XVII. Иррациональности в математике 839 и догмат (к стр. 59).

Na jednom příkladu lze vysvětlit, že superracionální syntéza, což je dogma, není ve vědě něčím zcela bezprecedentním a neočekávaným. Provádí se velmi často, například při konstrukci tzv. iracionálních čísel. Podle původní definice je „číslo“ celé číslo a poté racionální číslo, tedy zlomek. Řešení některých geometrických problémů však často vede k poměru veličin – například segmentů –, který není vyjádřen čísly. Aritmetické operace odpovídající těmto akcím jsou nemožné, protože tato kombinace aritmetických symbolů postrádá jakýkoli význam. Co například znamená √2? – To znamená a jedině to, že jsme v průběhu rozhodování narazili na zeď. Hledali jsme určité číslo, ale ukázalo se, že neexistuje číslo, které by vyhovovalo podmínkám úlohy: √2 je symbol aritmetické nemožnosti. Proč? – Ale protože obecně √a znamená číslo x, které po umocnění dává a, tedy číslo, které splňuje rovnici: x2 = a. Je ale snadné dokázat, že neexistuje a nemůže existovat číslo x, jehož druhá mocnina by byla rovna 2. Totéž platí v geometrii. Můžeme se například pokusit zjistit, kolikrát je jeden segment delší než druhý. V některých případech definujeme toto "kolik?" , tj. najdeme číslo, které jej charakterizuje; a v jiných takové číslo vůbec nebude, a pak samotná otázka „kolik“ nedává smysl. Úhlopříčka čtverce tedy není delší ani kratší než strana téhož čtverce. Úhlopříčka a strana jsou navzájem nesrovnatelné ve směru „v jaké době“, jak se říká, „nesouměřitelné“. Jakékoli číslo, které použijeme k charakterizaci tohoto poměru, se ukáže jako nevhodné. Pokud má strana své vlastní číslo, pak úhlopříčka ne a naopak. Mezi jedním a druhým je jakási propast, pro čísla neprůchodná. Délka úhlopříčky je transcendentální (- používám toto slovo v obecném smyslu, a ne jako matematický terminus technicus -) ve vztahu k délce strany. Tuto skutečnost poprvé objevil Pythagoras; Jak víte, geometr sám byl zděšen hloubkou skutečnosti, kterou objevil, a důsledky, které z toho plynou. Koneckonců, tato jedna skutečnost jednou provždy způsobila nenapravitelné porušení veškerého racionalismu. Kombinace symbolů jako √2 se ve středověku nazývaly „numeri ficti, fiktivní čísla“ nebo v Liber abaci Leonarda z Pisy z roku 1202 „numeri surdi, slepá čísla“ a nebyly vůbec považovány za čísla. Poprvé, pouze v Arithmetica integra Michaela Stiefela, vydané v Norimberku v roce 1544, dostaly konvenční význam čísel a odpovídající název „numeri irrationales“ a Stiefel prohlašuje, že „irrationalis numerus non est verus numerus“, tedy že „iracionální číslo není skutečné číslo“. A i nyní v mnoha učebnicích algebry je důležité konstatovat, že sice není možné extrahovat druhou odmocninu ze 2, ale přesto atd. V rozsahu operací, které aritmetika zná, neexistuje východisko z této obtížnosti. Tyto operace vedou k výsledku, který již nedává smysl, pokud se jejich kruh neporuší; a pokud není porušen, pak tato kombinace narušuje integritu samotného kruhu a způsobuje vnitřní destrukci a devastaci. Tedy - a vůbec: racionální operace vedou k takovým kombinacím, které už mezi svými producenty nemají místo a které vyžadují roztržku v racionální sféře, aby se mohly zrodit do nového, dosud nevídaného a nepředstavitelného světa. Řešení v algebře je dosaženo pouze vytvořením nadpozemských, transcendentálních aritmetických entit pro rozsah daných operací, které jsou již v konečných symbolech nevyjádřitelné, ale jsou jimi postulovány, jsou odůvodněny a je jim dán nový, vyšší význam. Jakmile však chceme uvažovat o těchto nových aritmetických entitách v pojmech starých, jakmile chceme nalít nové víno do starých měchů, vede to k rozkladu symbolu nové entity na dílčí prvky, které jsou v oblasti starých pojmů navzájem neslučitelné, a podstata sama se vypařuje. někdy, když jsme se v noci probudili, zapojili jsme se do tichého rozhovoru a čas nepozorovaně ubíhal, až nám hodiny na zvonici připomněly blížící se ráno... Abychom porozuměli Cantorově konstrukci, zeptám se vás na jednu věc: zapomeňte na vše, co jste dosud slyšeli o iracionálních číslech, a mějte na paměti, že musíte vytvořit zcela nový předmět myšlení. G. Cantor vezme nekonečnou množinu čísel a 1, a 2, a 3, a 4,... a n, ... a n+m,..., uspořádaných v pořadí zápisu tak, že za každým číslem je k němu nejblíže a před každým, kromě prvního, je to nejbližší, které mu předchází. Tuto řadu čísel považuje Cantor za jediný objekt α. Symbolicky to označme tak, že celou skupinu uzavřeme do hranatých závorek, aby bylo možné napsat rovnost, která slouží jako definice α, totiž: α=(a 1, a 2, a 3, … a n,… a n+m, …) Znamená to, že α není nic jiného než nekonečná grupa, myslitelná v jednotě. V určitých případech se čísla a 1, a 2,.. a n,... mohou ukázat jako taková, že řada α, jak se říká, „bude konvergovat“, tj. bude mít následující vlastnost: bez ohledu na to, jak malé číslo σ vezmeme, vždy bude n tak velké, tj. člen nebo prvek, a n tak vzdálený, že rozdíl mezi tímto členem je absolutní, + jak velký je mezi ní a hodnotou. (tj. bez zohlednění znaménka rozdílu) bude menší než σ; symbolicky: an+m – a n < σ, kde σ je libovolně malé. Jinými slovy, čím dále posouváme jakýkoli člen a n, tím menší je rozdíl mezi ním a všemi následujícími, a navíc jej lze libovolně přiblížit nule, i když obecně řečeno, nulou se nikdy nestane. To by byla například skupina čísel. Ve skutečnosti bude absolutní hodnota rozdílu mezi (n+m)-tým a n-tým členem: Čím více m, tím menší je hodnota 1/2 m, a tedy větší čitatel. Ale on je vždy n. Je jasné, že bez ohledu na to, jak malé nám dané číslo σ může být, vždy je možné zvolit n tak velké, že je 1/2n < σ a tedy ještě více, aby rozdíl mezi (n+m)-tým a n-tým členem, tzn. došlo ke konvergenci, „konverguje“, pak řada a 1, a 2, a 3,... dostane název hlavní řady Fundamentalreihe a celá skupina jako jediný objekt α dostane název iracionálního čísla. Iracionalita je tedy v oblasti konečné aritmetiky založené na rozumu nesmyslem z hlediska „čísel“, tedy čísel ve vlastním, konečném smyslu, získaných jako kombinace konečného počtu základních symbolů (1, 2, 3, 4, 5, ... n, ...). Žádná kombinace těchto symbolů, konečných, imanentních v rozumu, nemůže poskytnout obraz iracionality nebo dokonce čehokoli „podobného“. Iracionalita je jistě transcendentální, pro racionální sféru naprosto nepochopitelná. A jednou provždy, konečně a neodvolatelně, musíme opustit záměr prezentovat iracionalitu ve formě konečné kombinace racionalit. Ale pomocí racionálních symbolů jako beztvaré substance můžeme pomocí zcela nových konstruktivních definic vnést do agregátu racionálních čísel, který je jako celek bez kvality, novou podstatu, která jej organizuje. Potom bude iracionální číslo otištěno a vtěleno do této „látky“. Každé racionální číslo zvlášť, každý prvek, každý atom tohoto agregátu sám o sobě, ve svém původním významu, nemá nic společného s celkem v něm vtěleným, stejně jako estetická představa sochy nemá nic společného s mramorovými krystaly, které sochu tvoří, nebo významem básně se zvuky jednotlivých slov. Ale nekonečno, přesněji: superkonečné, - jejich celek zcela odráží tento celek, tuto myšlenku. V základní řadě Cantor, která zobrazuje, ztělesňuje, představuje a je podle definice iracionálním číslem α, každý z prvků a1, a2,… аn, … dokud teprve vstupujeme do oblasti iracionality, nemá to s α nic společného a je dokonce absurdní ptát se, v jakém vztahu se nacházejí tyto v podstatě nesrovnatelné symboly, z nichž α je transcendentální pro každé ai (kde i = 1, 2, 3,... n,...). Ale množina čísel a i, spojená znaménkem konvergence a definicí „akcí“ na α jako jediném objektu, přesně zobrazuje tuto transcendentální podstatu α. Následně, když je α zcela prozkoumáno, ukazuje se, že je možné transponovat všechny ai ve tvaru α, ačkoli je nemožné transponovat α ve tvaru ai; pak je mezi ai a α zaveden koncept „podobnosti“, ačkoli tato „podobnost“ je pouze podobností náznaku, nikoli tautegorie. To znamená, že α je sice pro všechna ai transcendentální, z hlediska ai „nepochopitelné“, ale všechna ai jsou pro α imanentní, pro ni zcela průhledná. Dá se dokonce říci, že z hlediska ai nelze vidět ony transcendentální kořeny ai, ono transcendentální osvětlení a i, které je však z hlediska α jasné a zřejmé. Imanence a transcendence v oblasti esencí rozumu jsou podobné těm v oblasti esencí ontologie: Bůh je pro svět transcendentální z hlediska světa, ale svět není transcendentální vůči Bohu, ale je zcela prostoupen Božskými energiemi - α a ai jsou různé, ale pokud je α všechny podobné ai, pak lze vidět, že α je v řadě či rozdílu podobná. se mění se změnou v i. Z hlediska formálního legalisty, racionálního, podle zákona identity není ai jako α; ale pro bezprostřední vědomí a i mohu naznačit α, a navíc průhlednější nebo zakalenější, v závislosti na hodnotě i. Upozorňujeme však, že zde uvádím pouze obecné výsledky, nikoli však samotnou teorii. Z konceptu rovnosti dvou iracionalit, α a další, jemu analogické, β, získaných různými procesy, je stanoveno, že konečná část symbolů ai může být vyhozena z α, že je možné vybrat a odstranit nekonečnou grupu ze skupiny (a 1, a 2,.. a n...), že je možné provést permutaci, konečnou, transpozici množina prvků a i, pokud se struktura nemění série, pokud se prvky nepohybují tak, aby se nemohly vrátit do starého uspořádání určitými párovými permutacemi - a přesto se α nezmění. Navíc i zcela odlišné množiny (a1, a2, a3,.. an,..) a (b 1, b 2, b 3,.. b n,..) mohou vyjadřovat stejné číslo α: zcela odlišná znaménka mohou vyjadřovat stejnou racionální podstatu. Byla zde posloupnost srážek? Samozřejmě že ne! Udělali jsme skok – přerušení vývoje; představili jsme něco výrazně nového. Nemohli jsme to představit, omezovat se na ty esence, které jsou dány, tedy „konečné“ esence, odevzdat se pozitivistické deprivaci mysli a spočívající na nemožnosti překročit hranice těchto symbolů. Mohli bychom jít i výš; ale to vyžadovalo úsilí vůle a výkon rozumu - velmi specifické úsilí a pokoru před předmětem studia bylo zapotřebí k vytvoření symbolů iracionality. Vytvoření nové entity vyžaduje volný výkon. Jeho svoboda je vyjádřena tím, že máme možnost buď zůstat se „dobrým“ starým, nebo se povznést k „lepšímu“ novému. Výkon spočívá v tom, že „přírodní síly“ – setrvačnost a samolibost vlastní mysli – ji tlačí ke stagnaci ve starém, nakonec ve „známém“. Je třeba překonat samolibost rozumu, prolomit magický kruh jeho konečných pojmů a vstoupit do nového prostředí – do prostředí nadkonečného, ​​rozumu nepřístupného a pro něj absurdního. To je v aritmetice rozumný výkon. Bylo by však velkou chybou vidět v tomto počinu něco výjimečného a zvláštního. Moderní matematika je ve své celistvosti postavena na konceptu limity a omezujícího procesu, se kterým se musíme jasně vypořádat pokaždé, když se zjevně objeví myšlenka nekonečna, a bez jehož tiché účasti na budování vědy nelze udělat ani krok. Iracionality, o jejichž teorii zde zazněly některé náznaky, jsou pouze nejjednodušším a dobře známým případem omezujícího procesu; ale kromě toho existuje mnoho dalších podobných aplikací základního konceptu překonání konečnosti. Transcendentální analytickou funkci tedy nelze vyjádřit žádným konečným počtem prvků, zatímco s ohledem na algebraickou funkci Weierstrass zjistil, že ji lze jako takovou vyjádřit vždy. Pak se ale objeví počátek překonání konečnosti a podle Poincarého teorému se ukáže, že „každou analytickou funkci lze definovat pomocí spočetné množiny prvků. (x – a)" 840 . Analytická funkce tedy stojí ve stejném vztahu k algebraické funkci jako iracionální číslo k číslu racionálnímu. Stejná oblast překonávání konečnosti zahrnuje z teoreticko-kognitivního a ontologického hlediska mimořádně zajímavé studie znaků konvergence a divergence nekonečných řad v souvislosti s otázkou rostoucí a klesající funkce a teorií určitých integrálů. Zde jsou „ideální funkce“ Π. du Bois-Reymonda lze opět v jistém smyslu přirovnat k iracionalitě, nikoli však mezi čísly a nikoli mezi funkcemi, nýbrž mezi integrály. Výzkumy N. Abela, N. V. Bugaeva, P. du Bois-Reymonda, E. Borela, J. Hadamarda, A. Poincarého a dalších 841 mají přes specifičnost tam kladených problémů a tam používané metody pro filozofii největší význam a lze se jen divit, že dosud nebyly téměř žádné aplikace 842. R. Dedekind, – Spojitost a iracionální čísla [1872]. Za. s ním. s cca. S. O. Šatunovskij. Odessa, ed. "Mateze". Ed. 2., 1909,- s přísl. články "Doc. podstatné jméno trans. čísla." – Weber. Wellstein. – Vasiliev, §§ 18–31. – J. Tannery, – Úvod do teorie funkcí jedné proměnné, 1913 (francouzské 1. vyd. se stalo bibliografickým vydáním). - Jeho, - Teoretický kurz. a praktická aritmetika. Za. A. A. Kotljarevskij, ed. D. L. Volkovsky, M., 1913. – M. Volkov, – Evoluce pojmu čísla. Petrohrad, 1899. - F. Klein, - Otázky základní a vyšší matematiky, 1. díl, Oděsa, 1912, přel. upravil V. Kogan, ed. Mathesis, s. 47–56. – F. Klein – Anwendung d. Diferenciál-u. Integralrechnung auf die Geometrie. Eine Revize d. Principien, Lpz. 1901, 2. Ausg. 1907. – A. Focc, – O podstatě matematiky. Za. I. V. Yashunsky. Petrohrad, 1911. Publ. "Fyzika". – Ch. du Méray, – Nouv. Précis d'Analyse infiniti tésim. Paris, 1872 (hlavní řadu nazývá „konvergentní varianta“ a stejnou řadu – „ekvivalentní“. - G. Cantor, - Ueb. die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie d. trigon. Reihen („Mat. An.“, Bd. 5). – Pasch, – Einl. v d. Ind. – Dif. Ind. – 18. u. u. B. Russel, – Principy matematiky., 1902. – Heine, – Die Elemente d. Functionenlehre (“Crelle’s Journ.”, Bd. 74 – Weierstrass’s theory není uvedena v jeho původních dílech: Korsak, – Die Elemente d. 1.8.) – Grundl Aufl., 1898 A. Pringsheim, – Irrationalzahlen u. Konvergenz unendlicher Processe („Enc. d. Math. Wis.“ Lpz. 1898–1904, Bd. 11, SS. 47 ff., Die logischen Grundlaafgen.19.1.). – O. Stolz u. Borel, – Leq. s. la Th. d. fon.,, IV, s. 54–55. N. H. Abel, – Note sur un mémorie de M. L. Olivier ayant pour titre „Remarque sur les séries infinies...“ („Oeuvres compl.“ de N. H. Abel, nouv. éd. par L. Sylov et S. Lie, T. 1, s. 399–402). Abel dokazuje, že kritérium pro konvergenci nelze dát jako rovnost, – [H. V.] Bugajev, – Nekonečná konvergence. řádky podle jejich vnější mysli. M., 1863. – Vlastní, – Úvod. v analýze a diferenciálu. isch., lit. Lek., ed. 2nd, [M.], 1898, s. 143–144. – L. Euler, – De Infinities infinitis gradibus („Acta Petrop.“, 1778). – P. du Bois-Reymond, – Die allgemeine Funktionentheorie, Tübingen, 1882. – E. Borel, – Leçons sur la théorie des Fonctions, Paříž, 1898. – His, – Leç. s. les Fonctions entières, P., 1900. – Jeho vlastní, – L. s. l. séries divergantes, R., 1901. – Jeho vlastní, – L. s. l. séries à termes positifs, rec. et červená. par R. d'Adhénar, P., 1902. His, L. s. l. Funkce méromorfů. – H. Parfentiev, – Výzkum teorie růstu funkcí, Kazaň, 1910. Z mála pokusů v tomto například, a i to pouze ve vztahu. iracionality, - Vím: pokus Solomona Maimona (o něm viz: B. Jakovenko, - Filosofický koncept Sol. Maimona, „Otázky Fil. a Psych.“, 1912, knihy 114 (IV) a 115 (V); dále: Benno Kerru, - System einerbegriffe Beitrag d. Erkenntnisstheorie. von G. Kohn, 1890. Posmrtná práce - K. Žakov, - Základy evoluční teorie vědění (limitismus). ale kupodivu ne v takové míře, aby ji mohli využít, nejen bez porušení, ale dokonce posílení hlavních linií svých konstrukcí.