Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

In motu quiesco. Liniște pe vreme rea. Infinitul, infinitul se aude foarte des în conversația obișnuită; dar nu trebuie decât să ceri o explicație a acestor cuvinte pentru a fi întâmpinați cu o privire perplexă. Cu toate acestea, dacă în publicul larg există doar neînțelegeri, atunci în rândul persoanelor angajate în munca mentală, există adesea o perversiune în înțelegere și chiar o confuzie completă în acest sens. Mințile foarte puternice și subtile nu erau adesea lipsite de ambiguități și omisiuni în problema conceptului de infinit. Lipsa spațiului, din păcate, nu ne permite să dăm o serie de exemple instructive, dar cititorul își va da seama singur din prezentarea ulterioară la care ar putea fi referit aici. Cu toate acestea, dificultățile depind doar parțial și chiar într-o parte foarte nesemnificativă de abstractitatea întrebării; motivul principal aici este gândirea părtinitoare, reticența sau incapacitatea de a privi direct obiectul cercetării. Începe să studieze cu încredere că este deja cunoscut; iar cunoașterea imaginară, în cuvintele lui Cantor, „horror infiniti” care domnește în societate, se face simțită. Principalele greșeli care se fac destul de des în raționamentul despre infinit apar ca urmare a neglijării distincției de bază și complet elementare dintre infinitul actual și cel potențial. Prin urmare, va trebui să mă opresc asupra acestei diviziuni mai detaliat decât mi-aș dori. Deocamdată, însă, va fi dată o definiție preliminară a infinitului; Nu vom construi pe el, deoarece nu se bazează pe concepte destul de simple, deși în sine este adevărat. Fiecare cuantă, sau, după cum N.I. Lobachevsky sugerează că fiecare „colică”, prin însăși definiția ei, poate fi dublă. Poate fi dat și neschimbat și ferm stabilit, complet definit, iar atunci va reprezenta ceea ce se numește permanent sau constant. De asemenea, poate să nu fie specific, se poate schimba, devenind mai mare sau mai mic. În acest ultim caz, cuantica se numește variabilă. Deci, infinitul real este un caz special de constantă și potențial - o variabilă „colică”, iar aceasta este cea mai profundă diferență fundamentală a lor - dacă doriți, opusul lor esențial. Să explicăm acest lucru mai detaliat. Să avem o variabilă și să se schimbe nu într-un fel, ci într-un anumit fel, astfel încât să devină mai mult decât orice „colică” constantă de același fel, sau mai puțin. În fiecare stare această variabilă este finită; dar, după înțelegerea noastră, totalitatea acestor stări diferă de totalitatea oricăror stări alese arbitrar. În acest sens, spunem că cuantumul nostru este potențial infinit, potențial – datorită faptului că poate deveni mai mult decât orice alt cuantic. Astfel, infinitul potențial nu denotă nici un cuantic luat în sine, ci doar un mod special de a considera cuantul, și anume, în legătură cu natura schimbării sale speciale. Infinitul potențial, potrivit lui Cantor, nu este o idee, ci doar un concept auxiliar; este ens rationis, conform expresiei fericite a lui Stöckl. Într-un cuvânt, infinitul potențial este ceea ce anticii numeau ἄπειρον, scolasticii - syncategorematice infinitum sau indefinitum, noii filozofi - răi sau, mai exact, infinitul simplu, schlechte Unendlichkeit. Deci, acest infinit potențial fără sfârșit este o mărime variabilă finită, cuantică, care crește peste toate limitele sau, dimpotrivă, scade sub orice limită finită. Așa sunt, de exemplu, diferențiale, deja caracterizate de Leibniz, tocmai pentru această proprietate, ca pure ficțiuni. Având în vedere acest lucru, este clar că a vorbi despre un infinit potențial complet, ceea ce, potrivit lui Cantor, a făcut Fontenelle, este o contradictio in terminis. Să luăm acum în considerare un alt fel de infinit - infinitul real. În acest scop, revenim la punctul nostru de plecare, la conceptul de cuantum, și anume, de cuantum de constantă, și vom îmbogăți conținutul acestui concept de constantă cu o nouă caracteristică. O constantă poate fi astfel încât să se afle într-o serie de alte constante de același fel, adică mai mult decât unele constante finite și mai puțin decât altele. Atunci ea însăși va fi finită. Dar se poate întâmpla ca ea să nu stea printre alte constante, pentru că este mai mare decât orice constantă finită, oricât de mare am lua-o. Atunci vom spune că cuantumul nostru este infinitul actual, infinitul în actu, actualiter și nu numai în potență. Așa, de exemplu, în dialogul „Bruno” Schelling 830 dezvăluie strălucit că fiecare concept este infinit, deoarece reunește un set de reprezentări care nu este finit; dar întrucât sfera conceptului, în esență, este complet definită și dată, atunci această infinitate nu poate fi altceva decât infinitatea actuală. Fiecare judecată, fiecare teoremă poartă în sine infinitate actuală și aceasta este întreaga putere a gândirii logice, așa cum a subliniat Socrate. Să luăm exemple mai precise. De exemplu, referindu-ne la spațiu, putem afirma că toate punctele din interiorul unei suprafețe închise formează o mulțime real-infinită. De fapt, fiecare dintre ele este complet definit, ceea ce înseamnă că toate sunt, de asemenea, complet definite; dar, totuși, numărul lor depășește oricare dintre numerele din serie: 1, 2, 3... n,... și mai mult decât fiecare dintre aceste numere. În același sens, putem spune că puterea lui Dumnezeu este actuală și infinită, deoarece ea, fiind determinată (nu există schimbare la Dumnezeu), este în același timp mai mare decât orice putere finită. 831 Autorul cărții „Despre ierarhia cerească”, carte atribuită Sfântului Dionisie Areopagitul. "Și asta, după părerea mea", spune el, "este demn de o reflecție atentă, ceea ce spune Scriptura despre Îngeri, adică că sunt mii și zeci de ei, înmulțind numerele cu ele însele, avem cele mai mari. Prin aceasta arată limpede că tipurile de ființe cerești sunt nenumărate pentru noi; pentru că nenumăratele minți depășesc și nenumăratele prime. numărarea insuficientă a numerelor pe care le folosim și este determinată tocmai de înțelegerea lor superioară” 832. În conceptul de infinit actual considerat aici, nu este greu să recunoaștem ceea ce știau vechii sub denumirea de ἀφωρισμένον, printre scolastici - sub denumirea de kategorematice infinitum, printre noii filozofi - infinit pozitiv, propriu-zis. După cum spune Goethe, 833 „aceasta este o infinitate închisă, mai potrivită omului decât cerul înstelat”, iar acesta din urmă, desigur, este înțeles tocmai ca o anumită posibilitate de a se grăbi din ce în ce mai departe, neputând niciodată să producă o sinteză și să se așeze pe ansamblu. Aici ne confruntăm cu o nouă considerație. Pentru ca infinitul potențial să fie posibil, schimbarea infinită trebuie să fie posibilă. Dar, la urma urmei, pentru acestea din urmă, este necesară o „regiune” de schimbare, care ea însăși nu se poate schimba, deoarece altfel ar fi necesar să se ceară o regiune de schimbare pentru regiune etc. Ea, însă, nu este finită și, prin urmare, trebuie recunoscută ca de fapt infinită. În consecință, orice infinitate potențială presupune deja existența infinitului actual ca limită super-finită 834; orice progres infinit presupune deja existența unui scop infinit al progresului; fiecare îmbunătățire infinită necesită recunoașterea perfecțiunii infinite. Cel care neagă actualul-infinitul în orice privință neagă prin aceasta infinitul potențial în același sens, iar pozitivismul poartă în sine elemente ale propriei sale descompunere - ca să spunem așa, cu pozitivismul, autootrăvirea are loc cu produsele propriei sale activități. Pe baza definiției infinitului real revelată mai sus, putem concluziona că un astfel de infinit poate fi conceput în două modificări. În primul rând, fiind mai mare decât orice cuantă finită, ea însăși se poate dovedi a nu avea o altă cuantă, de asemenea infinită, care ar fi mai mare decât ea; cu alte cuvinte, aici se dovedește a fi incapabil să fie mai puțin decât orice altceva. Acesta este infinitul actual, incapabil să crească, maximul absolut; atat in general cat si in Cantor se numeste Absolutum. În al doilea rând, și cei care au vorbit despre infinit nu au observat acest lucru, din definiția infinitului actual rezultă posibilitatea celei de-a doua modificări a acestuia. Infinitul actual, mai exact, poate avea deasupra sa alte cuante, mai mari decât el însuși; atunci va fi capabil să crească, va crește cu infinitul real. Pentru a evita o dată pentru totdeauna confuzia de cuvinte și lungimi, Kantor îi dă numele de super-membru, Ueberendlichkeit. De la aceste considerații formale să trecem la cele reale. Întâlnim infinitul real, sau cel puțin putem spera să-l întâlnim, în trei zone diferite. În primul rând, întrucât acest actual-infinit se realizează în cea mai înaltă perfecțiune, într-o ființă complet independentă, extra-lumească, într-un cuvânt – în Deo sive natura naturante, iar Cantor înțelege ultima expresie nu în sensul de panteism, ci în sensul originar pe care i-au dat-o Toma d’Aquino și alți teologi. Aici infinitul este maximul absolut și este ceea ce se numea anterior Absolutum sau infinitul absolut. În al doilea rând, actualul-infinitul poate fi presupus in concreto, în lumea dependentă, în creatură, in natura naturata. Aici Cantor îl numește Transfinitum. În sfârșit, în al treilea rând, actualul-infinitul poate fi in abstracto în spirit, deoarece are capacitatea de a cunoaște Transfinitumul în natură și, într-o anumită măsură, Absolutul în Dumnezeu. În acest din urmă caz, infinitul este numit simboluri infinit. În special, dacă vorbim în mod specific despre cunoașterea Transfinitum, aceste simboluri se numesc numere transfinite și tipuri transfinite. Ultimele două tipuri de infinit sunt infinitate augmentabile. 835 H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, p. 20 s. există p.p. – În mod similar, J. Tannry afirmă că „conceptul de număr întreg conține deja conceptul de infinit” (J. Tannry, - Pure Mathematics. „Method in the Sciences”, tradus din a doua ediție franceză de I. S. Yushkevich și I. K. Brusilovsky, editorul „Education”, St. Petersburg)., p. 13 15. Dion. Areop. , – O, cerească. Hier. 14 (Rus. p. 1898, p. 52). Con. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen („Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.”, Bd. 88, 1886. S. 215). Această excursie – abr. separare de „Despre simbol. fără sfârșit”. . - În plus decret. lucrări de istorie Lun. oh nesfârșit Indicație: Tăbăcărie, – Hist. du concept de l'infini au IV siècle („Rev. philos.”, XIV, 618).