Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

In motu quiesco. Тивко на лошо време. Бесконечно, бесконечност се слуша многу често во обичен разговор; но треба само да се побара објаснување за овие зборови за да се сретне со збунет поглед. Меѓутоа, ако во пошироката јавност има само недоразбирање, тогаш меѓу луѓето кои се занимаваат со ментална работа, често постои изопаченост во разбирањето, па дури и целосна конфузија на оваа оценка. Многу силни и суптилни умови честопати не беа ослободени од нејаснотии и пропусти по прашањето на концептот на бесконечноста. Недостатокот на простор, за жал, не ни дозволува да дадеме голем број поучни примери, но читателот сам ќе сфати од понатамошната презентација на кого би можело да се повика овде. Меѓутоа, тешкотиите зависат само делумно, па дури и во многу незначителен дел од апстрактноста на прашањето; Главната причина овде е пристрасното размислување, неподготвеноста или неможноста директно да се погледне предметот на истражување. Почнува да учи со сигурност дека е веќе познато; и имагинарното знаење, според зборовите на Кантор, „ужасната бесконечност“ што владее во општеството, се чувствува себеси. Главните грешки кои се прават доста често во расудувањето за бесконечното се јавуваат како резултат на занемарување на основната и целосно елементарна разлика помеѓу фактичката и потенцијалната бесконечност. Затоа, ќе треба да се задржам на оваа поделба подетално отколку што би сакал. Засега, сепак, ќе биде дадена прелиминарна дефиниција за бесконечноста; Ние нема да се базираме на тоа, бидејќи не се потпира на прилично едноставни концепти, иако само по себе е точно. Секој квант, или, како што Н.И. Лобачевски предлага да се каже, секоја „колика“, по својата дефиниција, може да биде двојна. Таа може да биде дадена и непроменливо и цврсто воспоставена, сосема определена, а потоа ќе го претставува она што се нарекува трајно или константно. Исто така, може да не е специфичен, може да се промени, да стане поголем или помал. Во последниот случај, квантумот се нарекува променлива. Значи, вистинската бесконечност е посебен случај на константа, а потенцијалот - променлива „колика“, и ова е нивната најдлабока фундаментална разлика - ако сакате, нивната суштинска спротивност. Да го објасниме ова подетално. Нека имаме променлива и нека се промени не на некој начин, туку на одреден начин, така што ќе стане повеќе од која било постојана „колика“ од ист вид, или помалку. Во секоја состојба оваа променлива е конечна; но според нашето разбирање, севкупноста на овие состојби се разликува од севкупноста на која било произволно избрана состојба. Во оваа смисла, велиме дека нашиот квант е потенцијален бесконечност, потенцијал - поради фактот што може да стане повеќе од кој било друг квант. Така, потенцијалната бесконечност не означува никаков квант земен во себе, туку само посебен начин на разгледување на квантот, имено, во врска со природата на неговата посебна промена. Потенцијалната бесконечност, според Кантор, не е идеја, туку само помошен концепт; тоа е ens rationis, според среќниот израз на Штокл. Со еден збор, потенцијалната бесконечност е она што древните го нарекувале ἄπειρον, схоластиците - syncategorematice infinitum или indefinitum, новите филозофи - лоша или, поточно, едноставна бесконечност, schlechte Unendlichkeit. За жал, безброј, легија, авторитети од сите специјалитети премногу цврсто ја сфатија оваа едноставна вистина и, заборавајќи на зборот потенцијал, почнаа со различни гласови да изјавуваат дека „целосната бесконечност“ е нешто апсурдно. Оттука доаѓа стариот афоризам: „Numerus infinitus repugnat“, па оттука и изјавата на Тонгиорги: „Multitudo actu infinita repugnat“ и други слични. Овој очигледно сосема невин пропуст доведе до повеќе од една груба грешка и, патем, на него се засноваат првите Кантови „антиномии на чистиот разум“. Таканаречените аргументи против целосната бесконечност и многу размислувања за позитивизмот се засноваат на истиот пропуст, како што ќе видиме. Сега да разгледаме друг вид на бесконечност - вистинската бесконечност. За таа цел, се враќаме на нашата појдовна точка, на концептот на квантум, имено, на квант на константа и ќе ја збогатиме содржината на овој концепт на константа со нова карактеристика. Некоја константа може да биде таква што стои во низа други константи од ист вид, односно повеќе од некои конечни константи и помалку од другите. Тогаш таа самата ќе биде конечна. Но, може да се случи да не стои меѓу другите константи, бидејќи е поголема од која било конечна константа, без разлика колку голема ја земаме. Тогаш ќе кажеме дека нашиот квант е актуелна бесконечност, бесконечност во акту, актуалитер, а не само во потенција. Така, на пример, во дијалогот „Бруно“ Шелинг 830 брилијантно открива дека секој концепт е бесконечност, бидејќи обединува збир на претстави кои не се конечни; но бидејќи опсегот на концептот, во суштина, е целосно дефиниран и даден, тогаш оваа бесконечност не може да биде ништо друго освен фактичка бесконечност. Секој суд, секоја теорема во себе носи актуелна бесконечност, а тоа е целата моќ на логичното размислување, како што истакна Сократ. Да земеме поконкретни примери. На пример, свртувајќи се кон просторот, можеме да тврдиме дека сите точки во некоја затворена површина формираат вистинско-бесконечно множество. Всушност, секој од нив е целосно дефиниран, што значи дека сите се исто така целосно дефинирани; но, сепак, нивниот број надминува кој било од броевите во серијата: 1, 2, 3... n,... и повеќе од секој од овие броеви. Во истата смисла, можеме да кажеме дека моќта Божја е актуелна и бесконечна, бидејќи таа, со оглед на тоа што се определува (во Бога нема промена), истовремено е поголема од која било конечна сила. 831 Авторот на книгата „За небесната хиерархија“, книга која му се припишува на свети Дионисиј Ареопагит. „И тоа, според мене“, вели тој, „достојно е за внимателно размислување, она што го вели Светото писмо за ангелите, односно дека има илјадници и десетици од нив, множејќи ги бројките сами по себе, го имаме највисокото. Преку ова јасно се покажува дека видовите на небесни суштества се безбројни за нас; затоа што безбројната војска е мала и блажена. недоволно броење на броевите што ги користиме и е точно определено само од нивното супериорно разбирање“ 832. Во концептот на фактичката бесконечност што се разгледува овде, не е тешко да се препознае она што древните го знаеле под името ἀφωρισμένον, кај схоластиците - под името kategorematice infinitum, кај новите филозофи - позитивна, соодветна бесконечност. Како што вели Гете, 833 „ова е затворена бесконечност, посоодветна за човекот отколку ѕвезденото небо“, а ова последново, се разбира, се сфаќа токму како извесна можност за брзање подалеку и подалеку, никогаш не можејќи да произведе синтеза и да се смири во целина. Овде сме соочени со ново размислување. За потенцијалната бесконечност да биде возможна, мора да биде возможна бесконечна промена. Но, на крајот на краиштата, за второто, неопходен е „регион“ на промена, кој сам по себе не може да се промени, бидејќи во спротивно би било неопходно да се бара регион на промена за регионот итн. Тој, сепак, не е конечен и затоа мора да се препознае како всушност бесконечен. Следствено, секоја потенцијална бесконечност веќе претпоставува постоење на актуелна бесконечност како нејзина суперконечна граница 834; секој бесконечен напредок веќе претпоставува постоење на бесконечна цел на напредок; секое бесконечно подобрување бара препознавање на бесконечното совршенство. Оној кој го негира фактичкото-бесконечното во кој било поглед, со тоа ја негира потенцијалната бесконечност во истиот поглед, а позитивизмот носи во себе елементи на сопственото распаѓање - така да се каже, со позитивизмот се случува самотруење со производите на неговата сопствена активност. Врз основа на дефиницијата за вистинска бесконечност откриена погоре, можеме да заклучиме дека таквата бесконечност може да се замисли во две модификации. Прво, бидејќи е поголем од кој било конечен квант, тој самиот може да испадне дека нема друг квантум, исто така бесконечен, кој би бил поголем од него; со други зборови, овде испаѓа дека е неспособна да биде помалку од сè друго. Ова е вистинска бесконечност, неспособна за зголемување, апсолутен максимум; и општо и во Кантор се вика Absolutum. Второ, а оние кои зборуваа за бесконечноста тоа не го забележаа, од дефиницијата на фактичката бесконечност следи можноста за нејзина втора модификација. Актуелната бесконечност, поточно, може да има над неа други кванти, поголеми од себе; тогаш ќе биде способен да се зголемува, ќе се зголемува за вистинска бесконечност. За да се избегне еднаш засекогаш збунетоста на зборовите и должината, Кантор му го дава името на супер-екстремитет, Ueberendlichkeit. Од овие формални размислувања да преминеме на вистинските. Се среќаваме со вистинска бесконечност, или барем можеме да се надеваме дека ќе ја сретнеме, во три различни области. Прво, бидејќи ова фактичко-бесконечно се реализира во највисоко совршенство, во целосно независно, вонсветско битие, со еден збор - во Deo sive natura naturante, и Кантор го разбира последниот израз не во смисла на пантеизам, туку во изворна смисла што ја дале Томас Аквински и другите теолози. Овде бесконечното е апсолутен максимум и е она што претходно се нарекуваше Absolutum или апсолутна бесконечност. Второ, фактичкото-бесконечното може да се претпостави in concreto, во зависниот свет, во суштеството, во natura naturata. Овде Кантор го нарекува Transfinitum. Конечно, трето, фактичкото-бесконечното може да биде in abstracto во духот, бидејќи има способност да го спознае Transfinitum во природата и, до одреден степен, Absolutum во Бога. Во овој последен случај, бесконечноста се нарекува бесконечни симболи. Конкретно, ако зборуваме конкретно за знаењето на Transfinitum, овие симболи се нарекуваат трансфинитни броеви и трансфинитни типови. Последните два типа на бесконечност се зголемени бесконечности. 835 Комплетна библиографија за научниците. о бесконечно недостапно, некои се наведени во: Vivanti, - List bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 („Bibliotheca mathematica“, 3 1, 1900, стр. 160), каде што се именувани 70 статии и книги; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Париз, 1896, стр. 657–660; – „Encyclopädie d. Math. Wissensch.“, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1 , СС. 184 ff. – Покрај бројните дела на основоположникот на модерното време. ах. за делото. бескрајна G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - статии во „Math. An.“ Bdd. 46, 49; најважните статии од други списанија собрани во „Acta Math.“, 1883, 24), следно. име особено: Killing, – Ueber transfiniten Zahlen („Math. An.“, Bd. 48); – Веронезе, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (ид., Bd. 47); – Линделоф („Comptes Rendus“, 1903(2), 37); – Евелин, – Infini et Qpantité. Etude sur le концепт на l'infini en philos. et dans les Sciences, Париз. 1880 година; – Гер. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den „Abhandl. der Fries’schen Schule“, Bd. 1, Hft. 4). – Неговиот, – Das Unendliche во die Mathematik (ид. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann („Math. An.“, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – Арт. Schoenflies, – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten („Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung“, Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Couturat (види погоре). – Борел,. – Ха пиц. јазик: I. [I.] Zhegalkin, - Transfinite броеви, M., 1907. - H. Weber and S. Wellstein, - Encyclopedia of elementary. математика, транс. со него. уредено од В. Коган, ед. „Матезис“, Т. 1, Одеса, 1907. – А. Пуанкаре, – Наука и метод. – А. Б. Василиев, – Вовед. во анализа, кн. II., ед. Н.Н. Јовлева, Казан, 1908. – Флор.. – „Нови идеи во математиката“, саб. Бр. 1, ед. „Слика.“, Санкт Петербург, 1913. – Болцано. Шелинг, - Бруно (руски превод, ред. заедно со „Фил. студија за суштината на луѓето од Св.“).