución en álgebra se logra sólo mediante la creación de entidades aritméticas ultramundanas y trascendentales para el conjunto de operaciones dadas, que ya son inexpresables en símbolos finitos, pero que son postuladas por ellos, justificadas y se les da un significado nuevo y superior. Sin embargo, tan pronto como queremos pensar en estas nuevas entidades aritméticas en términos de las antiguas, tan pronto como queremos verter vino nuevo en odres viejos, esto resulta en la descomposición del símbolo de la nueva entidad en elementos componentes que son incompatibles entre sí en el campo de los viejos conceptos, y la esencia misma se evapora. Te diré más claramente lo que está pasando aquí. – Los “números” irracionales fueron durante mucho tiempo un vago absurdo que todos utilizaban inconscientemente por razones de necesidad práctica y del que, sin embargo, nadie era consciente. Pero en los años 70 del siglo XIX, salir de esta situación se convirtió en una necesidad urgente. La pregunta estaba madura y la respuesta la dieron casi simultáneamente varios investigadores, entre los cuales, como los más importantes, se pueden indicar los nombres de G. Cantor, K. Weierstrass, C. du Meret, E. Heine, R. Dedekind, G. Kossak, S. Pincherle, O. Biermann, J. Tannery, M. Pasha, V. Rössel y otros. independientes entre sí y porque, lo cual es muy comprensible, difieren significativamente en su apariencia. Pero, en esencia, todos dicen lo mismo. Por eso, me detengo un poco en uno de ellos: en el método de G. Cantor, el mismo Cantor del que usted y yo hemos tenido la oportunidad de hablar tantas veces en la extensión del pan que se revuelve lentamente, cerca del borde de un bosque de abedules y en casa, frente a un horno ardiendo. ¿Te acuerdas? a veces, al despertarnos por la noche, nos enfrascábamos en una conversación tranquila, y el tiempo pasaba desapercibido hasta que el reloj del campanario nos recordaba la mañana que se acercaba... Para entender la construcción de Cantor te pediré una cosa: olvida todo lo que has oído hasta ahora sobre los números irracionales y ten en cuenta que necesitas crear un objeto de pensamiento completamente nuevo. G. Cantor toma un conjunto infinito de números a 1, a 2, a 3, a 4,... a n, ... y n+m,..., ordenados en el orden de escritura, de modo que después de cada número viene el más cercano a él y antes de cada uno, excepto el primero, está el más cercano que lo precede. Cantor considera esta serie de números como un solo objeto α. Denotemos esto simbólicamente encerrando todo el grupo entre paréntesis, de modo que sea posible escribir la igualdad que sirve como definición de α, a saber: α=(a 1, a 2, a 3, … a n,… a n+m, …) Significa que α no es más que un grupo infinito, concebible en unidad. En ciertos casos, los números a 1, a 2,.. a n,... pueden resultar tales que la serie α, como dicen, “convegerá”, es decir, tendrá la siguiente propiedad: por muy pequeño que sea el número σ que tomemos, siempre habrá una n tan grande, es decir, un término o elemento, y n tan distante que la diferencia entre él y cualquier término posterior an+m, por grande que sea m, sea en valor absoluto. (es decir, sin tener en cuenta el signo de la diferencia) será menor que σ; simbólicamente: an+m – y n < σ, donde σ es arbitrariamente pequeño. En otras palabras, cuanto más llevamos un término a n, menor es la diferencia entre él y todos los que lo siguen y, además, se puede acercar a cero tanto como se desee, aunque, en términos generales, nunca llegará a ser cero. Este sería, por ejemplo, un grupo de números. De hecho, para ello el valor absoluto de la diferencia entre los términos (n+m)ésimo y nésimo será: Así, la irracionalidad, en el campo de la aritmética finita basada en la razón, es un disparate desde el punto de vista de los “números”, es decir, los números en su propio sentido final, obtenidos como una combinación de un número finito de símbolos básicos (1, 2, 3, 4, 5,... n,...). Ninguna combinación de estos símbolos, finitos e inmanentes a la razón, puede proporcionar una imagen de la irracionalidad o incluso de algo “similar” a ella. La irracionalidad es ciertamente trascendental, absolutamente incomprensible para el ámbito racional. Y de una vez por todas, definitiva e irrevocablemente, debemos abandonar la intención de presentar la irracionalidad bajo la forma de una combinación finita de racionalidades. Pero, utilizando los símbolos racionales como una sustancia informe, podemos, con la ayuda de definiciones constructivas completamente nuevas, introducir en el conjunto de números racionales, que en su conjunto carece de cualidad, una nueva esencia que lo organiza. Entonces el número irracional quedará impreso y encarnado en esta “sustancia”. Cada número racional por separado, cada elemento, cada átomo de este agregado en sí mismo, en su significado original, no tiene nada en común con el todo encarnado en él, así como la idea estética de una estatua no tiene nada en común con los cristales de mármol que componen la estatua, o el significado de un poema con los sonidos de palabras individuales. Pero lo infinito, más precisamente: lo superfinito, la totalidad de ellos refleja completamente este todo, esta idea. En la serie básica de Cantor, que representa, encarna, representa y es, según la definición, un número irracional α, cada uno de los elementos a1, a2,… an, … mientras estemos entrando en el reino de la irracionalidad, esto no tiene nada que ver con α e incluso es absurdo preguntarse en qué relación se sitúan estos símbolos esencialmente incomparables, de los cuales α es trascendental para todo ai (donde i = 1, 2, 3,... n,...). Pero el conjunto de números a i, conectados por el signo de convergencia y la definición de “acciones” sobre α como un solo objeto, representa exactamente esta esencia trascendental de α. Posteriormente, cuando se examina completamente α, resulta posible transponer todos los ai en la forma de α, aunque es imposible, a la inversa, transponer α en la forma de ai; entonces se establece el concepto de “similitud” entre a i y α, aunque esta “similitud” es sólo una semejanza de una insinuación, no una tautegoría. Esto significa que aunque α es trascendental para todo ai, “incomprensible” desde el punto de vista de ai, todos los ai son inmanentes a α, completamente transparentes para él. Incluso se puede decir que desde el punto de vista de ai es imposible ver esas raíces trascendentales de ai, esa iluminación trascendental de ai, que, sin embargo, es clara y obvia desde el punto de vista de α. La inmanencia y la trascendencia en el ámbito de las esencias de la razón son similares a las del ámbito de las esencias de la ontología: Dios es trascendental para el mundo, desde el punto de vista del mundo, pero el mundo no es trascendental para Dios, sino que está enteramente impregnado de energías divinas: α y ai son diferentes, pero si se considera α en la serie de todos los ai, entonces se puede ver que la diferencia o similitud de ai y α cambian con un cambio en i. Desde el punto de vista de un legalista formal, racional, según la ley de identidad, ai no es como α; pero, para la conciencia inmediata, i puedo insinuar α y, además, más transparente o más turbio, según el valor de i. Sin embargo, tenga en cuenta que aquí solo presento resultados generales, pero no la teoría en sí. Del concepto de igualdad de dos irracionalidades, α y otra análoga a ella, β, obtenidas por procesos diferentes, se establece que la parte finita de los símbolos ai puede ser expulsada de α, que es posible seleccionar y sacar del grupo un grupo infinito (a 1, a 2,... an...), que es posible, finalmente, realizar una permutación por pares, una “transposición”, de un conjunto infinito de elementos a i, siempre que la estructura no cambia de serie, siempre y cuando los elementos no se muevan de manera que no puedan volver a la disposición anterior mediante ciertas permutaciones por pares - y, sin embargo, α no cambiará. Además, incluso conjuntos completamente diferentes (a1, a2, a3,.. an,..) y (b 1, b 2, b 3,.. b n,..) pueden expresar el mismo número α: signos completamente diferentes pueden expresar la misma esencia racional. Entonces: al encontrarnos con una combinación imposible de símbolos, no pudimos resolver el problema en absoluto. Nos hemos topado con un muro: las limitaciones de las entidades más aritméticas encarnadas en estos signos. Sólo quedaba una cosa: abandonar la tarea en sí o elevarse por encima del plano del pensamiento que opera con símbolos "finitos": introducir una nueva idea, la idea del infinito real, es decir, sintetizado, y, con su ayuda, crear, mediante un acto creativo especial del espíritu, una esencia mental completamente nueva: la irracionalidad. ¿Hubo una secuencia de deducciones aquí? Por supuesto que no ! Dimos un salto: una interrupción en el desarrollo; Hemos introducido algo significativamente nuevo. No podríamos introducirlo, limitándonos a aquellas esencias dadas, es decir, “finitas”, abandonándonos a la privación positivista de la mente y apoyándonos en la imposibilidad de ir más allá de los límites de estos símbolos. También podríamos subir más; pero esto requirió un esfuerzo de voluntad y una hazaña de razón: un esfuerzo y humildad muy específicos antes de que se requiriera que el objeto de estudio creara símbolos de irracionalidad. Crear una nueva entidad requiere una hazaña gratuita. Su libertad se expresa en el hecho de que se nos da la oportunidad de permanecer con lo “bueno” viejo o ascender a lo “mejor” nuevo. La hazaña radica en el hecho de que las "fuerzas naturales", la inercia y la complacencia inherentes a la mente, la empujan al estancamiento en lo viejo, en última instancia, en lo "conocido". Sin embargo, sería un gran error ver en esta hazaña algo excepcional y especial. La matemática moderna, en su totalidad, se construye sobre el concepto de límite y de proceso limitante, con el que tenemos que abordar con claridad cada vez que aparece claramente la idea de infinito, y sin cuya participación silenciosa en la construcción de la ciencia no se puede dar un solo paso. Las irracionalidades, de cuya teoría se han hecho aquí algunas alusiones, son sólo el caso más simple y conocido de un proceso limitante; pero, además, existen muchas otras aplicaciones similares del concepto básico de superación de la finitud. Así, una función analítica trascendental no puede expresarse mediante un número finito de elementos, mientras que con respecto a una función algebraica, Weierstrass encontró que siempre puede expresarse como tal. Pero entonces aparece el comienzo de la superación de la finitud y resulta, según el teorema de Poincaré, que “toda función analítica puede definirse mediante un conjunto contable de elementos (x-a)" 840 . Por tanto, una función analítica tiene la misma relación con una función algebraica que un número irracional con un número racional. La misma área de superación de la finitud incluye estudios sumamente interesantes, desde el punto de vista teórico-cognitivo y ontológico, de los signos de convergencia y divergencia de series infinitas, en relación con la cuestión de las funciones crecientes y decrecientes y la teoría de integrales definidas. Aquí están las “funciones ideales” Π. du Bois-Reymond puede, en cierto sentido, equipararse a la irracionalidad, pero no entre números ni entre funciones, sino entre integrales. Las investigaciones de N. Abel, N. V. Bugaev, P. du Bois-Reymond, E. Borel, J. Hadamard, A. Poincaré y otros 841, a pesar de la especialidad de los problemas allí planteados y de los métodos utilizados, son de la mayor importancia para la filosofía, y uno sólo puede sorprenderse de que hasta ahora casi no se les haya aplicado ninguna aplicación 842. R. Dedekind, – Continuidad y números irracionales [1872]. Por. consigo. con aprox. S. O. Shatunovsky. Odesa, ed. "Matesis". Ed. 2 de 1909, - con accesorio. artículos “Doc. sustantivo trans. números." –Weber. Wellstein. – Vasiliev, §§ 18 a 31. – J. Tannery, – Introducción a la teoría de las funciones de una variable, 1913 (la 1.ª ed. francesa se convirtió en edición bibliográfica). - Su, - Curso teórico. y aritmética práctica. Por. A. A. Kotlyarevsky, ed. D. L. Volkovsky, M., 1913. – M. Volkov, – Evolución del concepto de número. San Petersburgo, 1899. - F. Klein, - Cuestiones de matemáticas elementales y superiores, Parte 1, Odessa, 1912, trad. editado por V. Kogan, ed. Mathesis, págs. 47–56. – F. Klein – Anwendung d. Diferencial-u. Investigación integral de la geometría. Una revisión d. Principien, Lpz. 1901, 2º agosto. 1907. – A. Focc, – Sobre la esencia de las matemáticas. Por. I. V. Yashunsky. San Petersburgo, 1911. Publ. "Física". – Cap. du Méray, – Nouv. Précis d'Analyse infini tésim. París, 1872 (llama a la serie principal “variante convergente”, y a las series iguales, “equivalente”. - G. Cantor, - Ueb. die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie d. trigon. Reihen (“Mat. An.”, Bd. 5). – Pasch, – Einl. in d. Dif. u. Int.-rechn., Lpz. 1882. – B. Russel, – Principios de matemáticas., 1902. – Heine, – Die Elemente d. Functionenlehre (“Crelle’s Journ.”, Bd. 74 – La teoría de Weierstrass no se presenta en sus obras originales: Korsak, – Die Elemente d. – Grundl für eine Theorie d. Pringsheim, – Irrationalzahlen u. Konvergenz unendlicher Processe (“Enc. d. Math. Wis.” Lpz. 1898–1904, Bd. 11, SS. 47 ss., – Die logischen Grundlagen d. Borel, – Leq. s. la Th. d. fon., IV, págs. 54–55. N. H. Abel, – Note sur un mémorie de M. L. Olivier ayant pour titre “Remarque sur les séries infinies...” (“Oeuvres compl.” de N. H. Abel, nouv. éd. par L. Sylov et S. Lie, T. 1, p. 399–402). Abel demuestra que el criterio de convergencia no puede darse como una igualdad, – [H. V.] Bugaev, – Convergencia infinita. filas según su mente externa. M., 1863. – Suyo, – Introducción. en análisis y diferencial. isch., iluminado. Lek., ed. 2º, [M.], 1898, págs. 143-144. – L. Euler, – De Infinities infinitis gradibus (“Acta Petrop.”, 1778). – P. du Bois-Reymond, – Die allgemeine Funktionentheorie, Tubinga, 1882. – E. Borel, – Leçons sur la théorie des Fonctions, París, 1898. – Suyo, – Leç. s. les Fonctions entières, P., 1900. – El suyo, – L. s. l. séries divergantes, R., 1901. – Suyo, – L. s. l. Serie a términos positivos, rec. y rojo. par R. d'Adhénar, P., 1902. Suyo, L. s. l. Funciones méromorfas. – H. Parfentiev, – Investigación sobre la teoría del crecimiento de funciones, Kazán, 1910. De los pocos intentos en esto, por ejemplo, y aun así solo en relación. irracionalidades, - Lo sé: el intento de Solomon Maimon (sobre él, ver: B. Yakovenko, - Concepto filosófico de Sol. Maimon, “Questions of Phil. and Psych.”, 1912, libros 114 (IV) y 115 (V); luego: Benno Kerru, - System einer Theorie d. Grenzbegriffe. Eine Beitrag zur Erkenntnisstheorie. Her. von G. Kohn, Lpz. u. Wien, 1890. Trabajo póstumo. - K. Zhakov, - Fundamentos de la teoría evolutiva del conocimiento (limitismo), - Límites de la epistemología, Serg. Pos., 1913 (= "God. V.", 1913, enero). violando, sino incluso fortaleciendo, las líneas maestras de sus construcciones.