Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

In motu Quiesco. სიმშვიდე ცუდ ამინდში. უსასრულო, უსასრულობა ჩვეულებრივ საუბარში ძალიან ხშირად ისმის; მაგრამ ამ სიტყვების ახსნა მხოლოდ უნდა მოითხოვოს, რათა დაბნეული მზერით შეხვდეს. თუმცა, თუ ფართო საზოგადოებაში მხოლოდ გაუგებრობაა, მაშინ გონებრივი შრომით დაკავებულ ადამიანებს შორის ხშირად შეიმჩნევა გაგების გაუკუღმართება და ამ კუთხით სრული დაბნეულობაც კი. ძალიან ძლიერი და დახვეწილი გონება ხშირად არ იყო თავისუფალი ბუნდოვანებისა და გამოტოვებებისგან უსასრულობის ცნების საკითხში. სივრცის ნაკლებობა, სამწუხაროდ, არ გვაძლევს საშუალებას მოვიყვანოთ არაერთი სასწავლო მაგალითი, მაგრამ მკითხველი თავად გაერკვია შემდგომი პრეზენტაციიდან, ვისი მოხსენიებაც შეიძლება აქ. თუმცა, სირთულეები მხოლოდ ნაწილობრივ და თუნდაც ძალიან უმნიშვნელო ნაწილშია დამოკიდებული კითხვის აბსტრაქტულობაზე; აქ მთავარი მიზეზი არის მიკერძოებული აზროვნება, უხალისობა ან შეუძლებლობა კვლევის ობიექტს უშუალოდ შეხედოს. იწყებს სწავლას დარწმუნებით, რომ უკვე ცნობილია; და წარმოსახვითი ცოდნა, კანტორის სიტყვებით, „საშინელებათა უსასრულობა“, რომელიც სუფევს საზოგადოებაში, თავს იგრძნობს. ძირითადი შეცდომები, რომლებიც საკმაოდ ხშირად დაშვებულია უსასრულობის შესახებ მსჯელობისას, ჩნდება ფაქტობრივი და პოტენციური უსასრულობის ძირითადი და სრულიად ელემენტარული განსხვავების უგულებელყოფის შედეგად. ამიტომ ამ დაყოფაზე უფრო დეტალურად მომიწევს შეჩერება, ვიდრე მსურს. თუმცა, ჯერჯერობით, უსასრულობის წინასწარი განმარტება იქნება მოცემული; ჩვენ არ ავაშენებთ მას, რადგან ის არ ეყრდნობა საკმაოდ მარტივ ცნებებს, თუმცა თავისთავად მართალია. ყოველი კვანტი, ან, როგორც ნ.ი. ლობაჩევსკი გვთავაზობს იმის თქმას, რომ ყოველი „კოლიკა“, თავისი განმარტებით, შეიძლება იყოს ორმხრივი. ის შეიძლება იყოს მოცემული და უცვლელად და მყარად ჩამოყალიბებული, სრულიად განსაზღვრული, შემდეგ კი წარმოადგენს იმას, რასაც მუდმივი ან მუდმივი ეწოდება. ის ასევე შეიძლება არ იყოს სპეციფიკური, შეიძლება შეიცვალოს, გახდეს უფრო დიდი ან პატარა. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში კვანტს ცვლადი ეწოდება. ასე რომ, ფაქტობრივი უსასრულობა არის მუდმივის განსაკუთრებული შემთხვევა, ხოლო პოტენციალი - ცვლადი "კოლიკა", და ეს არის მათი ღრმა ფუნდამენტური განსხვავება - თუ გნებავთ, მათი არსებითი საპირისპირო. მოდით ავხსნათ ეს უფრო დეტალურად. მოდით, გვქონდეს ცვლადი და მოდით, ის შეიცვალოს არა რაიმე ფორმით, არამედ გარკვეული გზით, ისე, რომ იგი გახდეს უფრო მეტი, ვიდრე მსგავსი სახის ნებისმიერი მუდმივი „კოლიკა“, ან ნაკლები. თითოეულ მდგომარეობაში ეს ცვლადი სასრულია; მაგრამ ჩვენი გაგებით, ამ სახელმწიფოების მთლიანობა განსხვავდება ნებისმიერი თვითნებურად შერჩეული სახელმწიფოების მთლიანობისგან. ამ თვალსაზრისით, ჩვენ ვამბობთ, რომ ჩვენი კვანტი არის პოტენციური უსასრულობა, პოტენციალი - იმის გამო, რომ ის შეიძლება გახდეს უფრო მეტი, ვიდრე ნებისმიერი სხვა კვანტი. ამრიგად, პოტენციური უსასრულობა არ აღნიშნავს საკუთარ თავში აღებულ კვანტს, არამედ მხოლოდ კვანტის განხილვის განსაკუთრებულ გზას, კერძოდ, მისი განსაკუთრებული ცვლილების ბუნებასთან დაკავშირებით. პოტენციური უსასრულობა, კანტორის აზრით, არ არის იდეა, არამედ მხოლოდ დამხმარე კონცეფცია; ეს არის ens rationis, შტოკლის ბედნიერი გამოთქმის მიხედვით. ერთი სიტყვით, პოტენციურ უსასრულობას ძველები უწოდებდნენ ἄπειρον, სქოლასტიკოსები - syncategorematice infinitum ან indefinitum, ახალი ფილოსოფოსები - ცუდი ან, უფრო ზუსტად, უბრალო უსასრულობა, schlechte Unendlichkeit. ასე რომ, ეს დაუსრულებელი პოტენციალი უსასრულო არის ცვლადი სასრული სიდიდე, კვანტი, რომელიც იზრდება ყველა საზღვრებზე, ან, პირიქით, ეცემა ნებისმიერ სასრულ ზღვარს ქვემოთ. ასეთია, მაგალითად, დიფერენციაციები, რომლებსაც უკვე ახასიათებს ლაიბნიცი, სწორედ ამ თვისებისთვის, როგორც სუფთა ფიქცია. ამის გათვალისწინებით, ცხადია, რომ საუბარი სრულ პოტენციურ უსასრულობაზე, რაც, კანტორის აზრით, ფონტენელმა გააკეთა, არის კონტრადიციო ტერმინი. სამწუხაროდ, უამრავმა ლეგიონმა, ყველა სპეციალობის ავტორიტეტმა ზედმეტად მტკიცედ გაითავისა ეს მარტივი ჭეშმარიტება და, დაივიწყა სიტყვა პოტენციალი, დაიწყო სხვადასხვა ხმით გამოცხადება, რომ "სრული უსასრულობა" რაღაც აბსურდია. აქედან მოდის ძველი აფორიზმი: „Numerus infinitus repugnat“, აქედან მოდის ტონგიორგის განცხადება: „Multitudo actu infinita repugnat“ და სხვა მსგავსი. ამ აშკარად სრულიად უდანაშაულო გამოტოვებამ გამოიწვია ერთზე მეტი უხეში შეცდომა და, სხვათა შორის, მასზეა დაფუძნებული კანტის პირველი „სუფთა მიზეზის ანტინომიები“. ეგრეთ წოდებული არგუმენტები სრული უსასრულობის წინააღმდეგ და პოზიტივიზმის მრავალი მოსაზრება ეფუძნება იმავე გამოტოვებას, როგორც დავინახავთ. ახლა განვიხილოთ უსასრულობის სხვა სახეობა - ფაქტობრივი უსასრულობა. ამ მიზნით ვუბრუნდებით ჩვენს საწყის წერტილს, კვანტის ცნებას, კერძოდ, მუდმივის კვანტს და ამ მუდმივის ცნების შინაარსს ახალი მახასიათებლით გავმდიდრებთ. ზოგიერთი მუდმივი შეიძლება იყოს ისეთი, რომ ის დგას იმავე სახის სხვა მუდმივთა სერიაში, ანუ ზოგიერთ სასრულ მუდმივზე მეტი და სხვებზე ნაკლები. მაშინ ის თავად იქნება სასრული. მაგრამ შეიძლება მოხდეს, რომ ის არ დგას სხვა მუდმივებს შორის, რადგან ის აღემატება ნებისმიერ სასრულ მუდმივას, რაც არ უნდა დიდი ავიღოთ იგი. მაშინ ჩვენ ვიტყვით, რომ ჩვენი კვანტი არის ფაქტობრივი უსასრულობა, უსასრულობა აქტუში, აქტუალიტერი და არა მხოლოდ პოტენციაში. ასე, მაგალითად, დიალოგში „ბრუნო“ შელინგი 830 ბრწყინვალედ ცხადყოფს, რომ ყოველი კონცეფცია არის უსასრულობა, რადგან ის აერთიანებს წარმოდგენების ერთობლიობას, რომელიც არ არის სასრული; მაგრამ რაკი ცნების ფარგლები, არსებითად, სრულად არის განსაზღვრული და მოცემული, მაშინ ეს უსასრულობა არ შეიძლება იყოს სხვა არაფერი, თუ არა ფაქტობრივი უსასრულობა. ყოველი განსჯა, ყოველი თეორემა ატარებს ფაქტობრივ უსასრულობას და ეს არის ლოგიკური აზროვნების მთელი ძალა, როგორც აღნიშნა სოკრატემ. ავიღოთ უფრო კონკრეტული მაგალითები. მაგალითად, სივრცისკენ მიბრუნებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ დახურული ზედაპირის შიგნით არსებული ყველა წერტილი ქმნის რეალურ-უსასრულო სიმრავლეს. ფაქტობრივად, თითოეული მათგანი სრულად არის განსაზღვრული, რაც იმას ნიშნავს, რომ ყველა მათგანი ასევე სრულად არის განსაზღვრული; მაგრამ, თუმცა მათი რიცხვი აღემატება სერიის ნებისმიერ რიცხვს: 1, 2, 3... n,... და თითოეულ ამ რიცხვზე მეტს. ამავე გაგებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ღმერთის ძალა არის აქტუალური და უსასრულო, რადგან ის, განსაზღვრული (ღმერთში ცვლილება არ არის), ამავე დროს აღემატება ნებისმიერ სასრულ ძალას. 831 ავტორი წიგნისა "ზეციური იერარქიის შესახებ", წიგნი, რომელიც მიეწერება წმინდა დიონისე არეოპაგელს. "და ეს, ჩემი აზრით, ღირსია საგულდაგულოდ დაფიქრება, რასაც საღვთო წერილი ამბობს ანგელოზებზე, ანუ არის ათასობით მათგანი და ათობით მათგანი, თავისთავად რომ გავამრავლოთ რიცხვები, ჩვენ გვაქვს ყველაზე მაღალი. ამით ნათლად ჩანს, რომ ციური არსებების ტიპები ჩვენთვის უთვალავია, რადგან უთვალავი გონების უთვალავი და კურთხეულია. ჩვენ მიერ გამოყენებული რიცხვების არასაკმარისი დათვლა და ზუსტად განისაზღვრება მხოლოდ მათი უმაღლესი გაგებით“ 832. აქ განხილული ფაქტობრივი უსასრულობის კონცეფციაში ძნელი არ არის იმის ამოცნობა, რაც ძველებმა იცოდნენ სახელით ἀφωρισμένον, სქოლასტიკოსთა შორის - kategorematice infinitum სახელით, ახალ ფილოსოფოსებს შორის - პოზიტიური, სათანადო უსასრულობა. როგორც გოეთე ამბობს, 833 „ეს არის დახურული უსასრულობა, რომელიც უფრო შესაფერისია ადამიანისთვის, ვიდრე ვარსკვლავური ცა“, და ეს უკანასკნელი, რა თქმა უნდა, გაგებულია ზუსტად, როგორც გარკვეული შესაძლებლობა, აჩქარდეს უფრო და უფრო შორს, ვერასოდეს შეძლება წარმოქმნას სინთეზი და მთლიანად დამკვიდრდეს. აქ ჩვენ ახალი განხილვის წინაშე ვდგავართ. იმისათვის, რომ პოტენციური უსასრულობა იყოს შესაძლებელი, უსასრულო ცვლილება უნდა იყოს შესაძლებელი. მაგრამ, ბოლოს და ბოლოს, ამ უკანასკნელისთვის აუცილებელია ცვლილების „რეგიონი“, რომელიც თავისთავად არ შეიძლება შეიცვალოს, რადგან სხვაგვარად საჭირო იქნებოდა რეგიონისთვის ცვლილების რეგიონის მოთხოვნა და ა.შ. თუმცა, ის არ არის სასრული და, შესაბამისად, უნდა იყოს აღიარებული, როგორც რეალურად უსასრულო. შესაბამისად, ნებისმიერი პოტენციური უსასრულობა უკვე გულისხმობს ფაქტობრივი უსასრულობის არსებობას, როგორც მის ზესასრულ ზღვრად 834; ყოველი უსასრულო პროგრესი უკვე გულისხმობს პროგრესის უსასრულო მიზნის არსებობას; ყოველი უსასრულო გაუმჯობესება მოითხოვს უსასრულო სრულყოფილების აღიარებას. ის, ვინც უარყოფს ფაქტობრივ-უსასრულოს რაიმე კუთხით, ამით უარყოფს პოტენციურ უსასრულობას იმავე კუთხით და პოზიტივიზმი თავის თავში ატარებს საკუთარი დაშლის ელემენტებს - ასე ვთქვათ, პოზიტივიზმთან ერთად თვითმოწამვლა ხდება მისივე საქმიანობის პროდუქტებით. ზემოთ გამოვლენილი ფაქტობრივი უსასრულობის განმარტებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ასეთი უსასრულობის წარმოდგენა შესაძლებელია ორ მოდიფიკაციაში. უპირველეს ყოვლისა, ნებისმიერ სასრულ კვანტზე დიდია, მას შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ არ ჰქონდეს სხვა კვანტი, ასევე უსასრულო, რომელიც მასზე დიდი იქნება; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აქ გამოდის, რომ არ შეუძლია იყოს სხვაზე ნაკლები. ეს არის ფაქტობრივი უსასრულობა, გაზრდის უუნარო, აბსოლუტური მაქსიმუმი; როგორც ზოგადად, ისე კანტორში მას აბსოლუტუმი ჰქვია. მეორეც, და ვინც ლაპარაკობდა უსასრულობაზე, ვერ შეამჩნია ეს, ფაქტობრივი უსასრულობის განმარტებიდან გამომდინარეობს მისი მეორე მოდიფიკაციის შესაძლებლობა. ფაქტობრივ უსასრულობას, ზუსტად, შეიძლება ჰქონდეს ზევით სხვა კვანტები, თავის თავზე დიდი; მაშინ მას შეუძლია გაიზარდოს, გაიზრდება რეალური უსასრულობით. იმისათვის, რომ ერთხელ და სამუდამოდ აირიდოს სიტყვებისა და სიგრძის აღრევა, კანტორი მას სუპერ-კიდურის სახელს, უებერენდლიჩკეიტს ანიჭებს. ამ ფორმალური მოსაზრებებიდან გადავიდეთ რეალურზე. ჩვენ ვხვდებით ფაქტობრივ უსასრულობას, ან ყოველ შემთხვევაში შეგვიძლია ვიმედოვნებთ, რომ შევხვდებით მას სამ სხვადასხვა სფეროში. ჯერ ერთი, რადგან ეს ფაქტობრივ-უსასრულო რეალიზდება უმაღლეს სრულყოფილებაში, სრულიად დამოუკიდებელ, არაამქვეყნიურ არსებაში, ერთი სიტყვით - Deo sive natura naturante-ში და კანტორს ესმის ბოლო გამოთქმა არა პანთეიზმის მნიშვნელობით, არამედ იმ თავდაპირველი გაგებით, რაც მას თომა აკვინელმა და სხვა თეოლოგებმა მისცეს. აქ უსასრულო არის აბსოლუტური მაქსიმუმი და არის ის, რასაც ადრე ეწოდებოდა Absolutum ან აბსოლუტური უსასრულობა. მეორეც, ფაქტობრივ-უსასრულო შეიძლება ვივარაუდოთ in concreto, დამოკიდებულ სამყაროში, ქმნილებაში, in natura naturata. აქ კანტორი მას Transfinitum-ს უწოდებს. დაბოლოს, მესამე, ფაქტობრივ-უსასრულო შეიძლება იყოს აბსტრაქტო სულში, ვინაიდან მას აქვს უნარი შეიცნოს ტრანსფინიტუმი ბუნებაში და, გარკვეულწილად, აბსოლუტუმი ღმერთში. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, უსასრულობას უწოდებენ უსასრულობის სიმბოლოებს. კერძოდ, თუ საუბარია კონკრეტულად ტრანსფინიტუმის ცოდნაზე, ამ სიმბოლოებს ტრანსფინიტური რიცხვები და ტრანსფინიტური ტიპები ეწოდება. უსასრულობის ბოლო ორი ტიპი არის გაზრდილი უსასრულობა. 835 სრული ბიბლიოგრაფია მეცნიერებზე. oh infinite მიუწვდომელია, ზოგიერთი მითითებულია: Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 (“Bibliotheca mathematica”, 3 1, 1900, გვ. 160), სადაც დასახელებულია 70 სტატია და წიგნი; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Paris, 1896, გვ. 657–660; – “Encyclopädie d. Math. Wissensch.”, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1 , SS. 184 ff. – გარდა თანამედროვეობის დამაარსებლის მრავალი ნაშრომისა. უხ. აქტის შესახებ. გაუთავებელი G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - სტატიები "Math. An." Bdd. 46, 49; ყველაზე მნიშვნელოვანი სტატიები სხვა ჟურნალებიდან შეგროვებული "Acta Math.", 1883, 24), შემდეგი. სახელწოდება კერძოდ: Killing, – Ueber transfiniten Zahlen („მათ. ან.“, ბდ. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – ლინდელოფი (“Comptes Rendus”, 1903(2), 37); – ეველინი, – Infini et Qpantité. Etude sur le concept de l'infini en philos. et dans les Sciences, პარიზი. 1880 წელი; – გერ. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den “Abhandl. der Fries’schen Schule”, Bd. 1, Hft. 4). – მისი, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (“Math. An.”, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). - არტ. Schoenflies, – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten (“Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung”, Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Couturat (იხ. ზემოთ). - ბორელი,. – ჰა პიკ. ენა: I. [I.] Zhegalkin, - Transfinite numbers, M., 1907. - H. Weber and S. Wellstein, - Encyclopedia of elementary. მათემატიკა, ტრანს. მასთან ერთად. რედაქციით V. Kogan, ed. “Mathesis”, T. 1, Odessa, 1907. – A. Puankare, – Science and მეთოდი. – A.B. Vasiliev, – შესავალი. ანალიზში, ტ. II., რედ. N. N. Iovleva, Kazan, 1908. – Flor.. – „ახალი. იდეები მათემატიკაში“, სატ. No1, რედ. „იმიჯი.“, პეტერბურგი, 1913. – ბოლცანო. შელინგი, - ბრუნო (რუსული თარგმანი, რედ. „ფილ. შესწავლა ხალხის არსის წმ.“-თან ერთად). H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, გვ. 20 s. არის პ.პ. – ანალოგიურად, J. Tannry ამტკიცებს, რომ „მთელი რიცხვის ცნება უკვე შეიცავს უსასრულობის ცნებას“ (J. Tannry, - Pure Mathematics. „Method in the Sciences“, თარგმნა მე-2 ფრანგული გამოცემიდან I. S. Yushkevich and I. K. Brusilovsky, “Education” Peterburg, 1, 1.3, გამომცემლობა 1, 1.3). დიონი. არეოპი. , – ოჰ ზეციურო. ჰიერ. 14 (რუს. გვ. 1898, გვ. 52). კონ. Gutberlet, – Das Problem დ. Unendlichen („Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.“, Bd. 88, 1886. S. 215). ეს ექსკურსია – აბრ. გამოყოფა „სიმბოლოს შესახებ. გაუთავებელი“. . - დამატებით განკარგულება. ნაშრომები ისტორიაზე ორ. ოჰ უსასრულო მითითება: ტანინჯი, – ისტორი. du concept de l'infini au IV siècle („Rev. philos.“, XIV, 618).