Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

In motu quiesco. Ησυχία σε κακές καιρικές συνθήκες. Το άπειρο, το άπειρο ακούγεται πολύ συχνά στη συνηθισμένη συζήτηση. αλλά δεν χρειάζεται παρά να ζητήσει μια εξήγηση για αυτές τις λέξεις για να αντιμετωπιστεί με ένα μπερδεμένο βλέμμα. Ωστόσο, εάν στο ευρύ κοινό υπάρχει μόνο παρεξήγηση, τότε μεταξύ των ανθρώπων που ασχολούνται με την ψυχική εργασία, υπάρχει συχνά μια διαστροφή στην κατανόηση και ακόμη και πλήρης σύγχυση σε αυτό το σημείο. Τα πολύ δυνατά και λεπτά μυαλά συχνά δεν ήταν απαλλαγμένα από ασάφειες και παραλείψεις στο θέμα της έννοιας του άπειρου. Η έλλειψη χώρου, δυστυχώς, δεν μας επιτρέπει να δώσουμε μια σειρά από διδακτικά παραδείγματα, αλλά ο αναγνώστης θα καταλάβει μόνος του από την περαιτέρω παρουσίαση που θα μπορούσε να αναφερθεί εδώ. Ωστόσο, οι δυσκολίες εξαρτώνται μόνο εν μέρει και μάλιστα σε πολύ ασήμαντο μέρος από την αφηρημένη φύση του ζητήματος. Ο κύριος λόγος εδώ είναι η προκατειλημμένη σκέψη, η απροθυμία ή η αδυναμία να δούμε άμεσα το αντικείμενο της έρευνας. Αρχίζει να μελετά με σιγουριά ότι είναι ήδη γνωστό. και η φανταστική γνώση, με τα λόγια του Κάντορ, το «άπειρο τρόμου» που βασιλεύει στην κοινωνία, γίνεται αισθητό. Τα κύρια λάθη που γίνονται αρκετά συχνά στο συλλογισμό για το άπειρο εμφανίζονται ως αποτέλεσμα της παραμέλησης της βασικής και εντελώς στοιχειώδους διάκρισης μεταξύ πραγματικού και δυνητικού άπειρου. Ως εκ τούτου, θα πρέπει να σταθώ σε αυτή τη διαίρεση με περισσότερες λεπτομέρειες από όσο θα ήθελα. Προς το παρόν, ωστόσο, θα δοθεί ένας προκαταρκτικός ορισμός του άπειρου. Δεν θα βασιστούμε σε αυτό, αφού δεν βασίζεται σε αρκετά απλές έννοιες, αν και από μόνο του είναι αλήθεια. Κάθε κβαντικό, ή, όπως N.I. Ο Λομπατσέφσκι προτείνει να πει, κάθε «κολικός», εξ ορισμού του, μπορεί να είναι διπλός. Μπορεί να είναι δεδομένο και αμετάβλητα και σταθερά εδραιωμένο, εντελώς οριστικό, και τότε θα αντιπροσωπεύει αυτό που ονομάζεται μόνιμο ή σταθερό. Μπορεί επίσης να μην είναι συγκεκριμένο, μπορεί να αλλάξει, να γίνει μεγαλύτερο ή μικρότερο. Στην τελευταία αυτή περίπτωση, το κβαντικό ονομάζεται μεταβλητή. Έτσι, το πραγματικό άπειρο είναι μια ειδική περίπτωση μιας σταθερής και δυναμικής - ενός μεταβλητού «κολικού», και αυτή είναι η βαθύτερη θεμελιώδης διαφορά τους - αν θέλετε, το ουσιαστικό τους αντίθετο. Ας το εξηγήσουμε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες. Ας έχουμε μια μεταβλητή και ας αλλάξει όχι με κάποιο τρόπο, αλλά με έναν συγκεκριμένο τρόπο, ώστε να γίνει περισσότερο από κάθε σταθερό «κολικό» του ίδιου είδους, ή λιγότερο. Σε κάθε κατάσταση αυτή η μεταβλητή είναι πεπερασμένη. αλλά κατά την κατανόησή μας, το σύνολο αυτών των καταστάσεων διαφέρει από το σύνολο οποιωνδήποτε αυθαίρετα επιλεγμένων κρατών. Με αυτή την έννοια, λέμε ότι το κβάντο μας είναι δυνητικό άπειρο, δυναμικό - λόγω του γεγονότος ότι μπορεί να γίνει περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο κβάντο. Έτσι, το δυνητικό άπειρο δεν υποδηλώνει κανένα κβάντο που λαμβάνεται μέσα του, αλλά μόνο έναν ειδικό τρόπο εξέτασης του κβαντικού, δηλαδή, σε σχέση με τη φύση της ειδικής αλλαγής του. Το δυνητικό άπειρο, σύμφωνα με τον Cantor, δεν είναι ιδέα, αλλά μόνο μια βοηθητική έννοια. είναι ens rationis, σύμφωνα με την χαρούμενη έκφραση του Stöckl. Με μια λέξη, δυνητικό άπειρο είναι αυτό που οι αρχαίοι ονόμαζαν ἄπειρον, οι σχολαστικοί - syncategorematice infinitum ή infinitum, οι νέοι φιλόσοφοι - κακό ή, ακριβέστερα, απλό άπειρο, schlechte Unendlichkeit. Έτσι, αυτό το ατελείωτο δυναμικό άπειρο είναι ένα μεταβλητό πεπερασμένο μέγεθος, κβαντικό, που αυξάνεται σε όλα τα όρια ή, αντίθετα, πέφτει κάτω από οποιοδήποτε πεπερασμένο όριο. Τέτοια, για παράδειγμα, είναι τα διαφορικά, που ήδη χαρακτηρίζονται από τον Leibniz, ακριβώς γι' αυτή την ιδιότητα, ως καθαρά μυθοπλασία. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό, είναι σαφές ότι το να μιλάμε για ένα πλήρες δυνητικό άπειρο, το οποίο, σύμφωνα με τον Κάντορ, το έκανε ο Fontenelle, είναι μια αντίφαση στο τέλος. Δυστυχώς, αμέτρητες, λεγεώνες, αρχές όλων των ειδικοτήτων έχουν αντιληφθεί πολύ σταθερά αυτή την απλή αλήθεια και, ξεχνώντας τη λέξη δυναμικό, άρχισαν να δηλώνουν με διαφορετικές φωνές ότι το «πλήρες άπειρο» είναι κάτι παράλογο. Από εδώ προέρχεται ο παλιός αφορισμός: «Numerus infinitus repugnat», εξ ου και η δήλωση του Tongiorgi: «Multitudo actu infinita repugnat» και άλλα παρόμοια. Αυτή η φαινομενικά εντελώς αθώα παράλειψη οδήγησε σε περισσότερα από ένα χονδρό λάθος και, παρεμπιπτόντως, οι πρώτες «αντινομίες της καθαρής λογικής» του Καντ βασίζονται σε αυτό. Τα λεγόμενα επιχειρήματα κατά του πλήρους απείρου και πολλές θεωρήσεις του θετικισμού βασίζονται σε αυτήν την ίδια παράλειψη, όπως θα δούμε. Ας εξετάσουμε τώρα ένα άλλο είδος απείρου - το πραγματικό άπειρο. Για το σκοπό αυτό, επιστρέφουμε στην αφετηρία μας, στην έννοια του κβαντικού, δηλαδή, του κβάντου της σταθεράς, και θα εμπλουτίσουμε το περιεχόμενο αυτής της έννοιας της σταθεράς με ένα νέο χαρακτηριστικό. Κάποια σταθερά μπορεί να είναι τέτοια ώστε να βρίσκεται σε μια σειρά από άλλες σταθερές του ίδιου είδους, δηλαδή περισσότερες από ορισμένες πεπερασμένες σταθερές και μικρότερες από άλλες. Τότε η ίδια θα είναι πεπερασμένη. Αλλά μπορεί να συμβεί να μην βρίσκεται ανάμεσα σε άλλες σταθερές, γιατί είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε πεπερασμένη σταθερά, όσο μεγάλη κι αν την πάρουμε. Τότε θα πούμε ότι το κβάντο μας είναι πραγματικό άπειρο, άπειρο σε πραγματικό, ρεαλιστικό και όχι μόνο σε δυναμικό. Έτσι, για παράδειγμα, στο διάλογο «Bruno» ο Schelling 830 αποκαλύπτει έξοχα ότι κάθε έννοια είναι άπειρο, επειδή ενώνει ένα σύνολο αναπαραστάσεων που δεν είναι πεπερασμένες. αλλά εφόσον το εύρος της έννοιας, στην ουσία, είναι πλήρως καθορισμένο και δεδομένο, τότε αυτό το άπειρο δεν μπορεί να είναι τίποτα άλλο από το πραγματικό άπειρο. Κάθε κρίση, κάθε θεώρημα φέρει μέσα του το πραγματικό άπειρο, και αυτή είναι η όλη δύναμη της λογικής σκέψης, όπως τόνισε ο Σωκράτης. Ας πάρουμε πιο συγκεκριμένα παραδείγματα. Για παράδειγμα, στρέφοντας προς το διάστημα, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι όλα τα σημεία μέσα σε κάποια κλειστή επιφάνεια σχηματίζουν ένα πραγματικό-άπειρο σύνολο. Στην πραγματικότητα, καθένα από αυτά είναι πλήρως καθορισμένο, πράγμα που σημαίνει ότι όλα είναι επίσης πλήρως καθορισμένα. αλλά, ωστόσο, ο αριθμός τους υπερβαίνει οποιονδήποτε από τους αριθμούς της σειράς: 1, 2, 3... n,... και περισσότερους από κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς. Με την ίδια έννοια, μπορούμε να πούμε ότι η δύναμη του Θεού είναι πραγματική και άπειρη, γιατί όντας καθορισμένη (δεν υπάρχει αλλαγή στον Θεό), είναι ταυτόχρονα μεγαλύτερη από κάθε πεπερασμένη δύναμη. 831 Ο συγγραφέας του βιβλίου «Περί της Ουράνιας Ιεραρχίας», βιβλίο που αποδίδεται στον Άγιο Διονύσιο τον Αρεοπαγίτη. «Και αυτό, κατά τη γνώμη μου», λέει, «αξίζει προσεκτικού προβληματισμού, αυτό που λέει η Γραφή για τους Αγγέλους, ότι δηλαδή είναι χιλιάδες από αυτούς και δεκάδες, πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς μόνοι τους, έχουμε τον υψηλότερο. Μέσω αυτού δείχνει ξεκάθαρα ότι οι τύποι των ουράνιων όντων είναι αμέτρητοι για εμάς· γιατί ο αμέτρητος στρατός είναι μικρός και ευλογημένος. ανεπαρκής καταμέτρηση των αριθμών που χρησιμοποιούμε και καθορίζεται με ακρίβεια μόνο από την ανώτερη κατανόησή τους» 832. Στην έννοια του πραγματικού απείρου που εξετάζουμε εδώ, δεν είναι δύσκολο να αναγνωρίσουμε αυτό που γνώριζαν οι αρχαίοι με το όνομα ἀφωρισμένον, μεταξύ των σχολαστικών - με το όνομα kategorematice infinitum, μεταξύ των νέων φιλοσόφων - θετικό, σωστό άπειρο. Όπως το θέτει ο Γκαίτε, 833 «αυτό είναι ένα κλειστό άπειρο, πιο κατάλληλο για τον άνθρωπο από τον έναστρο ουρανό», και το τελευταίο, φυσικά, κατανοείται ακριβώς ως μια βέβαιη πιθανότητα να βιαστούμε όλο και πιο μακριά, χωρίς να μπορέσουμε ποτέ να δημιουργήσουμε μια σύνθεση και να ηρεμήσουμε συνολικά. Εδώ βρισκόμαστε αντιμέτωποι με μια νέα σκέψη. Για να είναι δυνατό το δυνητικό άπειρο, πρέπει να είναι δυνατή η άπειρη αλλαγή. Αλλά, τελικά, για το τελευταίο είναι απαραίτητη μια «περιοχή» αλλαγής, η οποία από μόνη της δεν μπορεί να αλλάξει, αφού διαφορετικά θα ήταν απαραίτητο να απαιτηθεί μια περιοχή αλλαγής για την περιοχή κλπ. Ωστόσο, δεν είναι πεπερασμένη και, επομένως, πρέπει να αναγνωριστεί ως πραγματικά άπειρη. Κατά συνέπεια, κάθε δυνητικό άπειρο προϋποθέτει ήδη την ύπαρξη του πραγματικού άπειρου ως υπερ-πεπερασμένου ορίου 834. Κάθε άπειρη πρόοδος προϋποθέτει ήδη την ύπαρξη ενός άπειρου στόχου προόδου. κάθε άπειρη βελτίωση απαιτεί αναγνώριση της άπειρης τελειότητας. Αυτός που αρνείται το πραγματικό-άπειρο από κάθε άποψη αρνείται έτσι το δυνητικό άπειρο από την ίδια άποψη, και ο θετικισμός φέρει μέσα του στοιχεία της δικής του αποσύνθεσης - ας πούμε έτσι, με τον θετικισμό η αυτοδηλητηρίαση συμβαίνει με τα προϊόντα της δικής του δραστηριότητας. Με βάση τον ορισμό του πραγματικού απείρου που αποκαλύφθηκε παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτό το άπειρο μπορεί να γίνει κατανοητό με δύο τροποποιήσεις. Πρώτον, όντας μεγαλύτερο από οποιοδήποτε πεπερασμένο κβάντο, μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν έχει άλλο κβάντο, επίσης άπειρο, το οποίο θα ήταν μεγαλύτερο από αυτό. με άλλα λόγια, εδώ αποδεικνύεται ανίκανο να είναι λιγότερο από οτιδήποτε άλλο. Αυτό είναι το πραγματικό άπειρο, ανίκανο να αυξηθεί, το απόλυτο μέγιστο. τόσο γενικά όσο και στο Cantor λέγεται Absolutum. Δεύτερον, και όσοι μίλησαν για το άπειρο δεν το παρατήρησαν, από τον ορισμό του πραγματικού απείρου προκύπτει η δυνατότητα της δεύτερης τροποποίησής του. Το πραγματικό άπειρο, ακριβώς, μπορεί να έχει πάνω του άλλα κβάντα, μεγαλύτερα από τον εαυτό του. τότε θα είναι ικανό να αυξάνεται, θα αυξάνεται κατά το πραγματικό άπειρο. Για να αποφύγει μια για πάντα σύγχυση λέξεων και μηκών, ο Kantor του δίνει το όνομα του υπεράκρου, Ueberendlichkeit. Από αυτές τις τυπικές σκέψεις ας προχωρήσουμε σε πραγματικές. Συναντάμε το πραγματικό άπειρο, ή τουλάχιστον μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα το συναντήσουμε, σε τρεις διαφορετικούς τομείς. Πρώτον, αφού αυτό το πραγματικό-άπειρο πραγματοποιείται στην ύψιστη τελειότητα, σε ένα εντελώς ανεξάρτητο, εξωκοσμικό ον, με μια λέξη - στο Deo sive natura naturante, και ο Cantor κατανοεί την τελευταία έκφραση όχι με την έννοια του πανθεϊσμού, αλλά με την αρχική έννοια που την έδωσαν ο Θωμάς Ακινάτης και άλλοι θεολόγοι. Εδώ το άπειρο είναι το απόλυτο μέγιστο και είναι αυτό που προηγουμένως ονομαζόταν Absolutum ή απόλυτο άπειρο. Δεύτερον, το πραγματικό-άπειρο μπορεί να προϋποτεθεί in concreto, στον εξαρτημένο κόσμο, στο πλάσμα, στη natura naturata. Εδώ ο Cantor το ονομάζει Transfinitum. Τέλος, τρίτον, το πραγματικό-άπειρο μπορεί να είναι in abstracto στο πνεύμα, αφού έχει την ικανότητα να αναγνωρίζει το Transfinitum στη φύση και, ως ένα βαθμό, το Absolutum στον Θεό. Στην τελευταία αυτή περίπτωση, το άπειρο ονομάζεται σύμβολα απείρου. Συγκεκριμένα, αν μιλάμε συγκεκριμένα για τη γνώση του Transfinitum, τα σύμβολα αυτά ονομάζονται transfinite numbers και transfinite types. Οι δύο τελευταίοι τύποι του άπειρου είναι επαυξήσιμα άπειρα. 835 Πλήρης βιβλιογραφία για τους επιστήμονες. ω άπειρο μη διαθέσιμο, ορισμένα υποδεικνύονται στο: Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 (“Bibliotheca mathematica”, 3 1, 1900, σ. 160), όπου ονομάζονται 70 άρθρα και βιβλία. – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Παρίσι, 1896, σ. 657–660; – “Encyclopädie d. Math. Wissensch.”, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1 , SS. 184 επ. – Εκτός από τα πολυάριθμα έργα του ιδρυτή της σύγχρονης εποχής. ουχ. σχετικά με την πράξη. ατελείωτος G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - άρθρα στο “Math. An.” Bdd. 46, 49· τα πιο σημαντικά άρθρα από άλλα περιοδικά που συγκεντρώθηκαν στο “Acta Math.”, 1883, 24), επόμενο. όνομα ειδικότερα: Killing, – Ueber transfiniten Zahlen («Math. An.», Bd. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – Lindelöf (“Comptes Rendus”, 1903(2), 37); – Evellin, – Infini et Qpantité. Etude sur le concept de l'infini en philos. et dans les Sciences, Παρίσι. 1880; – Γερ. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den “Abhandl. der Fries’schen Schule”, Bd. 1, Hft. 4). – Του, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann («Math. An.», Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – Άρθ. Schoenflies , – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten («Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung», Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Couturat (βλ. παραπάνω). – Μπορέλ,. – Χα πυκ. γλώσσα: I. [I.] Zhegalkin, - Transfinite numbers, M., 1907. - H. Weber and S. Wellstein, - Encyclopedia of elementary. μαθηματικά, μτφρ. μαζί του. επιμέλεια V. Kogan, επιμ. “Mathesis”, T. 1, Odessa, 1907. – A. Puankare, – Science and method. – A. B. Vasiliev, – Εισαγωγή. σε ανάλυση, τόμ. II., εκδ. N. N. Iovleva, Kazan, 1908. – Flor.. – “New. ideas in mathematics”, Σάββ. Νο. 1, εκδ. «Εικόνα.», Αγία Πετρούπολη, 1913. – Bolzano. Schelling, - Bruno (Ρωσική μετάφραση, εκδ. μαζί με το «Phil. study on the essence of the people of St.»). H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, σσ. 20 s. υπάρχει π.π. – Ομοίως, ο J. Tannry ισχυρίζεται ότι «η έννοια ενός ακέραιου αριθμού περιέχει ήδη την έννοια του άπειρου» (J. Tannry, - Pure Mathematics. «Method in the Sciences», μετάφραση από τη 2η γαλλική έκδοση των I. S. Yushkevich and I. K. Brusilovsky, «Education» Peterburgs1, σελ. 1, 1, σελ. 1, 1). Διον. Αρεοπ. , – Ω ουράνια. Hier. 14 (Ρωσ. σ. 1898, σ. 52). Απατώ. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen («Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.», Bd. 88, 1886. S. 215). Αυτή η εκδρομή – συντομ. διαχωρισμός από το "Σχετικά με το σύμβολο. ατελείωτο." . - Επιπλέον διάταγμα. έργα ιστορίας Δευτ. ω ατελείωτο Ένδειξη: Βυρσοδεψείο, – Ιστ. du concept de l'infini au IV siècle («Rev. philos.», XIV, 618).