Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

In motu quiesco. Bei schlechtem Wetter ruhig. Unendlichkeit, Unendlichkeit ist in gewöhnlichen Gesprächen sehr oft zu hören; aber man braucht nur um eine Erklärung dieser Worte zu bitten, um einen verwirrten Blick zu erregen. Wenn jedoch in der breiten Öffentlichkeit nur Missverständnisse herrschen, kommt es bei Menschen, die geistig arbeiten, häufig zu einer Perversion des Verständnisses und sogar zu völliger Verwirrung in dieser Hinsicht. Sehr starke und subtile Geister waren in der Frage des Konzepts der Unendlichkeit oft nicht frei von Unklarheiten und Auslassungen. Aus Platzgründen ist es uns leider nicht möglich, eine Reihe lehrreicher Beispiele zu nennen, aber der Leser wird anhand der weiteren Darstellung selbst herausfinden, auf wen hier Bezug genommen werden könnte. Allerdings hängen die Schwierigkeiten nur zum Teil und sogar zu einem sehr unbedeutenden Teil von der Abstraktheit der Frage ab; Der Hauptgrund dafür ist voreingenommenes Denken, die Zurückhaltung oder Unfähigkeit, den Forschungsgegenstand direkt zu betrachten. Beginnt mit dem Lernen in der Gewissheit, dass es bereits bekannt ist; und imaginäres Wissen, in Cantors Worten, der „Horror Infiniti“, der in der Gesellschaft herrscht, macht sich bemerkbar. Die Hauptfehler, die bei Überlegungen zum Unendlichen recht häufig gemacht werden, resultieren aus der Vernachlässigung der grundlegenden und völlig elementaren Unterscheidung zwischen tatsächlicher und potentieller Unendlichkeit. Daher muss ich ausführlicher auf diese Unterteilung eingehen, als mir lieb ist. Zunächst wird jedoch eine vorläufige Definition der Unendlichkeit gegeben; Wir werden nicht darauf aufbauen, da es nicht auf relativ einfachen Konzepten beruht, obwohl es an sich wahr ist. Jedes Quantum, oder, wie N.I. Lobachevsky schlägt vor zu sagen, dass jede „Kolik“ per Definition zweierlei sein kann. Es kann gegeben und unveränderlich und fest etabliert, völlig bestimmt sein, und dann wird es das darstellen, was man Dauerhaftigkeit oder Konstante nennt. Es kann auch unspezifisch sein, es kann sich verändern, größer oder kleiner werden. Im letzten Fall wird Quantum als Variable bezeichnet. Die tatsächliche Unendlichkeit ist also ein Sonderfall einer Konstante und des Potentials – einer variablen „Kolik“, und dies ist ihr tiefster grundlegender Unterschied – wenn Sie so wollen, ihr wesentliches Gegenteil. Lassen Sie uns dies genauer erklären. Lassen Sie uns eine Variable haben und sie sich nicht auf irgendeine Weise, sondern auf eine bestimmte Weise ändern, so dass sie mehr oder weniger als jede konstante „Kolik“ der gleichen Art wird. In jedem Zustand ist diese Variable endlich; aber nach unserem Verständnis unterscheidet sich die Gesamtheit dieser Zustände von der Gesamtheit beliebig ausgewählter Zustände. In diesem Sinne sagen wir, dass unser Quant potenziell unendlich ist, potenziell – aufgrund der Tatsache, dass es mehr werden kann als jedes andere Quant. Die potentielle Unendlichkeit bezeichnet also kein in sich genommenes Quantum, sondern nur eine besondere Art, das Quantum zu betrachten, nämlich im Zusammenhang mit der Natur seiner besonderen Veränderung. Potenzielle Unendlichkeit ist laut Cantor keine Idee, sondern nur ein Hilfsbegriff; es ist ens rationalis, so Stöckls fröhliche Miene. Mit einem Wort, potentielle Unendlichkeit ist das, was die Alten ἄπειρον nannten, die Scholastiker – syncategorematice infinitum oder indefinitum, die neuen Philosophen – schlechte oder, genauer gesagt, einfache Unendlichkeit, schlechte Unendlichkeit. Dieses nie endende potentielle Unendliche ist also eine variable endliche Größe, ein Quantum, das über alle Grenzen hinweg zunimmt oder umgekehrt unter jede endliche Grenze fällt. Dies sind zum Beispiel Differentiale, die bereits Leibniz gerade für diese Eigenschaft als reine Fiktionen charakterisiert hat. Vor diesem Hintergrund ist es klar, dass die Rede von einer vollständigen potentiellen Unendlichkeit, was laut Cantor Fontenelle getan hat, eine Widersprüchlichkeit in terminis ist. Unglücklicherweise haben zahllose Legionen von Autoritäten aller Fachrichtungen diese einfache Wahrheit zu fest erfasst und begannen, das Wort Potenzial vergessend, mit unterschiedlichen Stimmen zu erklären, dass „vollständige Unendlichkeit“ etwas Absurdes sei. Von hier stammt der alte Aphorismus: „Numerus infinitus repugnat“, daher Tongiorgis Aussage: „Multitudo actu infinita repugnat“ und andere ähnliche. Dieses scheinbar ganz harmlose Versäumnis führte zu mehr als einem groben Irrtum, auf dem übrigens auch Kants erste „Antinomien der reinen Vernunft“ basieren. Die sogenannten Argumente gegen die völlige Unendlichkeit und viele Überlegungen des Positivismus basieren, wie wir sehen werden, auf derselben Unterlassung. Betrachten wir nun eine andere Art von Unendlichkeit – die tatsächliche Unendlichkeit. Zu diesem Zweck kehren wir zu unserem Ausgangspunkt zurück, zum Begriff des Quanten, nämlich Quantum der Konstante, und werden den Inhalt dieses Begriffs der Konstante um eine neue Eigenschaft bereichern. Eine Konstante kann so beschaffen sein, dass sie in einer Reihe anderer Konstanten der gleichen Art steht, also mehr als einige endliche Konstanten und weniger als andere. Dann wird sie selbst endlich sein. Aber es kann vorkommen, dass sie nicht unter anderen Konstanten steht, weil sie größer ist als jede endliche Konstante, egal wie groß wir sie annehmen. Dann werden wir sagen, dass unser Quantum tatsächliche Unendlichkeit ist, Unendlichkeit in actu,actualiter und nicht nur in potentia. So offenbart beispielsweise Schelling 830 im Dialog „Bruno“ auf brillante Weise, dass jeder Begriff Unendlichkeit ist, weil er eine Menge von Darstellungen vereint, die nicht endlich sind; Da aber der Umfang des Begriffs im Wesentlichen vollständig definiert und gegeben ist, kann diese Unendlichkeit nichts anderes als die tatsächliche Unendlichkeit sein. Jedes Urteil, jeder Satz trägt die tatsächliche Unendlichkeit in sich, und darin liegt die ganze Kraft des logischen Denkens, wie Sokrates betonte. Nehmen wir konkretere Beispiele. Wenn wir uns zum Beispiel dem Raum zuwenden, können wir behaupten, dass alle Punkte innerhalb einer geschlossenen Oberfläche eine aktual-unendliche Menge bilden. Tatsächlich ist jeder von ihnen vollständig definiert, was bedeutet, dass alle von ihnen auch vollständig definiert sind; aber ihre Zahl übersteigt jede der Zahlen in der Reihe: 1, 2, 3... n,... und mehr als jede dieser Zahlen. Im gleichen Sinne können wir sagen, dass die Macht Gottes tatsächlich und unendlich ist, weil sie, da sie bestimmt ist (es gibt keine Veränderung in Gott), gleichzeitig größer ist als jede endliche Macht. 831 Der Autor des Buches „Über die himmlische Hierarchie“, ein Buch, das dem heiligen Dionysius dem Areopagiten zugeschrieben wird. „Und meiner Meinung nach“, sagt er, „ist das, was die Heilige Schrift über die Engel sagt, einer sorgfältigen Überlegung wert, das heißt, dass es Tausende von ihnen gibt und Dutzende von ihnen, wenn man die Zahlen mit sich selbst multipliziert, haben wir das Höchste. Dadurch zeigt es deutlich, dass die Arten himmlischer Wesen für uns unzählig sind; weil die gesegnete Armee erstklassiger Geister unzählig ist. Sie geht über das kleine und unzureichende Zählen der Zahlen hinaus, die wir verwenden, und wird durch ihr überlegenes Verständnis genau bestimmt.“ allein“ 832. In dem hier betrachteten Konzept der tatsächlichen Unendlichkeit ist nicht schwer zu erkennen, was die Alten unter dem Namen ἀφωρισμένον, bei den Scholastikern – unter dem Namen kategorematice infinitum, bei den neuen Philosophen – positive, eigentliche Unendlichkeit kannten. Wie Goethe es 833 ausdrückt, „ist dies eine geschlossene Unendlichkeit, die dem Menschen angemessener ist als der Sternenhimmel“, und letzterer wird natürlich gerade als eine gewisse Möglichkeit verstanden, immer weiter zu eilen, ohne jemals eine Synthese herstellen und sich im Großen und Ganzen niederlassen zu können. Hier stehen wir vor einer neuen Überlegung. Damit potenzielle Unendlichkeit möglich ist, muss unendliche Veränderung möglich sein. Für letzteres ist aber schließlich ein „Bereich“ der Veränderung notwendig, der sich selbst nicht verändern kann, da sonst ein Bereich der Veränderung für den Bereich usw. erforderlich wäre. Er ist jedoch nicht endlich und muss daher als tatsächlich unendlich anerkannt werden. Folglich setzt jede potentielle Unendlichkeit bereits die Existenz der aktualen Unendlichkeit als ihrer überendlichen Grenze voraus 834; Jeder unendliche Fortschritt setzt bereits die Existenz eines unendlichen Fortschrittsziels voraus; Jede unendliche Verbesserung erfordert die Anerkennung unendlicher Perfektion. Wer das Aktual-Unendliche in irgendeiner Hinsicht leugnet, leugnet damit in gleicher Hinsicht die potentielle Unendlichkeit, und der Positivismus trägt Elemente seiner eigenen Zersetzung in sich – beim Positivismus kommt es sozusagen zur Selbstvergiftung mit den Produkten seiner eigenen Tätigkeit. Basierend auf der oben offenbarten Definition der tatsächlichen Unendlichkeit können wir schlussfolgern, dass eine solche Unendlichkeit in zwei Modifikationen denkbar sein kann. Erstens: Da es größer als jedes endliche Quantum ist, kann es sein, dass es selbst kein anderes, ebenfalls unendliches Quantum gibt, das größer als es wäre; mit anderen Worten, es erweist sich hier als unfähig, weniger als alles andere zu sein. Das ist tatsächliche Unendlichkeit, unfähig zur Steigerung, das absolute Maximum; sowohl im Allgemeinen als auch im Cantor heißt es Absolutum. Zweitens, und diejenigen, die von Unendlichkeit sprachen, haben dies nicht bemerkt, ergibt sich aus der Definition der tatsächlichen Unendlichkeit die Möglichkeit ihrer zweiten Modifikation. Tatsächlich kann die tatsächliche Unendlichkeit andere Quanten über sich haben, die größer sind als sie selbst; dann wird es in der Lage sein, zu wachsen, es wird um tatsächlich Unendliches wachsen. Um eine endgültige Verwechslung von Wörtern und Längen zu vermeiden, nennt Kantor es Überendlichkeit. Lassen Sie uns von diesen formalen Überlegungen zu realen Überlegungen übergehen. In drei verschiedenen Bereichen begegnen wir der tatsächlichen Unendlichkeit oder können zumindest hoffen, ihr zu begegnen. Erstens, da dieses Aktual-Unendliche in höchster Vollkommenheit verwirklicht ist, in einem völlig unabhängigen, außerweltlichen Wesen, mit einem Wort – im Deo sive natura naturante, und Cantor den letzten Ausdruck nicht im Sinne des Pantheismus versteht, sondern im ursprünglichen Sinne, den ihm Thomas von Aquin und andere Theologen gegeben haben. Hier ist das Unendliche das absolute Maximum und das, was früher Absolutum oder absolute Unendlichkeit genannt wurde. Zweitens kann das Aktual-Unendliche in konkret, in der abhängigen Welt, im Geschöpf, in natura naturata vorausgesetzt werden. Hier nennt Cantor es Transfinitum. Drittens schließlich kann das Aktual-Unendliche im Geiste in abstracto sein, da es die Fähigkeit besitzt, das Transfinitum in der Natur und gewissermaßen das Absolutum in Gott zu erkennen. Im letzteren Fall wird die Unendlichkeit als Unendlichkeitssymbole bezeichnet. Insbesondere wenn wir speziell über das Wissen über Transfinitum sprechen, werden diese Symbole transfinite Zahlen und transfinite Typen genannt. Die letzten beiden Arten von Unendlichkeiten sind erweiterbare Unendlichkeiten. 835 Vollständige Bibliographie über Wissenschaftler. oh unendlich nicht verfügbar, einige sind angegeben in: Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 („Bibliotheca mathematica“, 3 1, 1900, S. 160), wo 70 Artikel und Bücher genannt werden; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Paris, 1896, S. 657–660; – „Encyclopädie d. Math. Wissensch.“, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1 , SS. 184 ff. – Neben den zahlreichen Werken des Begründers der Neuzeit. äh. über die Tat. endlos G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - Artikel in „Math. An.“ Bdd. 46, 49; die wichtigsten Artikel aus anderen Zeitschriften gesammelt in „Acta Math.“, 1883, 24), weiter. Name insbesondere: Tötung, – Ueber transfiniten Zahlen („Math. An.“, Bd. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – Lindelöf („Comptes Rendus“, 1903(2), 37); – Evellin, – Infini et Qpantité. Studie über das Konzept der Unendlichen und Philosophen. et dans les sciences, Paris. 1880; – Dt. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den „Abhandl. der Fries’schen Schule“, Bd. 1, Hft. 4). – His, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann („Math. An.“, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – Arth. Schoenflies, – Die Entwickelung d. 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