Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

In motu quiesco. Ticho v zlom počasí. Nekonečno, nekonečno počuť v bežnom rozhovore veľmi často; ale stačí požiadať o vysvetlenie týchto slov, aby sme sa stretli so zmäteným pohľadom. Ak však v širokej verejnosti existuje iba nedorozumenie, potom medzi ľuďmi zaoberajúcimi sa duševnou prácou často dochádza k zvrátenosti v chápaní a dokonca k úplnému zmätku v tomto bode. Veľmi silné a subtílne mysle často neboli zbavené nejasností a opomenutí v otázke pojmu nekonečno. Nedostatok miesta nám, žiaľ, nedovoľuje uviesť množstvo poučných príkladov, no na koho by sa tu mohol odvolávať, si čitateľ z ďalšej prezentácie príde sám. Ťažkosti však závisia len sčasti a aj to vo veľmi nepatrnej časti od abstraktnosti otázky; hlavným dôvodom je tu neobjektívne myslenie, neochota alebo neschopnosť pozrieť sa priamo na objekt výskumu. Začne študovať s istotou, že je to už známe; a imaginárne poznanie, povedané Cantorovými slovami, „horor infiniti“, ktorý vládne v spoločnosti, je cítiť. Hlavné chyby, ktoré sa pri uvažovaní o nekonečne často robia, sa objavujú v dôsledku zanedbania základného a úplne elementárneho rozlíšenia medzi skutočným a potenciálnym nekonečnom. Preto sa nad týmto rozdelením budem musieť pozastaviť podrobnejšie, ako by som chcel. Zatiaľ však bude uvedená predbežná definícia nekonečna; Nebudeme na ňom stavať, keďže sa nespolieha na celkom jednoduché koncepty, hoci sám o sebe je pravdivý. Každé kvantum, alebo ako N.I. Lobačevskij navrhuje povedať, že každá „kolika“ môže byť podľa svojej definície dvojaká. Môže byť daný a nemenne a pevne stanovený, úplne určitý, a potom bude predstavovať to, čo sa nazýva trvalé alebo konštantné. Tiež nemusí byť konkrétny, môže sa meniť, zväčšovať alebo zmenšovať. V tomto poslednom prípade sa kvantum nazýva premenná. Skutočné nekonečno je teda špeciálnym prípadom konštanty a potenciálu – premennej „koliky“, a to je ich najhlbší zásadný rozdiel – ak chcete, ich podstatný opak. Poďme si to vysvetliť podrobnejšie. Majme premennú a nechajme ju meniť nie nejakým spôsobom, ale určitým spôsobom, aby sa stala viac ako akákoľvek konštantná „kolika“ rovnakého druhu alebo menej. V každom stave je táto premenná konečná; ale v našom chápaní sa totalita týchto štátov líši od totality akýchkoľvek svojvoľne vybraných štátov. V tomto zmysle hovoríme, že naše kvantum je potenciálne nekonečno, potenciál – vďaka tomu, že sa môže stať viac ako akékoľvek iné kvantum. Potenciálne nekonečno teda neoznačuje žiadne kvantum vzaté v sebe, ale iba zvláštny spôsob uvažovania o kvante, a to v súvislosti s povahou jeho špeciálnej zmeny. Potenciálne nekonečno podľa Cantora nie je myšlienka, ale len pomocný pojem; je to ens rationis, podľa Stöcklovho šťastného výrazu. Jedným slovom, potenciálne nekonečno je to, čo starovekí nazývali ἄπειρον, scholastici - syncategorematice infinitum alebo indefinitum, noví filozofi - zlé alebo presnejšie jednoduché nekonečno, schlechte Unendlichkeit. Takže toto nekonečné potenciálne nekonečné je premenlivé konečné množstvo, kvantum, ktoré rastie cez všetky hranice, alebo naopak klesá pod akúkoľvek konečnú hranicu. Takými sú napríklad diferenciály, ktoré charakterizoval už Leibniz práve pre túto vlastnosť, ako čisté fikcie. Vzhľadom na to je jasné, že hovoriť o úplnom potenciálnom nekonečne, čo podľa Cantora urobila Fontenelle, je kontradiktórnosť in terminis. Žiaľ, nespočetné množstvo autorít všetkých špecializácií uchopilo túto jednoduchú pravdu príliš pevne a zabúdajúc na slovo potenciál začali rôznymi hlasmi vyhlasovať, že „úplné nekonečno“ je niečo absurdné. Odtiaľ pochádza starý aforizmus: „Numerus infinitus repugnat“, teda Tongiorgiho výrok: „Multitudo actu infinita repugnat“ a ďalšie podobné. Toto zjavne celkom nevinné opomenutie spôsobilo viac ako jednu hrubú chybu a mimochodom, prvé Kantove „antinómie čistého rozumu“ sú založené na nej. Takzvané argumenty proti úplnému nekonečnu a mnohé úvahy o pozitivizme sú založené na rovnakom opomenutí, ako uvidíme. Uvažujme teraz o inom druhu nekonečna – o aktuálnom nekonečne. Za týmto účelom sa vrátime k nášmu východiskovému bodu, ku konceptu kvanta, konkrétne kvantu konštanty, a obsah tohto konceptu konštanty obohatíme o novú vlastnosť. Niektorá konštanta môže byť taká, že stojí v rade iných konštánt rovnakého druhu, teda viac ako niektoré konečné konštanty a menej ako iné. Potom bude ona sama konečná. Ale môže sa stať, že neobstojí medzi ostatnými konštantami, pretože je väčšia ako ktorákoľvek konečná konštanta, nech ju berieme akokoľvek veľkú. Potom povieme, že naše kvantum je skutočné nekonečno, nekonečno v aktu, aktuálnosti, a nie len v potencii. Tak napríklad v dialógu „Bruno“ Schelling 830 brilantne odhaľuje, že každý koncept je nekonečno, pretože spája množinu reprezentácií, ktoré nie sú konečné; ale keďže rozsah pojmu je v podstate úplne definovaný a daný, potom toto nekonečno nemôže byť nič iné ako skutočné nekonečno. Každý úsudok, každá veta nesie v sebe skutočnú nekonečnosť, a to je celá sila logického myslenia, ako zdôraznil Sokrates. Uveďme si konkrétnejšie príklady. Napríklad, keď sa otočíme do priestoru, môžeme tvrdiť, že všetky body vnútri nejakého uzavretého povrchu tvoria skutočne nekonečnú množinu. V skutočnosti je každý z nich úplne definovaný, čo znamená, že všetky sú tiež úplne definované; ale ich počet presahuje ktorékoľvek z čísel v rade: 1, 2, 3... n,... a viac ako každé z týchto čísel. V rovnakom zmysle môžeme povedať, že Božia moc je aktuálna a nekonečná, pretože, keďže je určená (v Bohu nedochádza k žiadnej zmene), je zároveň väčšia ako akákoľvek obmedzená moc. 831 Autor knihy „O nebeskej hierarchii“, knihy pripisovanej sv. Dionýziovi Areopagitovi. "A to je podľa mňa hodné dôkladného zamyslenia," hovorí, "to, čo hovorí Písmo o anjeloch, to znamená, že sú ich tisíce a desiatky z nich, keď ich počet znásobíme sami, máme to najvyššie. Tým sa jasne ukazuje, že druhov nebeských bytostí je pre nás nespočetné množstvo; pretože požehnaná armáda prémiových myslí je nespočetná, počet ich precízne prevyšuje a prevyšuje ich počet. samotné porozumenie“ 832. V tu uvažovanom koncepte skutočného nekonečna nie je ťažké rozpoznať to, čo starovekí poznali pod názvom ἀφωρισμένον, medzi scholastikmi – pod názvom kategorematice infinitum, medzi novými filozofmi – pozitívne, vlastné nekonečno. Ako hovorí Goethe, 833 „toto je uzavreté nekonečno, vhodnejšie pre človeka ako hviezdna obloha“, a to druhé sa, samozrejme, chápe práve ako určitá možnosť rútiť sa ďalej a ďalej, pričom nikdy nedokáže vytvoriť syntézu a usadiť sa v celku. Tu stojíme pred novou úvahou. Aby bolo možné potenciálne nekonečno, musí byť možná nekonečná zmena. Ale koniec koncov, pre ten druhý je potrebný „región“ zmeny, ktorý sa sám nemôže zmeniť, pretože inak by bolo potrebné vyžadovať región zmeny pre región atď. Ten však nie je konečný, a preto ho treba uznať za skutočne nekonečný. V dôsledku toho každé potenciálne nekonečno už predpokladá existenciu skutočného nekonečna ako jeho superkonečnej limity 834; každý nekonečný pokrok už predpokladá existenciu nekonečného cieľa pokroku; každé nekonečné zlepšenie si vyžaduje uznanie nekonečnej dokonalosti. Kto v akomkoľvek ohľade popiera aktuálne-nekonečno, tým popiera v rovnakom ohľade aj potenciálnu nekonečnosť a pozitivizmus v sebe nesie prvky vlastného rozkladu – takpovediac pri pozitivizme dochádza k sebaotrave produktmi vlastnej činnosti. Na základe definície skutočného nekonečna odhalenej vyššie môžeme konštatovať, že takéto nekonečno je možné si predstaviť v dvoch modifikáciách. Po prvé, keďže je väčšie ako akékoľvek konečné kvantum, samo sa môže ukázať, že nemá iné kvantum, tiež nekonečné, ktoré by bolo väčšie ako ono; inými slovami, tu sa ukazuje, že nie je schopné byť menej ako čokoľvek iné. Toto je skutočné nekonečno, neschopné zväčšenia, absolútne maximum; všeobecne aj v Cantore sa nazýva Absolutum. Po druhé, a tí, ktorí hovorili o nekonečne si to nevšimli, z definície skutočného nekonečna vyplýva možnosť jeho druhej modifikácie. Skutočné nekonečno môže mať nad sebou iné kvantá, väčšie ako je ono samo; potom sa bude môcť zvyšovať, bude sa zvyšovať o skutočné nekonečno. Aby sa raz a navždy predišlo zámene slov a dĺžok, Kantor mu dáva názov superkončatina, Ueberendlichkeit. Od týchto formálnych úvah prejdime k skutočným. So skutočným nekonečnom sa stretávame, alebo aspoň môžeme dúfať, že sa s ním stretneme, v troch rôznych oblastiach. Po prvé, keďže toto skutočné-nekonečno sa realizuje v najvyššej dokonalosti, v úplne samostatnej, mimosvetskej bytosti, jedným slovom - in Deo sive natura naturante, a Cantor chápe posledný výraz nie v zmysle panteizmu, ale v pôvodnom zmysle, ktorý mu dal Tomáš Akvinský a iní teológovia. Tu je nekonečno absolútnym maximom a je to, čo sa predtým nazývalo Absolútne alebo absolútne nekonečno. Po druhé, skutočné-nekonečné možno predpokladať in concreto, v závislom svete, vo stvorení, in natura naturata. Tu to Cantor nazýva Transfinitum. Napokon, po tretie, aktuálne-nekonečno môže byť in abstracto v duchu, keďže má schopnosť spoznať Transfinitum v prírode a do určitej miery aj Absolútno v Bohu. V tomto druhom prípade sa nekonečno nazýva symboly nekonečna. Najmä, ak hovoríme konkrétne o znalostiach Transfinitum, tieto symboly sa nazývajú transfinitné čísla a transfinitné typy. Posledné dva typy nekonečna sú rozšíriteľné nekonečno. 835 Kompletná bibliografia o vedcoch. oh nekonečno nedostupné, niektoré sú uvedené v: Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 („Bibliotheca mathematica“, 3 1, 1900, s. 160), kde je vymenovaných 70 článkov a kníh; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Paríž, 1896, s. 657–660; – „Encyclopädie d. Math. Wissensch.“, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1, SS. 184 a násl. – Okrem početných diel zakladateľa modernej doby. uch. o čine. nekonečný G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - články v „Math. An.“ Bdd. 46, 49; najdôležitejšie články z iných časopisov zozbierané v „Acta Math.“, 1883, 24), ďalej. konkrétne meno: Killing, – Ueber transfiniten Zahlen („Math. An.“, Bd. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – Lindelöf („Comptes Rendus“, 1903(2), 37); – Evellin, – Infini et Qpantité. Etude sur le concept de l'infini en philos. et dans les sciences, Paríž. 1880; – Ger. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den „Abhandl. der Fries’schen Schule“, Bd. 1, Hft. 4). – Jeho, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann („Math. An.“, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – Art. Schoenflies , – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten („Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung“, Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Couturat (pozri vyššie). – Borel,. – Ha pyc. jazyk: I. [I.] Zhegalkin, - Transfinite čísla, M., 1907. - H. Weber a S. Wellstein, - Encyklopédia elementárnych. matematika, prekl. s ním. úprava V. Kogan, vyd. „Mathesis“, T. 1, Odessa, 1907. – A. Puankare, – Veda a metóda. – A. B. Vasiliev, – Úvod. v analýze, zv. II., vyd. N. N. Iovleva, Kazaň, 1908. – Flor.. – „Nové. nápady v matematike,“ So. č. 1, ed. “Obraz.”, Petrohrad, 1913. – Bolzano. Schelling, - Bruno (ruský preklad, vyd. spolu s „Fil. štúdiou o podstate ľudu sv.“). H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, s. 20 s. je tam p.p. – Podobne J. Tannry tvrdí, že „pojem celého čísla už obsahuje pojem nekonečna“ (J. Tannry, - Pure Mathematics. „Method in the Sciences“, preložené z 2. francúzskeho vydania I. S. Yushkevich a I. K. Brusilovsky, vydavateľ „Education“, St. Petersburg, s. 351). Dion. Areop. , – Ó nebeský. Hier. 14 (Rus. s. 1898, s. 52). Con. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen („Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.“, Bd. 88, 1886. S. 215). Táto exkurzia – skr. oddelenie od "O symbole. nekonečné." . - Okrem toho vyhláška. práce o histórii Mon. oh nekonečný Indikácia: Garbiareň, – Hist. du concept de l'infini au IV siècle („Rev. philos.“, XIV, 618).