Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

Ин моту куиесцо. Тихо по лошем времену. Бесконачно, бесконачно се чује врло често у обичном разговору; али треба само тражити објашњење ових речи да би наишли на збуњен поглед. Међутим, ако у широј јавности постоји само неразумевање, онда међу људима који се баве менталним радом често постоји изопаченост у разумевању, па чак и потпуна конфузија по овом питању. Веома јаки и суптилни умови често нису били слободни од нејасноћа и пропуста по питању концепта бесконачности. Недостатак простора, нажалост, не дозвољава нам да наведемо низ поучних примера, али ће читалац из даљег излагања сам закључити на кога би се овде могло позвати. Међутим, тешкоће зависе само делимично, па чак и у врло незнатном делу од апстрактности питања; главни разлог овде је пристрасно размишљање, неспремност или неспособност да се директно посматра објекат истраживања. Почиње да учи са поверењем да је већ познато; а имагинарно знање, по Канторовим речима, „хорор инфинити“ који влада у друштву, даје се на осећај. Главне грешке које се често праве у расуђивању о бесконачном јављају се као резултат занемаривања основне и сасвим елементарне разлике између стварне и потенцијалне бесконачности. Стога ћу се морати задржати на овој подели детаљније него што бих желео. За сада, међутим, биће дата прелиминарна дефиниција бесконачности; Нећемо се надовезивати на то, јер се не ослања на прилично једноставне концепте, иако је само по себи истинито. Сваки квант, или, како Н.И. Лобачевски сугерише да свака „колика“, по самој дефиницији, може бити двострука. Може бити дато и непроменљиво и чврсто утврђено, потпуно одређено, и тада ће представљати оно што се зове трајно или постојано. Такође можда није специфичан, може се променити, постајући већи или мањи. У овом последњем случају, квант се назива променљива. Дакле, стварна бесконачност је посебан случај константе, а потенцијал - променљиве "колике", и то је њихова најдубља фундаментална разлика - ако желите, њихова суштинска супротност. Хајде да објаснимо ово детаљније. Хајде да имамо променљиву, и нека се промени не на неки начин, већ на одређени начин, тако да постане више од било које константне „колике“ исте врсте, или мање. У сваком стању ова променљива је коначна; али по нашем схватању, укупност ових држава се разликује од укупности било којих произвољно одабраних држава. У том смислу кажемо да је наш квант потенцијална бесконачност, потенцијал - због чињенице да може постати више од било ког другог кванта. Дакле, потенцијална бесконачност не означава никакав квант узет у себи, већ само посебан начин разматрања кванта, наиме, у вези са природом његове посебне промене. Потенцијална бесконачност, по Кантору, није идеја, већ само помоћни концепт; то је енс ратионис, према Штекловом срећном изразу. Једном речју, потенцијална бесконачност је оно што су стари звали απειρον, схоластици - синцатегорематице инфинитум или индефинитум, нови филозофи - лоша или, тачније, проста бесконачност, сцхлецхте Унендлицхкеит. Дакле, овај бескрајни потенцијал бесконачан је променљива коначна величина, квантна, која се повећава преко свих граница, или, обрнуто, пада испод било које коначне границе. Такви су, на пример, диференцијали, које је већ Лајбниц окарактерисао управо за ово својство, као чисте фикције. С обзиром на то, јасно је да је говор о потпуној потенцијалној бесконачности, што је, према Кантору, учинио Фонтенел, цонтрадицтио ин терминис. Нажалост, безброј, легије, ауторитети свих специјалности су сувише чврсто схватили ову једноставну истину и, заборављајући на реч потенцијал, на различите начине почели да изјављују да је „потпуна бесконачност“ нешто апсурдно. Одавде потиче стари афоризам: „Нумерус инфинитус репугнат“, отуда и Тонгиоргијева изјава: „Мултитудо ацту инфинита репугнат“ и други слични. Овај наизглед сасвим невин пропуст довео је до више од једне грубе грешке и, узгред, на њој се заснивају прве Кантове „антиномије чистог разума“. Такозвани аргументи против потпуне бесконачности и многа разматрања позитивизма заснивају се на овом истом пропусту, као што ћемо видети. Хајде да сада размотримо другу врсту бесконачности - стварну бесконачност. У ту сврху се враћамо на наше полазиште, на концепт кванта, односно кванта константе, и садржај овог појма константе ћемо обогатити новом особином. Нека константа може бити таква да стоји у низу других константи исте врсте, то јест, више од неких коначних константи и мање од других. Тада ће она сама бити коначна. Али може се десити да не стоји међу осталим константама, јер је већа од било које коначне константе, ма колико је велику узимали. Тада ћемо рећи да је наш квант стварна бесконачност, бесконачност у акту, актуелитер, а не само у потенции. Тако, на пример, у дијалогу „Бруно” Шелинг 830 бриљантно открива да је сваки концепт бесконачан, јер обједињује скуп репрезентација који није коначан; али пошто је обим појма, у суштини, потпуно дефинисан и дат, онда та бесконачност не може бити ништа друго до стварна бесконачност. Сваки суд, свака теорема носи у себи стварну бесконачност, и то је цела моћ логичког мишљења, како је Сократ истакао. Узмимо конкретније примере. На пример, окрећући се простору, можемо тврдити да све тачке унутар неке затворене површине формирају стварно-бесконачан скуп. У ствари, сваки од њих је потпуно дефинисан, што значи да су сви они такође потпуно дефинисани; али, међутим, њихов број премашује било који од бројева у низу: 1, 2, 3... н,... и више од сваког од ових бројева. У истом смислу, можемо рећи да је сила Божја актуелна и бесконачна, јер је, будући да је одређена (нема промене у Богу), истовремено већа од било које коначне силе. 831 Аутор књиге „О небеској јерархији“, књиге која се приписује Светом Дионисију Ареопагиту. „А то је, по мом мишљењу“, каже он, „достојно пажљивог промишљања, оно што Писмо каже о анђелима, односно да их има на хиљаде и на десетине, множећи бројеве сами по себи, имамо највише. Овим се јасно показује да су врсте небеских бића за нас безбројне; јер је блажен ум надмоћан и безбројна рука. недовољно бројање бројева које користимо, а прецизно је одређено само њиховим супериорним разумевањем” 832. У концепту актуелне бесконачности који се овде разматра, није тешко препознати оно што су стари знали под именом αφωρισμενον, међу схоластицима – под именом категорематице инфинитум, међу новим филозофима – позитивну, праву бесконачност. Како то Гете каже, 833 „ово је затворена бесконачност, прикладнија човеку од звезданог неба“, а ово друго се, наравно, схвата управо као извесна могућност да се јури даље и даље, никада не може да произведе синтезу и да се слегне у целини. Овде смо суочени са новим разматрањем. Да би потенцијална бесконачност била могућа, бесконачна промена мора бити могућа. Али, на крају крајева, за ово друго је неопходан „регион“ промене, који се сам по себи не може променити, јер би у супротном било неопходно захтевати регион промене за регион, итд. Он, међутим, није коначан и стога се мора признати као стварно бесконачан. Према томе, свака потенцијална бесконачност већ претпоставља постојање стварне бесконачности као своје супер-коначне границе 834; сваки бесконачни напредак већ претпоставља постојање бесконачног циља прогреса; свако бесконачно побољшање захтева препознавање бесконачног савршенства. Онај ко пориче актуелно-бесконачно у било ком погледу, пориче и потенцијалну бесконачност у истом погледу, а позитивизам у себи носи елементе сопствене декомпозиције – да тако кажем, код позитивизма долази до самотровања производима сопствене делатности. На основу горе откривене дефиниције стварне бесконачности, можемо закључити да се таква бесконачност може замислити у две модификације. Прво, будући да је већи од било ког коначног кванта, може се испоставити да нема другог кванта, такође бесконачног, који би био већи од њега; другим речима, овде се испоставља да је неспособан да буде мањи од било чега другог. Ово је стварна бесконачност, неспособна за повећање, апсолутни максимум; и уопште и код Кантора, назива се Абсолутум. Друго, а они који су говорили о бесконачности то нису приметили, из дефиниције стварне бесконачности следи могућност њене друге модификације. Стварна бесконачност, управо, може имати изнад себе друге кванте, веће од себе; тада ће бити способан да се повећава, повећаваће се за стварну бесконачност. Да би једном заувек избегао забуну речи и дужина, Кантор му даје име супер-удова, Уеберендлицхкеит. Од ових формалних разматрања пређимо на стварна. Наилазимо на стварну бесконачност, или се барем можемо надати да ћемо је наићи, у три различите области. Прво, пошто се ово стварно-бесконачно остварује у највишем савршенству, у потпуно независном, вансветском бићу, једном речју – у Део сиве натура натуранте, а последњи израз Кантор разуме не у смислу пантеизма, већ у оном изворном смислу који су му дали Тома Аквински и други теолози. Овде је бесконачно апсолутни максимум и оно што се раније називало Апсолутом или апсолутна бесконачност. Друго, актуелно-бесконачно се може претпоставити ин цонцрето, у зависном свету, у створењу, ин натура натурата. Овде Кантор то назива Трансфинитум. Коначно, треће, актуелно-бесконачно може бити ин абстрацто у духу, будући да има способност да спозна Трансфинитум у природи и, у извесној мери, Апсолут у Богу. У овом последњем случају, бесконачност се назива симболима бесконачности. Конкретно, ако говоримо конкретно о знању Трансфинита, ови симболи се називају трансфинити бројеви и трансфинитни типови. Последње две врсте бесконачности су увећане бесконачности. 835 Комплетна библиографија о научницима. о бесконачно није доступно, неки су назначени у: Виванти, - Листа библиографиа делла теориа дегли аггрегати 1893–1899 („Библиотхеца матхематица”, 3 1, 1900, стр. 160), где је именовано 70 чланака и књига; – Л. Цоутурат, – Де л’Инфини Матхематикуе, Париз, 1896, стр. 657–660; – “Енцицлопадие д. Матх. Виссенсцх.”, Лпз., 1898–1904, Бд. 1 1 , СС. 184 фф. – Поред бројних дела оснивача савременог доба. уцх. о делу. бескрајни Г. Цантор (Грундл. еинер аллгемеинен Маннигфалтигкеитслехре, Лпз. 1883; - чланци у „Матх. Ан.” Бдд. 46, 49; најважнији чланци из других часописа прикупљени у „Ацта Матх.”, 1883, 24), следећи. име посебно: Киллинг, – Уебер трансфинитен Захлен („Математика, Бд. 48); – Веронесе, – Инторно ад алцуне оссервазиони суи сегменти инфинити е инфенитесимали аттуали (ид., Бд. 47); – Линделеф („Цомптес Рендус”, 1903(2), 37); – Евеллин, – Инфини ет Кпантите. Етуде сур ле цонцепт де л'инфини ен пхилос. ет данс лес сциенцес, Париз. 1880; – Гер. Хессенберг, – Грундбегриффе дер Менгенлехре, Гетинген, 1906 (Сондерабдр. аус ден „Абхандл. дер Фриес’сцхен Сцхуле”, Бд. 1, Хфт. 4). – Његов, – Дас Унендлицхе ин дие Матхематик (ид. Бд. 1, Хфт. 3). – Е. Зермело, – Бевеис, дасс једе Менге вохлгеорднет верден канн („Матх. Ан.“, Бд. 59, 1904, СС. 514–516). – Арт. Сцхоенфлиес , – Дие Ентвицкелунг д. Лехре вон ден Пунктманнигфалтигкеитен („Јахресберицхт д. Деутсцхен Матхематикер-Вереинигунг”, Лпз., 1900, Бд. 8, Хфт. 2). – Цоутурат (види горе). – Борел,. – Ха пиц. језик: И. [И.] Зхегалкин, - Трансфините нумберс, М., 1907. - Х. Вебер и С. Веллстеин, - Енцицлопедиа оф елементари. математика, прев. са њим. приредио В. Коган, ур. „Матесис”, Т. 1, Одеса, 1907. – А. Пуанкаре, – Наука и метод. – А. Б. Васиљев, – Увод. у анализи, књ. ИИ., ур. Н. Н. Иовлева, Казан, 1908. – Флор.. – “Нове идеје у математици”, Сат. бр. 1, ур. „Имиџ.“, Санкт Петербург, 1913. – Болцано. Шелинг, - Бруно (руски превод, ур. заједно са „Фил. студија о суштини народа Ст.“). Х. Поинцаре, – Ла Сциенце ет л’Хипотхесе, стр. 20 с. постоји п.п. – Слично, Ј. Таннри тврди да „појам целог броја већ садржи појам бесконачности“ (Ј. Таннри, - Пуре Матхематицс. „Метход ин тхе Сциенцес“, превео из 2. француског издања И. С. Иусхкевицх и И. К. Брусиловски, „Едуцатион“, издавач, стр.1915, Ст. Петерсбург). Дион. Ареоп. , – О небески. Хиер. 14 (Рус. стр. 1898, стр. 52). Цон. Гутберлет, – Дас Проблем д. Унендлицхен („Зеитсцхр. ф. Пхилос. у. пхилос. Кр.“, Бд. 88, 1886. С. 215). Ова екскурзија – скр. одвајање од „О симболу. бескрајно“. . - Поред декрета. радови из историје пон. о бескрајна Индикација: кожара, – Хист. ду цонцепт де л'инфини ау ИВ сиецле („Рев. пхилос.“, КСИВ, 618).