Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

W motu quiesco. Cicho przy złej pogodzie. Nieskończoność, nieskończoność słychać bardzo często w zwykłej rozmowie; ale wystarczy poprosić o wyjaśnienie tych słów, aby spotkać się z zakłopotanym spojrzeniem. Jeśli jednak w społeczeństwie panuje tylko nieporozumienie, to wśród osób zajmujących się pracą umysłową często dochodzi do wypaczenia zrozumienia, a nawet całkowitego zamieszania w tym zakresie. Umysły bardzo mocne i subtelne często nie były wolne od dwuznaczności i przeoczeń w kwestii pojęcia nieskończoności. Brak miejsca nie pozwala niestety na podanie szeregu pouczających przykładów, ale czytelnik sam z dalszej prezentacji dowie się, do kogo można się tutaj odwołać. Jednakże trudności zależą tylko częściowo i nawet w bardzo niewielkim stopniu od abstrakcyjności zagadnienia; Główną przyczyną jest tutaj stronnicze myślenie, niechęć lub niemożność bezpośredniego spojrzenia na przedmiot badań. Rozpoczyna naukę z przekonaniem, że jest to już znane; i wyimaginowana wiedza, według słów Cantora, daje się odczuć „horror infiniti”, który panuje w społeczeństwie. Główne błędy, jakie często popełniamy w rozumowaniu o nieskończoności, wynikają z zaniedbania podstawowego i zupełnie elementarnego rozróżnienia na nieskończoność aktualną i potencjalną. Dlatego będę musiał rozwodzić się nad tym podziałem bardziej szczegółowo, niż bym chciał. Na razie jednak podana zostanie wstępna definicja nieskończoności; Nie będziemy się na tym opierać, ponieważ nie opiera się ona na dość prostych koncepcjach, choć sama w sobie jest prawdą. Każdy kwant lub, jak twierdzi N.I. Łobaczewski sugeruje stwierdzenie, że każda „kolka” z samej definicji może mieć dwojaki charakter. Może być dane i niezmiennie i mocno ustalone, całkowicie określone, a wtedy będzie reprezentować to, co nazywa się trwałym lub stałym. Może też nie być konkretny, może się zmieniać, stawać się większy lub mniejszy. W tym ostatnim przypadku kwant nazywany jest zmienną. Zatem rzeczywista nieskończoność jest szczególnym przypadkiem stałej i potencjału - zmiennej „kolki” i to jest ich najgłębsza podstawowa różnica - jeśli wolisz, ich zasadnicze przeciwieństwo. Wyjaśnijmy to bardziej szczegółowo. Miejmy zmienną i niech się ona nie zmienia w jakiś sposób, ale w określony sposób, tak aby stała się czymś więcej niż jakąkolwiek stałą „kolką” tego samego lub mniejszego rodzaju. W każdym stanie zmienna ta jest skończona; ale w naszym rozumieniu całość tych stanów różni się od całości dowolnych arbitralnie wybranych stanów. W tym sensie mówimy, że nasz kwant jest potencjalną nieskończonością, potencjałem - z tego powodu, że może stać się czymś więcej niż jakikolwiek inny kwant. Zatem nieskończoność potencjalna nie oznacza żadnego kwantu wziętego w sobie, lecz jedynie szczególny sposób rozpatrywania kwantu, a mianowicie w związku z naturą jego szczególnej zmiany. Potencjalna nieskończoność, zdaniem Cantora, nie jest ideą, a jedynie pojęciem pomocniczym; jest to ensrationis, według radosnego wyrażenia Stöckla. Jednym słowem, nieskończoność potencjalna jest tym, co starożytni nazywali ἄπειρον, scholastycy – syncategorematice infinitum lub indefinitum, nowi filozofowie – złą, a ściślej prostą nieskończonością, schlechte Unendlichkeit. Niestety niezliczona ilość, legion, autorytetów wszystkich specjalności zbyt mocno uchwyciła się tej prostej prawdy i zapominając o słowie potencjał, zaczęła różnymi głosami deklarować, że „pełna nieskończoność” jest czymś absurdalnym. Stąd pochodzi stary aforyzm: „Numerus infinitus repugnat”, stąd wypowiedź Tongiorgi: „Multitudo actu infinita repugnat” i inne podobne. To pozornie zupełnie niewinne pominięcie spowodowało niejeden rażący błąd, a notabene na nim opierają się pierwsze „antynomie czystego rozumu” Kanta. Jak zobaczymy, na tym samym zaniedbaniu opierają się tak zwane argumenty przeciwko całkowitej nieskończoności i wiele rozważań pozytywizmu. Rozważmy teraz inny rodzaj nieskończoności - nieskończoność rzeczywistą. W tym celu wracamy do punktu wyjścia, do pojęcia kwantu, czyli kwantu stałej, i wzbogacimy treść tego pojęcia stałej o nową cechę. Pewna stała może być taka, że ​​występuje w szeregu innych stałych tego samego rodzaju, to znaczy więcej niż niektóre stałe skończone i mniej niż inne. Wtedy ona sama będzie skończona. Może się jednak zdarzyć, że nie wyróżnia się ona wśród innych stałych, ponieważ jest większa od dowolnej stałej skończonej, niezależnie od tego, jak wielką ją przyjmiemy. Powiemy wtedy, że nasz kwant jest rzeczywistą nieskończonością, nieskończonością in actu, factiter, a nie tylko in potentia. I tak na przykład w dialogu „Bruno” Schelling 830 znakomicie ujawnia, że ​​każde pojęcie jest nieskończonością, ponieważ łączy w sobie zbiór reprezentacji, który nie jest skończony; skoro jednak zakres pojęcia jest w istocie całkowicie określony i dany, to nieskończoność ta nie może być niczym innym jak nieskończonością rzeczywistą. Każdy sąd, każde twierdzenie niesie w sobie rzeczywistą nieskończoność i na tym polega cała siła logicznego myślenia, jak zauważył Sokrates. Weźmy bardziej konkretne przykłady. Na przykład, zwracając się do przestrzeni, możemy stwierdzić, że wszystkie punkty wewnątrz jakiejś zamkniętej powierzchni tworzą zbiór rzeczywisty-nieskończony. W rzeczywistości każdy z nich jest całkowicie zdefiniowany, co oznacza, że ​​​​wszystkie są również całkowicie zdefiniowane; ale jednak ich liczba przekracza którąkolwiek z liczb w szeregu: 1, 2, 3... n,... i więcej niż każdą z tych liczb. W tym samym sensie możemy powiedzieć, że moc Boga jest rzeczywista i nieskończona, ponieważ będąc zdeterminowana (w Bogu nie ma zmiany), jest jednocześnie większa od jakiejkolwiek skończonej mocy. 831 W rozpatrywanej tu koncepcji nieskończoności aktualnej nietrudno rozpoznać to, co starożytni znali pod nazwą ἀφωρισμένον, wśród scholastyków – pod nazwą kategorematice infinitum, wśród nowych filozofów – nieskończoność pozytywną, właściwą. Jak ujmuje to Goethe, 833 „jest to zamknięta nieskończoność, bardziej odpowiednia człowiekowi niż gwiaździste niebo”, a to drugie oczywiście jest rozumiane właśnie jako pewna możliwość pędzenia coraz dalej i dalej, nigdy nie będąc w stanie dokonać syntezy i ułożyć się w całość. Tutaj mamy do czynienia z nową kwestią. Aby potencjalna nieskończoność była możliwa, musi być możliwa nieskończona zmiana. Ale przecież dla tego ostatniego konieczny jest „obszar” zmiany, który sam nie może się zmienić, bo w przeciwnym razie trzeba by wymagać obszaru zmiany dla regionu itp. Nie jest on jednak skończony i dlatego należy go uznać za faktycznie nieskończony. W konsekwencji każda potencjalna nieskończoność zakłada już istnienie rzeczywistej nieskończoności jako jej nadskończonej granicy 834; każdy nieskończony postęp zakłada już istnienie nieskończonego celu postępu; każde nieskończone ulepszenie wymaga uznania nieskończonej doskonałości. Kto pod jakimkolwiek względem zaprzecza aktualnej nieskończoności, tym samym zaprzecza w tym samym zakresie potencjalnej nieskończoności, a pozytywizm niesie w sobie elementy własnego rozkładu – że tak powiem, u pozytywizmu dochodzi do samozatrucia produktami własnej działalności. Na podstawie przedstawionej powyżej definicji nieskończoności rzeczywistej możemy stwierdzić, że nieskończoność taka może być wyobrażalna w dwóch modyfikacjach. Po pierwsze, będąc większym od jakiegokolwiek skończonego kwantu, może się okazać, że nie ma innego kwantu, również nieskończonego, który byłby od niego większy; innymi słowy, tutaj okazuje się, że nie może być mniej niż cokolwiek innego. To jest rzeczywista nieskończoność, niemożliwa do zwiększenia, absolutne maksimum; zarówno w ogóle, jak i u Cantora, nazywa się to Absolutum. Po drugie, a ci, którzy mówili o nieskończoności, tego nie zauważyli, z definicji rzeczywistej nieskończoności wynika możliwość jej drugiej modyfikacji. Rzeczywista nieskończoność może mieć nad sobą inne kwanty, większe od niej samej; wtedy będzie mógł rosnąć, będzie wzrastał w rzeczywistej nieskończoności. Aby raz na zawsze uniknąć pomieszania słów i długości, Kantor nadaje mu nazwę superkończyny, Ueberendlichkeit. Od tych formalnych rozważań przejdźmy do realnych. Rzeczywistą nieskończoność spotykamy, a przynajmniej możemy mieć nadzieję, że ją spotkamy, w trzech różnych obszarach. Po pierwsze, gdyż owa aktualna-nieskończoność realizuje się w najwyższej doskonałości, w całkowicie niezależnej, pozaziemskiej istocie, jednym słowem – w Deo sive natura naturante, a Cantor rozumie to ostatnie wyrażenie nie w sensie panteizmu, ale w pierwotnym sensie, jaki nadał mu Tomasz z Akwinu i inni teologowie. Tutaj nieskończoność jest absolutnym maksimum i jest tym, co wcześniej nazywano Absolutem lub absolutną nieskończonością. Po drugie, aktualne-nieskończone można założyć in concreto, w świecie zależnym, w stworzeniu, in natura naturata. Tutaj Cantor nazywa to Transfinitum. Wreszcie, po trzecie, aktualne-nieskończone może być w duchu in abstrakcja, gdyż ma zdolność poznawania Transfinitum w przyrodzie i do pewnego stopnia Absolutu w Bogu. W tym drugim przypadku nieskończoność nazywana jest symbolami nieskończoności. W szczególności, jeśli mówimy konkretnie o wiedzy Transfinitum, symbole te nazywane są liczbami pozaskończonymi i typami pozaskończonymi. Dwa ostatnie typy nieskończoności to nieskończoności powiększalne. 835 Pełna bibliografia dotycząca naukowców. och, nieskończone niedostępne, niektóre są wskazane w: Vivanti, - Lista bibliografii della teoria degli aggregati 1893–1899 („Bibliotheca mathematica”, 3 1, 1900, s. 160), gdzie wymieniono 70 artykułów i książek; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Paryż, 1896, s. 657–660; – „Encyclopädie d. Math. Wissensch.”, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1 , SS. 184 i nast. – Oprócz licznych dzieł założyciela czasów nowożytnych. uch. o akcie. bez końca G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - artykuły w „Math. An.” Bdd. 46, 49; najważniejsze artykuły z innych czasopism zebranych w „Acta Math.”, 1883, 24), dalej. wymienić w szczególności: Zabijanie, – Ueber transfiniten Zahlen („Math. An.”, Bd. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – Lindelöf („Comptes Rendus”, 1903(2), 37); – Evellin, – Infini et Qpantité. Etude sur le concept de l'infini en philos. et dans les sciences, Paryż. 1880; – Ger. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Getynga, 1906 (Sonderabdr. aus den „Abhandl. der Fries’schen Schule”, Bd. 1, Hft. 4). – Jego, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann („Math. An.”, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – Art. Schoenflies, – Die Entwickelung zm. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten („Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung”, Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Couturat (patrz wyżej). – Borel. – Ha fot. język: I. [I.] Zhegalkin, - Liczby pozaskończone, M., 1907. - H. Weber i S. Wellstein, - Encyklopedia elementarna. matematyka, przeł. z nim. pod red. V. Kogana, wyd. „Mathesis”, T. 1, Odessa, 1907. – A. Puankare, – Nauka i metoda. – A. B. Wasiliew, – Wstęp. w analizie, tom. II., wyd. N. N. Iovleva, Kazań, 1908. – Flor.. – „Nowe idee w matematyce”, sob. nr 1, wyd. „Obraz.”, Petersburg, 1913. – Bolzano. Schelling, - Bruno (tłumaczenie na język rosyjski, wyd. wraz z „Studium Filozoficzne o istocie ludu św.”). H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, s. 20 s. jest p.p. – Podobnie J. Tannry twierdzi, że „pojęcie liczby całkowitej zawiera już pojęcie nieskończoności” (J. Tannry, – Czysta matematyka. „Metoda w naukach”, przekład z drugiego wydania francuskiego I. S. Juszkiewicza i I. K. Brusiłowskiego, wyd. „Edukacja”, St. Petersburg, 1911, s. 35). Dion. Areop. , – O boże. Hier. 14 (Rus. s. 1898, s. 52). Kon. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen („Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.”, Bd. 88, 1886. S. 215). Ta wycieczka – skr. oddzielenie od „O symbolu. Nieskończone”. . - Dodatkowo dekret. zajęcia z historii pon. o niekończące się Wskazanie: Garbarnia, – Hist. du concept de l'infini au IV siècle („Rev. Philos.”, XIV, 618).