Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

Në motu quiesco. Qetë në mot të keq. Pafundësia, pafundësia dëgjohet shumë shpesh në biseda të zakonshme; por njeriu duhet vetëm të kërkojë një shpjegim të këtyre fjalëve për t'u përballur me një vështrim të hutuar. Sidoqoftë, nëse në publikun e gjerë ka vetëm keqkuptim, atëherë midis njerëzve të angazhuar në punë mendore, shpesh ka një çoroditje në të kuptuar dhe madje konfuzion të plotë në këtë pikë. Mendjet shumë të forta dhe delikate shpesh nuk ishin të lira nga paqartësitë dhe lëshimet për çështjen e konceptit të pafundësisë. Mungesa e hapësirës, ​​për fat të keq, nuk na lejon të japim një sërë shembujsh udhëzues, por lexuesi do ta kuptojë vetë nga prezantimi i mëtejshëm se kujt mund t'i referohemi këtu. Megjithatë, vështirësitë varen vetëm pjesërisht dhe madje në një pjesë shumë të parëndësishme nga abstraktiteti i pyetjes; Arsyeja kryesore këtu është të menduarit e njëanshëm, ngurrimi ose pamundësia për të parë drejtpërdrejt objektin e kërkimit. Fillon të studiojë me besim se tashmë dihet; dhe njohuria imagjinare, sipas fjalëve të Cantor-it, "infiniti i tmerrit" që mbretëron në shoqëri, e bën veten të ndihet. Gabimet kryesore që bëhen mjaft shpesh në arsyetimin për pafundësinë shfaqen si rezultat i neglizhencës së dallimit themelor dhe krejtësisht elementar midis pafundësisë aktuale dhe asaj potenciale. Prandaj, do të më duhet të ndalem në këtë ndarje më në detaje sesa do të doja. Për momentin, megjithatë, do të jepet një përkufizim paraprak i pafundësisë; Ne nuk do të ndërtojmë mbi të, pasi nuk mbështetet në koncepte mjaft të thjeshta, megjithëse në vetvete është e vërtetë. Çdo kuant, ose, si N.I. Lobachevsky sugjeron të thotë se çdo "kolik", sipas përkufizimit të saj, mund të jetë e dyfishtë. Mund të jepet dhe të vendoset në mënyrë të pandryshueshme dhe të vendosur, plotësisht të përcaktuar, dhe më pas do të përfaqësojë atë që quhet e përhershme ose konstante. Mund të mos jetë gjithashtu specifike, mund të ndryshojë, duke u bërë më i madh ose më i vogël. Në rastin e fundit, kuanti quhet variabël. Pra, pafundësia aktuale është një rast i veçantë i një konstante dhe potenciali - një "kolika" e ndryshueshme dhe ky është ndryshimi i tyre më i thellë themelor - nëse dëshironi, e kundërta e tyre thelbësore. Le ta shpjegojmë këtë në më shumë detaje. Le të kemi një variabël dhe le të ndryshojë jo në një farë mënyre, por në një mënyrë të caktuar, në mënyrë që të bëhet më shumë se çdo "kolikë" konstante e të njëjtit lloj, ose më pak. Në çdo gjendje kjo ndryshore është e fundme; por në kuptimin tonë, tërësia e këtyre shteteve ndryshon nga tërësia e çdo shteti të zgjedhur në mënyrë arbitrare. Në këtë kuptim, ne themi se kuanti ynë është pafundësi potenciale, potenciale - për faktin se mund të bëhet më shumë se çdo kuant tjetër. Kështu, pafundësia potenciale nuk tregon ndonjë kuant të marrë brenda vetes, por vetëm një mënyrë të veçantë të shqyrtimit të kuantit, domethënë, në lidhje me natyrën e ndryshimit të tij të veçantë. Pafundësia e mundshme, sipas Cantor-it, nuk është një ide, por vetëm një koncept ndihmës; është ens rationis, sipas shprehjes së lumtur të Stöckl-it. Me një fjalë, pafundësia potenciale është ajo që të lashtët e quanin ἄπειρον, skolastikët - syncategorematice infinitum ose indefinitum, filozofët e rinj - pafundësi e keqe ose, më saktë, pafundësi e thjeshtë, schlechte Unendlichkeit. Pra, kjo pafundësi potenciale e pafundme është një sasi e kufizuar e ndryshueshme, kuantike, që rritet mbi të gjithë kufijtë, ose, anasjelltas, që bie nën çdo kufi të fundëm. Të tillë, për shembull, janë diferencialet, tashmë të karakterizuara nga Leibniz, pikërisht për këtë veti, si fiksione të pastra. Duke pasur parasysh këtë, është e qartë se të flasësh për një pafundësi të plotë potenciale, e cila, sipas Cantor, Fontenelle e bëri, është një kontradiktë në terminis. Fatkeqësisht, legjionet e panumërta, autoritete të të gjitha specialiteteve e kanë kapur shumë fort këtë të vërtetë të thjeshtë dhe, duke harruar fjalën potencial, filluan të deklarojnë me zëra të ndryshëm se "pafundësia e plotë" është diçka absurde. Prej këtu vjen aforizmi i vjetër: “Numerus infinitus repugnat”, pra thënia e Tongiorgit: “Multitudo actu infinita repugnat” dhe të tjera të ngjashme. Ky lëshim në dukje krejt i pafajshëm shkaktoi më shumë se një gabim të madh dhe, meqë ra fjala, "antinomitë e arsyes së pastër" të para të Kantit bazohen në të. Të ashtuquajturat argumente kundër pafundësisë së plotë dhe shumë konsiderata të pozitivizmit bazohen në të njëjtin lëshim, siç do të shohim. Le të shqyrtojmë tani një lloj tjetër të pafundësisë - pafundësinë aktuale. Për këtë qëllim i kthehemi pikënisjes sonë, konceptit kuantik, përkatësisht kuantit të konstantës dhe do ta pasurojmë përmbajtjen e këtij koncepti të konstantës me një veçori të re. Disa konstante mund të jenë të tilla që të qëndrojnë në një seri konstantesh të tjera të të njëjtit lloj, domethënë më shumë se disa konstante të fundme dhe më pak se të tjerat. Atëherë ajo vetë do të jetë e kufizuar. Por mund të ndodhë që ajo të mos qëndrojë midis konstantave të tjera, sepse është më e madhe se çdo konstante e fundme, sado e madhe ta marrim. Atëherë do të themi se kuanti ynë është pafundësi aktuale, pafundësi në aktu, aktualiter dhe jo vetëm në fuqi. Kështu, për shembull, në dialogun “Bruno” Schelling 830 zbulon shkëlqyeshëm se çdo koncept është pafundësi, sepse bashkon një grup paraqitjesh që nuk janë të fundme; por meqenëse shtrirja e konceptit, në thelb, është plotësisht e përcaktuar dhe e dhënë, atëherë kjo pafundësi nuk mund të jetë gjë tjetër veçse pafundësia aktuale. Çdo gjykim, çdo teoremë mbart në vetvete pafundësinë aktuale dhe kjo është e gjithë fuqia e të menduarit logjik, siç theksoi Sokrati. Le të marrim shembuj më konkretë. Për shembull, duke u kthyer në hapësirë, mund të pohojmë se të gjitha pikat brenda një sipërfaqeje të mbyllur formojnë një grup real-infinit. Në fakt, secila prej tyre është plotësisht e përcaktuar, që do të thotë se të gjitha janë gjithashtu plotësisht të përcaktuara; por, megjithatë, numri i tyre tejkalon cilindo nga numrat në seri: 1, 2, 3... n,... dhe më shumë se secili prej këtyre numrave. Në të njëjtin kuptim, mund të themi se fuqia e Zotit është aktuale dhe e pafundme, sepse ajo, duke qenë e përcaktuar (nuk ka ndryshim në Zotin), është në të njëjtën kohë më e madhe se çdo fuqi e fundme. 831 Autori i librit "Mbi Hierarkinë Qiellore", një libër që i atribuohet Shën Dionisi Areopagitit. "Dhe kjo, për mendimin tim," thotë ai, "është e denjë për një reflektim të kujdesshëm, ajo që thotë Shkrimi për Engjëjt, domethënë se ka mijëra dhe dhjetëra prej tyre, duke shumëzuar numrat me vete, ne kemi më të lartën. Nëpërmjet kësaj tregon qartë se llojet e qenieve qiellore janë të panumërta për ne; sepse ushtria e panumërt është e pakuptimtë dhe e bekuar. numërimi i pamjaftueshëm i numrave që përdorim dhe përcaktohet saktësisht vetëm nga kuptimi i tyre më i lartë” 832. Në konceptin e pafundësisë aktuale të shqyrtuar këtu, nuk është e vështirë të njohësh atë që të lashtët dinin me emrin ἀφωρισμένον, ndër skolastikët - me emrin kategorematice infinitum, ndër filozofët e rinj - pafundësia pozitive, e duhur. Siç thotë Goethe, 833 “kjo është një pafundësi e mbyllur, më e përshtatshme për njeriun sesa qielli me yje” dhe kjo e fundit, natyrisht, kuptohet pikërisht si një mundësi e caktuar për të nxituar gjithnjë e më tej, duke mos qenë në gjendje të prodhojë kurrë një sintezë dhe të vendoset në tërësi. Këtu jemi përballur me një konsideratë të re. Që pafundësia potenciale të jetë e mundur, ndryshimi i pafund duhet të jetë i mundur. Por, në fund të fundit, për këtë të fundit është i domosdoshëm një “rajon” ndryshimi, i cili në vetvete nuk mund të ndryshojë, pasi përndryshe do të ishte e nevojshme të kërkohet një rajon ndryshimi për rajonin, etj. Megjithatë, ai nuk është i fundëm dhe, për rrjedhojë, duhet të njihet si realisht i pafund. Rrjedhimisht, çdo pafundësi potenciale tashmë presupozon ekzistencën e pafundësisë aktuale si kufirin e saj superfinit 834; çdo përparim i pafund tashmë presupozon ekzistencën e një qëllimi të pafund progresi; çdo përmirësim i pafund kërkon njohjen e përsosmërisë së pafundme. Ai që mohon aktualin-pafundësinë në çdo aspekt, në këtë mënyrë mohon pafundësinë e mundshme në të njëjtin aspekt, dhe pozitivizmi mbart brenda vetes elemente të dekompozimit të tij - si të thuash, me pozitivizmin vetëhelmimi ndodh me produktet e veprimtarisë së tij. Bazuar në përkufizimin e pafundësisë aktuale të zbuluar më sipër, mund të konkludojmë se një pafundësi e tillë mund të imagjinohet në dy modifikime. Së pari, duke qenë më i madh se çdo kuant i fundëm, ai vetë mund të rezultojë të mos ketë një kuantë tjetër, gjithashtu të pafundme, që do të ishte më e madhe se ajo; me fjalë të tjera, këtu rezulton të jetë e paaftë për të qenë më pak se çdo gjë tjetër. Kjo është pafundësia aktuale, e paaftë për rritje, maksimumi absolut; si në përgjithësi ashtu edhe në Cantor quhet Absolutum. Së dyti, dhe ata që folën për pafundësinë nuk e vunë re këtë, nga përkufizimi i pafundësisë aktuale rrjedh mundësia e modifikimit të dytë të saj. Pafundësia aktuale, pikërisht, mund të ketë mbi të kuanta të tjera, më të mëdha se vetja; atëherë do të jetë në gjendje të rritet, do të rritet me pafundësinë aktuale. Për të shmangur një herë e mirë konfuzionin e fjalëve dhe gjatësisë, Kantor i jep emrin e super-gjymtyrës, Ueberendlichkeit. Nga këto konsiderata formale le të kalojmë në ato reale. Ne ndeshemi me pafundësinë aktuale, ose të paktën mund të shpresojmë ta ndeshemi, në tre fusha të ndryshme. Së pari, meqenëse kjo aktuale-pafundësi realizohet në përsosmërinë më të lartë, në një qenie krejtësisht të pavarur, jashtëbotërore, me një fjalë - në Deo sive natura naturante, dhe Cantor e kupton shprehjen e fundit jo në kuptimin e panteizmit, por në kuptimin origjinal që e dhanë Thomas Aquinas dhe teologë të tjerë. Këtu pafundësia është maksimumi absolut dhe është ajo që më parë quhej Absolutum ose pafundësi absolute. Së dyti, aktuale-pafundësia mund të presupozohet in concreto, në botën e varur, në krijesë, në natura naturata. Këtu Cantor e quan atë Transfinitum. Së fundi, së treti, aktual-pafundësia mund të jetë in abstracto në frymë, pasi ajo ka aftësinë të njohë Transfinitum-in në natyrë dhe, në një masë të caktuar, Absolutum-in në Zot. Në këtë rast të fundit, pafundësia quhet simbole të pafundësisë. Në veçanti, nëse po flasim në mënyrë specifike për njohjen e Transfinitumit, këto simbole quhen numra transfinite dhe lloje transfinite. Dy llojet e fundit të pafundësisë janë pafundësi të shtueshme. 835 Bibliografi e plotë për shkencëtarët. oh infinit nuk disponohet, disa janë treguar në: Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 (“Bibliotheca mathematica”, 3 1, 1900, f. 160), ku emërtohen 70 artikuj dhe libra; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Paris, 1896, f. 657–660; – “Encyclopädie d. Math. Wissensch.” Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1 , SS. 184 ff. – Krahas veprave të shumta të themeluesit të kohëve moderne. uch. në lidhje me aktin. pafund G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - artikuj në “Math. An.” Bdd. 46, 49; artikujt më të rëndësishëm nga revista të tjera të mbledhura në “Acta Math.”, 1883, 24), në vijim. emri në veçanti: Killing, – Ueber transfiniten Zahlen (“Math. An.”, Bd. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – Lindelöf (“Comptes Rendus”, 1903(2), 37); – Evellin, – Infini et Qpantité. Etude sur le concept de l'infini en philos. et dans les Sciences, Paris. 1880; – Ger. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den “Abhandl. der Fries’schen Schule”, Bd. 1, Hft. 4). – E tij, – Das Unendliche në die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (“Math. An.”, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – Art. Schoenflies, – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten (“Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung”, Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Couturat (shih më lart). - Borel,. – Ha pyc. gjuha: I. [I.] Zhegalkin, - Numrat transfinite, M., 1907. - H. Weber dhe S. Wellstein, - Encyclopedia of elementary. matematikë, përkth. me të. redaktuar nga V. Kogan, ed. “Mathesis”, T. 1, Odessa, 1907. – A. Puankare, – Shkenca dhe metoda. – A. B. Vasiliev, – Hyrje. në analizë, vëll. II., ed. N. N. Iovleva, Kazan, 1908. – Flor.. – “Ide të reja në matematikë”, Sat. Nr. 1, ed. “Imazhi.”, Shën Petersburg, 1913. – Bolzano. Schelling, - Bruno (përkthim rusisht, bot. së bashku me "Studim filial mbi thelbin e popullit të St."). H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, fq 20 s. ka p.p. – Në mënyrë të ngjashme, J. Tannry pohon se “koncepti i një numri të plotë tashmë përmban konceptin e pafundësisë” (J. Tannry, - Pure Mathematics. “Method in the Sciences”, përkthyer nga botimi i 2-të frëngjisht nga I. S. Yushkevich dhe I. K. Brusilovsky, “Education” Peterburg, 1,3, botues, St. Dion. Areop. , – O qiellor. Hier. 14 (Rus. f. 1898, f. 52). Kon. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen (“Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.”, Bd. 88, 1886. S. 215). Ky ekskursion – abbr. ndarje nga "Rreth simbolit. pafund." . - Përveç kësaj dekreti. vepra për historinë Hën. oh pafund Indikacion: Fabrika e lëkurës, – Hist. du concept de l'infini au IV siècle (“Rev. philos.”, XIV, 618).