XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

Anhand eines Beispiels kann erklärt werden, dass die superrationale Synthese, die das Dogma ausmacht, in der Wissenschaft nichts völlig Neues und Unerwartetes ist. Sie wird sehr häufig durchgeführt, beispielsweise bei der Konstruktion sogenannter irrationaler Zahlen. Finden wir die Zahl, die es charakterisiert. und in anderen Fällen wird es eine solche Zahl überhaupt nicht geben, und dann ergibt die Frage „wie viel“ überhaupt keinen Sinn. Somit ist die Diagonale eines Quadrats weder länger noch kürzer als eine Seite desselben Quadrats. Die Diagonale und die Seite sind in der Richtung „zu welcher Zeit“, wie man sagt, „inkommensurabel“ miteinander unvergleichbar. Welche Zahl wir auch immer zur Charakterisierung dieses Verhältnisses verwenden, sie wird sich als ungeeignet erweisen. Wenn eine Seite eine eigene Nummer hat, hat die Diagonale keine eigene Nummer und umgekehrt. Zwischen dem einen und dem anderen gibt es eine Art Abgrund, der für Zahlen unüberwindbar ist. Die Länge der Diagonale ist transzendental (– ich verwende dieses Wort im allgemeinen Sinne und nicht als mathematischer Terminus technicus –) im Verhältnis zur Länge der Seite. Diese Tatsache wurde zuerst von Pythagoras entdeckt; Wie Sie wissen, war der Geometer selbst entsetzt über die Tiefe der von ihm entdeckten Tatsache und die daraus resultierenden Konsequenzen. Schließlich hat diese eine Tatsache ein für alle Mal zu irreparablen Brüchen gegen den gesamten Rationalismus geführt. Kombinationen von Symbolen wie √2 wurden im Mittelalter „numeri ficti, fiktive Zahlen“ oder im Liber abaci von Leonard von Pisa aus dem Jahr 1202 „numeri surdi, blinde Zahlen“ genannt und galten überhaupt nicht als Zahlen. Erstmals, erst in der 1544 in Nürnberg erschienenen Arithmetica integra von Michael Stiefel, erhielten sie die herkömmliche Bedeutung von Zahlen und den entsprechenden Namen „numeri irrationales“, und Stiefel erklärt, dass „irrationalis numerus non est verus numerus“, also „eine irrationale Zahl keine wahre Zahl“ sei. Und auch heute noch ist es in vielen Algebra-Lehrbüchern wichtig zu erwähnen, dass es zwar unmöglich ist, die Quadratwurzel aus 2 zu ziehen, aber dennoch usw. Im Umfang der Operationen, die die Arithmetik kennt, gibt es keinen Ausweg aus dieser Schwierigkeit. Diese Operationen führen zu einem Ergebnis, das keinen Sinn mehr ergibt, wenn ihr Kreis nicht durchbrochen wird; und wenn es nicht gebrochen wird, dann verletzt diese Kombination die Integrität des Kreises selbst und führt zu innerer Zerstörung und Verwüstung. Also – und ganz allgemein: Rationale Operationen führen zu solchen Kombinationen, die keinen Platz mehr unter ihren Produzenten haben und die einen Bruch im rationalen Bereich erfordern, um in eine neue, bisher noch nie dagewesene und unvorstellbare Welt hineingeboren zu werden. Die Lösung in der Algebra wird nur durch die Schaffung jenseitiger, transzendentaler arithmetischer Einheiten für den Bereich gegebener Operationen erreicht, die in endlichen Symbolen bereits nicht ausdrückbar sind, von ihnen aber postuliert, begründet und mit einer neuen, höheren Bedeutung versehen werden. Sobald wir jedoch diese neuen arithmetischen Einheiten in Bezug auf die alten denken wollen, sobald wir neuen Wein in alte Weinschläuche gießen wollen, führt dies dazu, dass das Symbol der neuen Einheit in Bestandteile zerfällt, die im Bereich der alten Konzepte miteinander inkompatibel sind, und das Wesen selbst verflüchtigt sich. Ich werde Ihnen klarer sagen, was hier vor sich geht. – Irrationale „Zahlen“ waren lange Zeit eine vage Absurdität, die jeder unbewusst aus praktischer Notwendigkeit nutzte und von der sich jedoch niemand bewusst war. Doch in den 70er Jahren des 19. Jahrhunderts wurde es zu einer dringenden Notwendigkeit, aus dieser Situation herauszukommen. Die Frage war reif, und die Antwort darauf wurde fast gleichzeitig von mehreren Forschern gegeben, unter denen als größte die Namen G. Cantor, K. Weierstrass, C. du Meret, E. Heine, R. Dedekind, G. Kossak, S. Pincherle, O. Biermann, J. Tannery, M. Pasha, V. Rössel und andere genannt werden können. unabhängig voneinander und weil sie sich – was sehr verständlich ist – in ihrem Aussehen deutlich unterscheiden. Aber im Wesentlichen sagen sie alle dasselbe. Deshalb verweile ich ein wenig bei einer davon – bei der Methode von G. Cantor – dem gleichen Cantor, über den Sie und ich schon so oft in der Weite des langsam rührenden Brotes, am Rande eines Birkenhains und zu Hause vor einem glühenden Ofen sprechen durften. Erinnerst du dich? Manchmal, wenn wir nachts aufwachten, verwickelten wir uns in ein ruhiges Gespräch, und die Zeit verging unbemerkt, bis uns die Uhr auf dem Glockenturm an den nahenden Morgen erinnerte ... Um Cantors Konstruktion zu verstehen, bitte ich Sie um eines: Vergessen Sie alles, was Sie bisher über irrationale Zahlen gehört haben, und bedenken Sie, dass Sie einen völlig neuen Denkgegenstand schaffen müssen. G. Cantor nimmt eine unendliche Menge von Zahlen a 1, a 2, a 3, a 4,... a n, ... und n+m,..., die in der Reihenfolge der Schreibweise angeordnet sind, so dass nach jeder Zahl, die ihr am nächsten kommt, und vor jeder, mit Ausnahme der ersten, die Zahl steht, die ihr am nächsten kommt. Diese Zahlenreihe wird von Cantor als ein einzelnes Objekt α betrachtet. Wir wollen dies symbolisch kennzeichnen, indem wir die gesamte Gruppe in Klammern setzen, sodass es möglich wird, die Gleichheit zu schreiben, die als Definition von α dient, nämlich: α=(a 1, a 2, a 3, … a n,… a n+m, …) Das bedeutet, dass α nichts anderes ist als eine unendliche Gruppe, die in Einheit denkbar ist. In bestimmten Fällen können sich die Zahlen a 1, a 2,.. a n,... als solche erweisen, dass die Reihe α, wie sie sagen, „konvergiert“, d. h. die folgende Eigenschaft hat: Egal wie klein die Zahl σ ist, die wir nehmen, es wird immer ein n geben, das so groß ist, d. h. ein Term oder Element, und n, das so weit entfernt ist, dass die Differenz zwischen ihm und jedem nachfolgenden Term an+m, egal wie groß dieses m ist, im absoluten Wert ist (d. h. ohne Berücksichtigung des Vorzeichens der Differenz) wird kleiner als σ sein; symbolisch: an+m – und n < σ, wobei σ beliebig klein ist. Mit anderen Worten: Je weiter wir einen Term a n vorantreiben, desto geringer wird der Unterschied zwischen ihm und allen ihm folgenden, und darüber hinaus kann er so nahe an Null gebracht werden, wie gewünscht, obwohl er im Allgemeinen nie Null werden wird. Dies wäre beispielsweise eine Gruppe von Zahlen. Tatsächlich beträgt der Absolutwert der Differenz zwischen dem (n+m)-ten und dem n-ten Term: Je mehr m, desto kleiner ist der Wert von 1/2 m und desto größer ist daher der Zähler. Aber er ist immer n. Es ist klar, dass es, egal wie klein eine uns gegebene Zahl σ auch sein mag, immer möglich ist, n so groß zu wählen, dass 1/2n < σ ist und daher umso mehr, dass die Differenz zwischen dem (n+m)-ten und n-ten Term, d. h. Gab es Konvergenz, „konvergiert“, dann erhält die Reihe a 1, a 2, a 3,... den Namen der Hauptreihe, Fundamentalreihe, und die gesamte Gruppe als einzelnes Objekt α erhält den Namen einer irrationalen Zahl. Daher ist Irrationalität im Bereich der endlichen, auf Vernunft basierenden Arithmetik Unsinn aus der Sicht der „Zahlen“, d. Keine Kombination dieser endlichen, der Vernunft immanenten Symbole kann ein Bild für Irrationalität oder auch nur etwas Ähnliches liefern. Irrationalität ist sicherlich transzendental, für den rationalen Bereich absolut unverständlich. Und ein für alle Mal, endgültig und unwiderruflich müssen wir die Absicht aufgeben, Irrationalität in Form einer endlichen Kombination von Rationalitäten darzustellen. Aber indem wir rationale Symbole als formlose Substanz verwenden, können wir mit Hilfe völlig neuer konstruktiver Definitionen in die insgesamt qualitätslose Gesamtheit rationaler Zahlen ein neues Wesen einführen, das sie organisiert. Dann wird die irrationale Zahl in dieser „Substanz“ eingeprägt und verkörpert. Jede rationale Zahl für sich, jedes Element, jedes Atom dieses Aggregats hat in seiner ursprünglichen Bedeutung nichts mit dem darin verkörperten Ganzen zu tun, ebenso wie die ästhetische Idee einer Statue nichts mit den Marmorkristallen zu tun hat, aus denen die Statue besteht, oder die Bedeutung eines Gedichts mit den Klängen einzelner Wörter. Aber das Unendliche, – genauer: Überendliche, – die Gesamtheit von ihnen spiegelt dieses Ganze, diese Idee vollständig wider. In der Cantor-Grundreihe, die eine irrationale Zahl α abbildet, verkörpert, repräsentiert und laut Definition eine ist, sind jedes der Elemente a1, a2,… an, … Solange wir gerade in den Bereich der Irrationalität eintreten, hat es nichts mit α zu tun und es ist sogar absurd zu fragen, in welcher Beziehung diese im Wesentlichen unvergleichlichen Symbole stehen, von denen α für jedes ai transzendent ist (wobei i = 1, 2, 3,... n,...). Aber die Menge der Zahlen a i, verbunden durch das Konvergenzzeichen und die Definition von „Aktionen“ auf α als einem einzelnen Objekt, bildet genau dieses transzendentale Wesen von α ab. Anschließend, wenn α vollständig untersucht ist, stellt sich heraus, dass es möglich ist, alle ai in die Form von α zu transponieren, obwohl es umgekehrt unmöglich ist, α in die Form von ai zu transponieren; dann wird der Begriff der „Ähnlichkeit“ zwischen a i und α etabliert, obwohl diese „Ähnlichkeit“ nur eine Ähnlichkeit eines Hinweises, keine Tautegorie ist. Dies bedeutet, dass α zwar transzendental für alle ai ist, aus der Sicht eines i „unverständlich“, aber alle ai immanent für α sind, für dieses völlig transparent. Man kann sogar sagen, dass es aus der Sicht von ai unmöglich ist, jene transzendentalen Wurzeln von ai zu sehen, diese transzendentale Erleuchtung von a i, die jedoch aus der Sicht von α klar und offensichtlich ist. Immanenz und Transzendenz im Bereich der Wesenheiten der Vernunft ähneln denen im Bereich der Wesenheiten der Ontologie: Gott ist für die Welt transzendental, vom Standpunkt der Welt aus gesehen, aber die Welt ist für Gott nicht transzendental, sondern vollständig von göttlichen Energien durchdrungen – α und ai sind unterschiedlich, aber wenn α in der Reihe aller ai betrachtet wird, dann kann man sehen, dass sich der Unterschied oder die Ähnlichkeit von ai und α selbst mit einer Änderung ändert in i. Aus der Sicht eines formalen Legalisten ist ai nach dem Gesetz der Identität rational und nicht wie α; aber für das unmittelbare Bewusstsein kann ich auf α hinweisen, und darüber hinaus transparenter oder wolkiger, abhängig vom Wert von i. Bitte beachten Sie jedoch, dass ich hier nur allgemeine Ergebnisse präsentiere, nicht jedoch die Theorie selbst. Aus dem Konzept der Gleichheit zweier Irrationalitäten, α und einer anderen, dazu analogen, β, die durch unterschiedliche Prozesse gewonnen werden, geht hervor, dass der endliche Teil der Symbole ai aus α herausgeworfen werden kann, dass es möglich ist, eine unendliche Gruppe auszuwählen und aus der Gruppe zu entfernen (a 1, a 2,.. a n...), dass es schließlich möglich ist, eine paarweise Permutation, eine „Transposition“, einer unendlichen Menge von Elementen a i durchzuführen, solange die Die Struktur ändert die Reihe nicht, solange sich die Elemente nicht so bewegen, dass sie durch bestimmte paarweise Permutationen nicht zur alten Anordnung zurückkehren können – und dennoch ändert sich α nicht. Darüber hinaus können sogar völlig unterschiedliche Mengen (a1, a2, a3,.. an,..) und (b 1, b 2, b 3,.. b n,..) dieselbe Zahl α ausdrücken: völlig unterschiedliche Zeichen können dasselbe rationale Wesen ausdrücken. Also: Da wir auf eine unmögliche Kombination von Symbolen gestoßen waren, waren wir absolut nicht in der Lage, das Problem zu lösen. Wir sind auf eine Mauer gestoßen – die Grenzen der arithmetischsten Einheiten, die in diesen Zeichen verkörpert sind. Es blieb nur noch eines: entweder die Aufgabe selbst aufzugeben oder sich über die Ebene des Denkens zu erheben, die mit „endlichen“ Symbolen operiert – eine neue Idee, die Idee der tatsächlichen – also synthetisierten – Unendlichkeit einzuführen und mit ihrer Hilfe durch einen besonderen schöpferischen Akt des Geistes ein völlig neues geistiges Wesen – die Irrationalität – zu erschaffen. Gab es hier eine Folge von Abzügen? Natürlich nicht! Wir haben einen Sprung gemacht – einen Entwicklungsbruch; Wir haben etwas wesentlich Neues eingeführt. Wir konnten es nicht einführen, indem wir uns auf die gegebenen, also „endlichen“ Essenzen beschränkten, uns der positivistischen Entbehrung des Geistes überließen und uns auf der Unmöglichkeit ausruhten, über die Grenzen dieser Symbole hinauszugehen. Wir könnten auch höher gehen; Dies erforderte jedoch eine Willensanstrengung und eine Leistung der Vernunft – eine ganz besondere Anstrengung und Demut vor dem Untersuchungsgegenstand, um Symbole der Irrationalität zu schaffen. Das Erstellen einer neuen Entität erfordert eine kostenlose Leistung. Ihre Freiheit drückt sich darin aus, dass uns die Möglichkeit gegeben wird, entweder beim „guten“ Alten zu bleiben oder zum „besseren“ Neuen aufzusteigen. Das Kunststück liegt darin, dass „natürliche Kräfte“ – die dem Geist innewohnende Trägheit und Selbstgefälligkeit – ihn zur Stagnation im Alten, letztlich im „Bekannten“ treiben. Es ist notwendig, die Selbstgefälligkeit der Vernunft zu überwinden, den magischen Kreis ihrer endlichen Konzepte zu durchbrechen und in eine neue Umgebung einzutreten – die Umgebung des Überendlichen, für die Vernunft unzugänglich und für sie absurd. Das ist eine beachtliche Rechenleistung. Es wäre jedoch ein großer Fehler, in dieser Leistung etwas Außergewöhnliches und Besonderes zu sehen. Die moderne Mathematik baut in ihrer Gesamtheit auf dem Konzept einer Grenze und eines begrenzenden Prozesses auf, mit denen wir uns jedes Mal klar auseinandersetzen müssen, wenn die Idee der Unendlichkeit klar auftaucht, und ohne deren stille Beteiligung am Aufbau der Wissenschaft kein einziger Schritt möglich ist. Irrationalitäten, auf deren Theorie hier einige Hinweise gegeben wurden, sind nur der einfachste und bekannteste Fall eines Grenzvorgangs; aber darüber hinaus gibt es viele andere ähnliche Anwendungen des Grundkonzepts der Überwindung der Endlichkeit. Somit kann eine transzendentale analytische Funktion nicht durch eine endliche Anzahl von Elementen ausgedrückt werden, während Weierstrass in Bezug auf eine algebraische Funktion feststellte, dass sie immer als solche ausgedrückt werden kann. Doch dann beginnt die Überwindung der Endlichkeit und es stellt sich nach dem Satz von Poincaré heraus, dass „jede analytische Funktion durch eine abzählbare Menge von Elementen definiert werden kann“. (x – a)“ 840 . Somit steht eine analytische Funktion zu einer algebraischen Funktion in derselben Beziehung wie eine irrationale Zahl zu einer rationalen Zahl. Derselbe Bereich der Überwindung der Endlichkeit umfasst aus theoretisch-kognitiver und ontologischer Sicht äußerst interessante Studien zu Konvergenz- und Divergenzzeichen unendlicher Reihen, im Zusammenhang mit der Frage steigender und fallender Funktionen und der Theorie bestimmter Integrale. Hier sind die „idealen Funktionen“ Π. du Bois-Reymond kann wiederum in gewissem Sinne mit Irrationalität gleichgesetzt werden, aber nicht zwischen Zahlen und nicht zwischen Funktionen, sondern zwischen Integralen. Die Forschungen von N. Abel, N. V. Bugaev, P. du Bois-Reymond, E. Borel, J. Hadamard, A. Poincaré und anderen 841 sind trotz der Besonderheit der dort gestellten Probleme und der dort verwendeten Methoden von größter Bedeutung für die Philosophie, und man kann sich nur wundern, dass sie bisher kaum angewendet wurden 842. R. Dedekind, – Kontinuität und irrationale Zahlen [1872]. Pro. mit ihm. mit ca. S. O. Shatunovsky. Odessa, Hrsg. „Mathematik“. Ed. 2., 1909, - mit Beiwerk. Artikel „Doc. Substantiv trans. Zahlen.“ – Weber. Wellstein. – Wassiljew, §§ 18–31. – J. Tannery, – Einführung in die Theorie der Funktionen einer Variablen, 1913 (französische 1. Auflage wurde zur bibliographischen Ausgabe). - Sein, - Theoretischer Kurs. und praktisches Rechnen. Pro. A. A. Kotlyarevsky, Hrsg. D. L. Volkovsky, M., 1913. – M. Volkov, – Entwicklung des Zahlenbegriffs. St. Petersburg, 1899. - F. Klein, - Fragen der elementaren und höheren Mathematik, Teil 1, Odessa, 1912, trans. herausgegeben von V. Kogan, Hrsg. Mathesis, S. 47–56. – F. Klein – Anwendung d. Differential-u. Integralrechnung auf die Geometrie. Eine Revision d. Principien, Lpz. 1901, 2. Ausg. 1907. – A. Focc, – Über das Wesen der Mathematik. Pro. I. V. Yashunsky. St. Petersburg, 1911. Publ. "Physik". – Kap. du Méray, – Nouv. Précis d'Analyse infini tésim. Paris, 1872 (er nennt die Hauptreihe „konvergente Variante“ und gleiche Reihen „äquivalent“. - G. Cantor, - Ueb. die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie d. trigon. Reihen („Mat. An.“, Bd. 5). – Pasch, – Einl. in d. Dif. u. Int.-rechn., Lpz. 1882. – B. Russel, – Prinzipien der Mathematik., 1902. – Die d. Functionenlehre (Bd. 74). – Die Theorie von Weierstrass wird in seinen Originalwerken nicht dargestellt Processe („Enc. d. Math. Wis.“ Lpz. 1898–1904, Bd. 11, SS. 47 ff., – Die logischen Grundlagen d. exakten Wissenschaften, Lpz. 1910. – O. Stolz u. Borel, – Leq. s. la Th. d. fon.,, IV, S. 54–55. N. H. Abel, – Note sur un mémorie de M. L. Olivier ayant pour titre „Remarque sur les séries infinies...“ („Oeuvres compl.“ von N. H. Abel, Neuauflage von L. Sylov et S. Lie, T. 1, S. 399–402). Abel beweist, dass das Konvergenzkriterium nicht als Gleichheit angegeben werden kann, – [H. V.] Bugaev, – Unendliche Konvergenz. Reihen nach ihrem äußeren Geist. M., 1863. – Sein eigenes, – Einleitung. in Analyse und Differential. isch., lit. Lek., Hrsg. 2., [M.], 1898, S. 143–144. – L. Euler, – De Infinities infinitis gradibus („Acta Petrop.“, 1778). – P. du Bois-Reymond, – Die allgemeine Funktionentheorie, Tübingen, 1882. – E. Borel, – Leçons sur la théorie des Fonctions, Paris, 1898. – His, – Leç. S. les Fonctions entières, P., 1900. – Sein eigenes, – L. s. l. séries divergantes, R., 1901. – Sein eigenes, – L. s. l. Serie à termes positifs, rec. et rot. von R. d'Adhénar, P., 1902. His, L. s. l. Funktionen méromorphes. – H. Parfentiev, – Forschungen zur Theorie des Funktionswachstums, Kasan, 1910. Von den wenigen Versuchen hierzu zum Beispiel, und selbst dann nur im Zusammenhang. Irrationalitäten, - Ich weiß: der Versuch von Solomon Maimon (über ihn siehe: B. Yakovenko, - Philosophischer Begriff von Sol. Maimon, „Fragen der Phil. und Psych.“, 1912, Bücher 114 (IV) und 115 (V); dann: Benno Kerru, - System einer Theorie d. Grenzbegriffe. Ein Beitrag zur Erkenntnisstheorie. Her. von G. Kohn, Lpz. u. Wien, 1890. Posthume Arbeit. - K. Zhakov, - Grundlagen der Evolutionstheorie des Wissens (Limitismus), - Grenzen der Erkenntnistheorie, 1913 (= „Gott. V.“, 1913, Januar). Linien ihrer Konstruktionen.