Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

Au motu quiesco. Calme par mauvais temps. Infini, l'infini s'entend très souvent dans la conversation ordinaire ; mais il suffit de demander une explication à ces paroles pour rencontrer un regard perplexe. Cependant, si dans le grand public il n'y a qu'un malentendu, alors parmi les personnes engagées dans un travail mental, il y a souvent une perversion de la compréhension et même une confusion totale à ce sujet. Les esprits très forts et subtils n’étaient souvent pas exempts d’ambiguïtés et d’omissions sur la question de la notion d’infini. Le manque de place ne nous permet malheureusement pas de donner un certain nombre d'exemples instructifs, mais le lecteur découvrira par lui-même, grâce à la présentation ultérieure, à qui il pourrait être fait référence ici. Cependant, les difficultés ne dépendent qu'en partie, et même dans une part très insignifiante, du caractère abstrait de la question ; la raison principale ici est une pensée biaisée, la réticence ou l’incapacité à regarder directement l’objet de la recherche. Commence à étudier avec la certitude qu'il est déjà connu ; et la connaissance imaginaire, selon les mots de Cantor, « l’horreur infinie » qui règne dans la société, se fait sentir. Les principales erreurs commises assez souvent dans le raisonnement sur l’infini résultent de la négligence de la distinction fondamentale et tout à fait élémentaire entre l’infini réel et l’infini potentiel. Par conséquent, je devrai m'attarder sur cette division plus en détail que je ne le souhaiterais. Pour l’instant, cependant, une définition préliminaire de l’infini sera donnée ; Nous ne nous appuierons pas sur cela, car il ne repose pas sur des concepts assez simples, même s'il est vrai en soi. Chaque quantum, ou, comme le disait N.I. Lobatchevski suggère de dire que chaque « colique », de par sa définition même, peut être double. Il peut être donné et immuable et fermement établi, complètement défini, et alors il représentera ce qu'on appelle permanent ou constant. Il peut également ne pas être spécifique, il peut changer, devenir plus grand ou plus petit. Dans ce dernier cas, le quantum est appelé variable. Ainsi, l'infini réel est un cas particulier d'une constante, et le potentiel est une « colique » variable, et c'est leur différence fondamentale la plus profonde - si vous voulez, leur opposé essentiel. Expliquons cela plus en détail. Ayons une variable, et laissons-la changer non pas d'une manière ou d'une autre, mais d'une certaine manière, de sorte qu'elle devienne plus que n'importe quelle « colique » constante du même genre, ou moins. Dans chaque état, cette variable est finie ; mais selon notre compréhension, la totalité de ces États diffère de la totalité des États arbitrairement sélectionnés. En ce sens, nous disons que notre quantum est un potentiel infini, potentiel - du fait qu'il peut devenir plus que n'importe quel autre quantum. Ainsi, l’infinité potentielle ne désigne aucun quantum pris en lui-même, mais seulement une manière particulière de considérer le quantum, à savoir en relation avec la nature de son changement particulier. L'infini potentiel, selon Cantor, n'est pas une idée, mais seulement un concept auxiliaire ; c’est ens rationis, selon l’heureuse expression de Stöckl. En un mot, l'infini potentiel est ce que les anciens appelaient ἄπειρον, les scolastiques - syncategorematique infinitum ou indefinitum, les nouveaux philosophes - mauvais ou, plus précisément, simple infini, schlechte Unendlichkeit. Ainsi, ce potentiel infini sans fin est une quantité finie variable, quantique, augmentant au-delà de toutes les frontières ou, à l'inverse, tombant en dessous de toute limite finie. Telles sont, par exemple, les différentielles, déjà caractérisées par Leibniz, précisément pour cette propriété, comme de pures fictions. Compte tenu de cela, il est clair que parler d’une infinité potentielle complète, ce que Fontenelle a fait selon Cantor, est une contradiction in terminis. Malheureusement, d'innombrables autorités de toutes spécialités ont saisi trop fermement cette simple vérité et, oubliant le mot potentiel, ont commencé à déclarer de différentes voix que « l'infini complet » est quelque chose d'absurde. De là vient le vieil aphorisme : « Numerus infinitus repugnat », d’où la déclaration de Tongiorgi : « Multitudo actu infinita repugnat » et d’autres similaires. Cette omission, en apparence tout à fait innocente, a donné lieu à plus d’une erreur grossière et, d’ailleurs, c’est sur elle que se fondent les premières « antinomies de la raison pure » de Kant. Les soi-disant arguments contre l’infini complet et de nombreuses considérations positivistes reposent sur cette même omission, comme nous le verrons. Considérons maintenant une autre sorte d’infini : l’infini réel. Pour cela, nous revenons à notre point de départ, à la notion de quantique, à savoir le quantum de constante, et nous enrichirons le contenu de cette notion de constante d'une nouveauté. Une constante peut être telle qu'elle figure dans une série d'autres constantes du même genre, c'est-à-dire plus que certaines constantes finies et moins que d'autres. Alors elle-même sera finie. Mais il peut arriver qu’elle ne figure pas parmi d’autres constantes, parce qu’elle est plus grande que n’importe quelle constante finie, quelle que soit sa grandeur. Nous dirons alors que notre quantum est l'infini actuel, l'infini en actu, actualiter, et pas seulement en potentia. Ainsi, par exemple, dans le dialogue « Bruno », Schelling 830 révèle avec brio que tout concept est infini, car il unit un ensemble de représentations qui n'est pas fini ; mais puisque la portée du concept, par essence, est complètement définie et donnée, alors cet infini ne peut être autre chose que l'infini actuel. Chaque jugement, chaque théorème porte en lui l’infinité réelle, et c’est là toute la puissance de la pensée logique, comme l’a souligné Socrate. Prenons des exemples plus précis. Par exemple, en nous tournant vers l’espace, nous pouvons affirmer que tous les points à l’intérieur d’une surface fermée forment un ensemble réel-infini. En fait, chacun d’eux est complètement défini, ce qui signifie que tous sont également complètement définis ; mais cependant leur nombre dépasse tous les nombres de la série : 1, 2, 3... n,... et plus que chacun de ces nombres. Dans le même sens, nous pouvons dire que la puissance de Dieu est actuelle et infinie, parce qu'elle, étant déterminée (il n'y a pas de changement en Dieu), est en même temps plus grande que toute puissance finie. 831 L'auteur du livre « Sur la hiérarchie céleste », un livre attribué à saint Denys l'Aréopagite. "Et cela, à mon avis," dit-il, "est digne d'une réflexion approfondie, ce que dit l'Écriture à propos des Anges, c'est-à-dire qu'il y en a des milliers et des dizaines, en multipliant les nombres par eux-mêmes, nous avons le plus grand. Par cela, cela montre clairement que les types d'êtres célestes sont innombrables pour nous; parce que l'armée bénie des esprits de première qualité est innombrable. Elle dépasse le petit et insuffisant comptage des nombres que nous utilisons, et est précisément déterminée par leur seule compréhension supérieure. " 832. Dans le concept d'infini actuel considéré ici, il n'est pas difficile de reconnaître ce que les anciens connaissaient sous le nom de ἀφωρισμένον, chez les scolastiques - sous le nom de kategorematice infinitum, chez les nouveaux philosophes - l'infini positif et propre. Comme le dit Goethe, 833 « c’est un infini clos, plus approprié à l’homme que le ciel étoilé », et celui-ci, bien sûr, est compris précisément comme une certaine possibilité d’aller toujours plus loin, sans jamais pouvoir produire une synthèse et se fixer sur l’ensemble. Nous sommes ici confrontés à une nouvelle considération. Pour que l’infini potentiel soit possible, un changement infini doit être possible. Mais en fin de compte, pour cette dernière, une « région » de changement est nécessaire, qui elle-même ne peut pas changer, car sinon il faudrait exiger une région de changement pour la région, etc. Mais elle n’est pas finie et doit donc être reconnue comme réellement infinie. Par conséquent, tout infini potentiel présuppose déjà l’existence de l’infini actuel comme limite super-finie 834 ; tout progrès infini présuppose déjà l'existence d'un but infini de progrès ; toute amélioration infinie nécessite la reconnaissance d’une perfection infinie. Celui qui nie l'infini actuel sous quelque rapport nie par là même l'infini potentiel, et le positivisme porte en lui des éléments de sa propre décomposition - pour ainsi dire, le positivisme s'auto-empoisonne avec les produits de sa propre activité. Sur la base de la définition de l’infini réel révélée ci-dessus, nous pouvons conclure qu’un tel infini peut être concevable sous deux variantes. Premièrement, étant plus grand que n’importe quel quantum fini, il peut lui-même s’avérer ne pas avoir d’autre quantum, également infini, qui serait plus grand que lui ; autrement dit, il s'avère ici incapable d'être moins qu'autre chose. C'est l'infini réel, incapable d'augmenter, le maximum absolu ; en général et en Cantor, on l'appelle Absolutum. Deuxièmement, et ceux qui ont parlé de l'infini ne l'ont pas remarqué, de la définition de l'infini actuel découle la possibilité de sa seconde modification. L'infini actuel, justement, peut avoir au-dessus de lui d'autres quanta, plus grands que lui ; alors il sera capable d'augmenter, il augmentera à l'infini réel. Afin d'éviter une fois pour toutes la confusion des mots et des longueurs, Kantor lui donne le nom de super-membre, Ueberendlichkeit. De ces considérations formelles passons aux considérations réelles. Nous rencontrons l’infini réel, ou du moins nous pouvons espérer le rencontrer, dans trois domaines différents. Premièrement, puisque cet infini actuel se réalise dans la plus haute perfection, dans un être complètement indépendant, extra-mondain, en un mot - dans Deo sive natura naturante, et Cantor comprend la dernière expression non pas dans le sens du panthéisme, mais dans le sens originel que lui ont donné Thomas d'Aquin et d'autres théologiens. Ici, l'infini est le maximum absolu et c'est ce qu'on appelait auparavant Absolutum ou infini absolu. Deuxièmement, l’actuel-infini peut être présupposé in concreto, dans le monde dépendant, dans la créature, in natura naturata. Ici, Cantor l'appelle Transfinitum. Enfin, troisièmement, l'actuel-infini peut être in abstracto dans l'esprit, puisqu'il a la capacité de connaître le Transfinitum dans la nature et, dans une certaine mesure, l'Absolutum en Dieu. Dans ce dernier cas, l'infini est appelé symboles de l'infini. En particulier, si nous parlons spécifiquement de la connaissance du Transfinitum, ces symboles sont appelés nombres transfinis et types transfinis. Les deux derniers types d'infini sont des infinis augmentables. 835 Bibliographie complète sur les scientifiques. oh infini non disponible, certains sont indiqués dans : Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 (« Bibliotheca mathematica », 3 1, 1900, p. 160), où sont nommés 70 articles et livres ; – L. Couturat, – De l'Infini Mathématique, Paris, 1896, pp. 657-660 ; – "Encyclopädie d. Math. Wissensch.", Lpz., 1898-1904, Bd. 1 1 , SS. 184 et suiv. – Outre les nombreuses œuvres du fondateur des temps modernes. euh. à propos de l'acte. sans fin G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883 ; - articles dans « Math. An. » Bdd. 46, 49 ; les articles les plus importants d'autres revues rassemblés dans « Acta Math. », 1883, 24), ensuite. nom en particulier : Killing, – Ueber transfiniten Zahlen (« Math. An. », Bd. 48) ; – Véronèse, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47) ; – Lindelöf (« Comptes Rendus », 1903(2), 37) ; – Evellin, – Infini et Qpantité. Etude sur le concept de l'infini en philos. et dans les sciences, Paris. 1880 ; – Ger. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den « Abhandl. der Fries’schen Schule », Bd. 1, Hft. 4). – Le sien, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (« Math. An. », Bd. 59, 1904, SS. 514-516). – Arth. Schoenflies , – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten (« Jahresbericht d. 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Brusilovsky, éditeur « Education », Saint-Pétersbourg, 1911, p. 35). Dion. Aréop. , – Oh céleste. Hier. 14 (Rus. p. 1898, p. 52). Escroquer. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen (« Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr. », Bd. 88, 1886. S. 215). Cette excursion – abbr. séparation de "À propos du symbole. sans fin." . - En plus du décret. travaux sur l'histoire oh sans fin Indication : Tannerie, – Hist. du concept de l'infini au IV siècle (« Rev. philos. », XIV, 618).