Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

En motu quieto. Silencioso cuando hace mal tiempo. Infinito, el infinito se escucha muy a menudo en la conversación ordinaria; pero basta pedir una explicación de estas palabras para recibir una mirada de perplejidad. Sin embargo, si en el público en general solo hay malentendidos, entre las personas que se dedican al trabajo mental a menudo hay una perversión en la comprensión e incluso una completa confusión a este respecto. Mentes muy fuertes y sutiles a menudo no estuvieron libres de ambigüedades y omisiones en la cuestión del concepto de infinito. Desafortunadamente, la falta de espacio no nos permite dar una serie de ejemplos instructivos, pero el lector descubrirá por sí mismo a partir de la presentación adicional a quién se puede hacer referencia aquí. Sin embargo, las dificultades dependen sólo en parte, e incluso en una parte muy insignificante, de lo abstracto de la cuestión; La razón principal aquí es el pensamiento sesgado, la desgana o la incapacidad de mirar directamente el objeto de investigación. Comienza a estudiar con la confianza de que ya lo sabe; y se hace sentir el conocimiento imaginario, en palabras de Cantor, el “horror infiniti” que reina en la sociedad. Los principales errores que se cometen con bastante frecuencia al razonar sobre el infinito aparecen como resultado de descuidar la distinción básica y completamente elemental entre el infinito real y el potencial. Por tanto, tendré que detenerme en esta división con más detalle del que me gustaría. Por ahora, sin embargo, se dará una definición preliminar de infinito; No nos basaremos en él, ya que no se basa en conceptos bastante simples, aunque en sí mismo es cierto. Cada cuanto, o, como N.I. Lobachevsky sugiere decir que cada “cólico”, por su propia definición, puede ser doble. Puede ser dado e inmutable y firmemente establecido, completamente definido, y entonces representará lo que se llama permanente o constante. Puede que tampoco sea específico, puede cambiar, haciéndose más grande o más pequeño. En este último caso, al cuanto se le llama variable. Entonces, el infinito real es un caso especial de una constante, y el potencial, un "cólico" variable, y esta es su diferencia fundamental más profunda, si se quiere, su opuesto esencial. Expliquemos esto con más detalle. Tengamos una variable y dejemos que cambie no de alguna manera, sino de cierta manera, de modo que sea más que cualquier “cólico” constante del mismo tipo, o menos. En cada estado esta variable es finita; pero a nuestro entender, la totalidad de estos estados difiere de la totalidad de cualquier estado seleccionado arbitrariamente. En este sentido, decimos que nuestro cuanto es potencial infinito, potencial, debido al hecho de que puede llegar a ser más que cualquier otro cuanto. Así, el infinito potencial no denota ningún cuanto tomado dentro de sí mismo, sino sólo una manera especial de considerarlo, es decir, en relación con la naturaleza de su cambio especial. El infinito potencial, según Cantor, no es una idea, sino sólo un concepto auxiliar; es ens rationis, según la feliz expresión de Stöckl. En una palabra, el infinito potencial es lo que los antiguos llamaban ἄπειρον, los escolásticos - syncategorematique infinitum o indefinitum, los nuevos filósofos - el infinito malo o, más exactamente, el simple, schlechte Unendlichkeit. Entonces, este potencial infinito sin fin es una cantidad finita variable, cuántica, que aumenta sobre todos los límites o, por el contrario, cae por debajo de cualquier límite finito. Tales son, por ejemplo, los diferenciales, ya caracterizados por Leibniz, precisamente por esta propiedad, como puras ficciones. En vista de esto, está claro que hablar de un infinito potencial completo, lo que, según Cantor, hizo Fontenelle, es una contradicción in terminis. Desafortunadamente, innumerables autoridades de todas las especialidades han captado con demasiada firmeza esta simple verdad y, olvidándose de la palabra potencial, comenzaron a declarar en diferentes voces que el "infinito completo" es algo absurdo. De aquí surge el viejo aforismo: “Numerus infinitus repugnat”, de ahí la afirmación de Tongiorgi: “Multitudo actu infinita repugnat” y otros similares. Esta omisión aparentemente bastante inocente dio lugar a más de un grave error y, dicho sea de paso, las primeras “antinomias de la razón pura” de Kant se basan en ella. Los llamados argumentos contra el infinito completo y muchas consideraciones del positivismo se basan en esta misma omisión, como veremos. Consideremos ahora otro tipo de infinito: el infinito real. Para ello volvemos a nuestro punto de partida, al concepto de cuanto, es decir, cuanto de constante, y enriqueceremos el contenido de este concepto de constante con una nueva característica. Alguna constante puede ser tal que esté en una serie de otras constantes del mismo tipo, es decir, más que algunas constantes finitas y menos que otras. Entonces ella misma será finita. Pero puede suceder que no se encuentre entre otras constantes, porque es mayor que cualquier constante finita, por grande que la tomemos. Entonces diremos que nuestro cuanto es infinito actual, infinito in actu, actualiter, y no sólo en potencia. Así, por ejemplo, en el diálogo “Bruno” Schelling 830 revela brillantemente que todo concepto es infinito, porque reúne un conjunto de representaciones que no es finito; pero como el alcance del concepto, en esencia, está completamente definido y dado, entonces este infinito no puede ser otra cosa que el infinito real. Cada juicio, cada teorema lleva en sí mismo el infinito actual, y éste es todo el poder del pensamiento lógico, como señaló Sócrates. Tomemos ejemplos más específicos. Por ejemplo, volviendo al espacio, podemos afirmar que todos los puntos dentro de alguna superficie cerrada forman un conjunto infinito real. De hecho, cada uno de ellos está completamente definido, lo que significa que todos ellos también están completamente definidos; pero, sin embargo, su número supera a cualquiera de los números de la serie: 1, 2, 3... n,... y más que cada uno de estos números. En el mismo sentido, podemos decir que el poder de Dios es actual e infinito, porque, al estar determinado (no hay cambio en Dios), es al mismo tiempo mayor que cualquier poder finito. 831 Autor del libro “Sobre la jerarquía celestial”, libro atribuido a San Dionisio el Areopagita. "Y eso, en mi opinión", dice, "es digno de una cuidadosa reflexión, lo que dice la Escritura acerca de los Ángeles, es decir, que hay miles de ellos y decenas de ellos, multiplicando los números por sí mismos, tenemos los más altos. Con esto se muestra claramente que los tipos de seres celestiales son innumerables para nosotros; porque el bendito ejército de mentes premium es incontable. Supera la pequeña e insuficiente cuenta de los números que usamos, y está determinada precisamente por su comprensión superior" 832. En el concepto de infinito actual considerado aquí, no es difícil reconocer lo que los antiguos conocían bajo el nombre de ἀφωρισμένον, entre los escolásticos - bajo el nombre de kategorematice infinitum, entre los nuevos filósofos - el infinito positivo y propio. Como dice Goethe, 833 “este es un infinito cerrado, más propio del hombre que el cielo estrellado”, y este último, por supuesto, se entiende precisamente como una cierta posibilidad de precipitarse más y más, sin poder nunca producir una síntesis y establecerse en el todo. Aquí nos enfrentamos a una nueva consideración. Para que el infinito potencial sea posible, el cambio infinito debe ser posible. Pero, después de todo, para esto último es necesaria una “región” de cambio que por sí misma no puede cambiar, ya que de lo contrario sería necesaria una región de cambio para la región, etc. Sin embargo, no es finita y, por lo tanto, debe reconocerse como realmente infinita. En consecuencia, cualquier infinito potencial presupone ya la existencia del infinito actual como su límite superfinito 834; todo progreso infinito presupone ya la existencia de una meta infinita de progreso; toda mejora infinita requiere el reconocimiento de la perfección infinita. Quien niega en cualquier aspecto el infinito real, niega también en el mismo sentido la infinidad potencial, y el positivismo lleva en sí elementos de su propia descomposición; por así decirlo, en el positivismo se produce el autoenvenenamiento con los productos de su propia actividad. Basándonos en la definición de infinito real revelada anteriormente, podemos concluir que dicho infinito puede ser concebible en dos modificaciones. En primer lugar, al ser mayor que cualquier cuanto finito, puede resultar que no tenga otro cuanto, también infinito, que sea mayor que él; es decir, aquí resulta incapaz de ser menos que cualquier otra cosa. Éste es el infinito real, incapaz de aumentar, el máximo absoluto; tanto en general como en Cantor, se llama Absolutum. En segundo lugar, y quienes hablaban del infinito no se dieron cuenta de esto, de la definición del infinito real se desprende la posibilidad de su segunda modificación. El infinito real, precisamente, puede tener encima otros cuantos mayores que él mismo; entonces será capaz de aumentar, aumentará hasta el infinito real. Para evitar de una vez por todas la confusión de palabras y longitudes, Kantor le da el nombre de supermiembro, Ueberendlichkeit. De estas consideraciones formales pasemos a las reales. Encontramos el infinito real, o al menos podemos esperar encontrarlo, en tres áreas diferentes. En primer lugar, porque este infinito actual se realiza en la más alta perfección, en un ser extramundano completamente independiente, en una palabra, en Deo sive natura naturante, y Cantor entiende la última expresión no en el sentido de panteísmo, sino en el sentido original que le dieron Tomás de Aquino y otros teólogos. Aquí el infinito es el máximo absoluto y es lo que antes se llamaba Absolutum o infinito absoluto. En segundo lugar, lo infinito actual puede presuponerse en concreto, en el mundo dependiente, en la criatura, en natura naturata. Aquí Cantor lo llama Transfinitum. Finalmente, en tercer lugar, el infinito actual puede ser in abstracto en el espíritu, ya que tiene la capacidad de conocer el Transfinitum en la naturaleza y, en cierta medida, el Absolutum en Dios. En este último caso, el infinito se llama símbolos de infinito. En particular, si hablamos específicamente del conocimiento de Transfinitum, estos símbolos se denominan números transfinitos y tipos transfinitos. Los dos últimos tipos de infinito son infinitos aumentables. 835 Bibliografía completa sobre científicos. oh infinito no disponible, algunos se indican en: Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 (“Bibliotheca mathematica”, 3 1, 1900, p. 160), donde se nombran 70 artículos y libros; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, París, 1896, págs. 657–660; – “Encyclopädie d. Math. Wissensch.”, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1 , SS. 184 y sigs. – Además de las numerosas obras del fundador de los tiempos modernos. uch. sobre el acto. interminable G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - artículos en “Math. An.” Bdd. 46, 49; los artículos más importantes de otras revistas recopilados en “Acta Math.”, 1883, 24), siguiente. nombre en particular: Matar, – Ueber transfiniten Zahlen (“Math. An.”, Bd. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – Lindelöf (“Comptes Rendus”, 1903(2), 37); – Evellin, – Infini et Qpantité. Estudio sobre el concepto del infinito en filosofía. et dans les sciences, París. 1880; – alemán. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den “Abhandl. der Fries’schen Schule”, Bd. 1, Hft. 4). – Suyo, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (“Math. An.”, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – Arte. Moscas Schoen, – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten (“Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung”, Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Costura (ver arriba). – Borel. – Ja pyc. idioma: I. [I.] Zhegalkin, - Números transfinitos, M., 1907. - H. Weber y S. Wellstein, - Enciclopedia de elementos elementales. matemáticas, trad. consigo. editado por V. Kogan, ed. “Mathesis”, T. 1, Odessa, 1907. – A. Puankare, – Ciencia y método. – A. B. Vasiliev, – Introducción. en análisis, vol. II., ed. N. N. Iovleva, Kazán, 1908. – Flor.. – “Nuevas ideas en matemáticas”, sáb. N° 1, ed. “Imagen”, San Petersburgo, 1913. – Bolzano. Schelling, - Bruno (traducción rusa, ed. junto con “Estudio filosófico sobre la esencia del pueblo de San.”). H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, págs. 20 s. hay p.p. – De manera similar, J. Tannry afirma que “el concepto de número entero ya contiene el concepto de infinito” (J. Tannry, - Pure Mathematics. “Method in the Sciences”, traducido de la segunda edición francesa por I. S. Yushkevich e I. K. Brusilovsky, editor “Educación”, San Petersburgo, 1911, p. 35). Dion. Areop. , – Oh celestial. Aquí. 14 (Rus. p. 1898, p. 52). Estafa. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen (“Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.”, Bd. 88, 1886. S. 215). Esta excursión – abbr. separación de "Acerca del símbolo. interminable". . - Además decreto. trabajos sobre historia lun. oh interminable Indicación: Curtiduría, – Hist. du concept de l'infini au IV siècle (“Rev. philos.”, XIV, 618).