Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

In motu quiesco. Ticho za špatného počasí. Nekonečno, nekonečno je v běžném rozhovoru slyšet velmi často; ale stačí požádat o vysvětlení těchto slov, aby se setkal s zmateným pohledem. Pokud však v široké veřejnosti existuje pouze nedorozumění, pak mezi lidmi zabývajícími se duševní prací často dochází k perverzi v chápání a dokonce k úplnému zmatku v tomto ohledu. Velmi silné a subtilní mysli často nebyly prosty nejasností a opomenutí v otázce pojmu nekonečno. Nedostatek místa nám bohužel neumožňuje uvést řadu poučných příkladů, ale na koho by se zde mohl odkazovat, si čtenář z dalšího výkladu domyslí sám. Potíže však závisejí jen zčásti a dokonce z velmi nepatrné části na abstraktnosti otázky; hlavním důvodem je zde neobjektivní myšlení, neochota či neschopnost podívat se přímo na objekt zkoumání. Začne studovat s důvěrou, že je to již známo; a imaginární vědění, řečeno Cantorovými slovy, „horor infiniti“, který ve společnosti vládne, je cítit. Hlavní chyby, kterých se v uvažování o nekonečnu poměrně často dopouští, se objevují v důsledku zanedbání základního a zcela elementárního rozlišení mezi skutečným a potenciálním nekonečnem. Budu se proto muset u tohoto rozdělení pozastavit podrobněji, než bych chtěl. Prozatím však bude uvedena předběžná definice nekonečna; Nebudeme na tom stavět, protože se nespoléhá na docela jednoduché koncepty, i když samo o sobě je to pravda. Každé kvantum, nebo jako N.I. Lobačevskij navrhuje říci, že každá „kolika“ může být podle své definice dvojí. Může být dáno a neměnně a pevně ustaveno, zcela definitivně, a pak bude představovat to, co se nazývá trvalé nebo stálé. Také nemusí být konkrétní, může se měnit, zvětšovat nebo zmenšovat. V tomto posledním případě se kvantum nazývá proměnná. Skutečné nekonečno je tedy zvláštním případem konstanty a potenciálu – proměnné „koliky“, a to je jejich nejhlubší základní rozdíl – chcete-li, jejich podstatný opak. Pojďme si to vysvětlit podrobněji. Mějme proměnnou a nechme ji změnit ne nějakým způsobem, ale určitým způsobem, aby se stala více než jakoukoli konstantní „kolikou“ stejného druhu nebo méně. V každém stavu je tato proměnná konečná; ale v našem chápání se totalita těchto států liší od totality libovolných libovolně vybraných států. V tomto smyslu říkáme, že naše kvantum je potenciální nekonečno, potenciál – díky tomu, že se může stát více než jakékoli jiné kvantum. Potenciální nekonečno tedy neoznačuje nějaké kvantum vzaté v sobě, ale pouze zvláštní způsob uvažování o kvantu, totiž v souvislosti s povahou jeho zvláštní změny. Potenciální nekonečno podle Cantora není myšlenka, ale pouze pomocný pojem; je to ens rationis, podle Stöcklova šťastného výrazu. Jedním slovem, potenciální nekonečno je to, co staří lidé nazývali ἄπειρον, scholastici - syncategorematice infinitum nebo indefinitum, noví filozofové - špatné nebo přesněji jednoduché nekonečno, schlechte Unendlichkeit. Takže toto nekonečné potenciální nekonečno je proměnná konečná veličina, kvanta, rostoucí přes všechny hranice, nebo naopak klesající pod jakoukoli konečnou mez. Takové jsou například diferenciály, charakterizované již Leibnizem právě pro tuto vlastnost, jako čisté fikce. Vzhledem k tomu je jasné, že mluvit o úplném potenciálním nekonečnu, což podle Cantora Fontenelle udělala, je kontradikce in terminis. Uvažujme nyní o jiném druhu nekonečna – skutečném nekonečnu. Za tímto účelem se vracíme k našemu výchozímu bodu, k pojmu kvanta, totiž kvantu konstanty, a obohatíme obsah tohoto pojmu konstanty o nový rys. Některá konstanta může být taková, že stojí v řadě jiných konstant stejného druhu, tedy více než některé konečné konstanty a méně než jiné. Pak bude ona sama konečná. Může se ale stát, že neobstojí mezi ostatními konstantami, protože je větší než jakákoli konečná konstanta, ať už ji bereme jakkoli velkou. Potom řekneme, že naše kvantum je aktuální nekonečno, nekonečno v aktu, aktualitě, a nejen v potenci. Tak například v dialogu „Bruno“ Schelling 830 brilantně odhaluje, že každý koncept je nekonečno, protože sjednocuje množinu reprezentací, která není konečná; ale protože rozsah pojmu je v podstatě zcela definován a dán, pak toto nekonečno nemůže být nic jiného než skutečné nekonečno. Každý soud, každý teorém v sobě nese aktuální nekonečno, a to je celá síla logického myšlení, jak poukázal Sokrates. Vezměme si konkrétnější příklady. Například otočením do prostoru můžeme tvrdit, že všechny body uvnitř nějaké uzavřené plochy tvoří skutečně nekonečnou množinu. Ve skutečnosti je každý z nich zcela definován, což znamená, že všechny jsou také zcela definovány; ale jejich počet přesahuje kterékoli z čísel v řadě: 1, 2, 3... n,... a více než každé z těchto čísel. Ve stejném smyslu můžeme říci, že Boží moc je skutečná a nekonečná, protože tím, že je určena (neexistuje žádná změna v Bohu), je zároveň větší než jakákoli konečná síla. 831 Autor knihy „O nebeské hierarchii“, knihy připisované sv. Dionýsiovi Areopagitovi. "A to, podle mého názoru," říká, "je hodné pečlivého zamyšlení, co Písmo říká o andělech, to znamená, že jich jsou tisíce a desítky, násobíme-li počty samy sebou, máme nejvyšší. Tím jasně ukazuje, že druhů nebeských bytostí je pro nás nespočet; protože požehnaná armáda prémiových myslí je nespočetná a početná, přesně určená, převyšuje jejich použití. samotné porozumění“ 832. V konceptu skutečného nekonečna, který je zde uvažován, není těžké rozpoznat to, co starověcí znali pod názvem ἀφωρισμένον, mezi scholastiky - pod názvem kategorematice infinitum, mezi novými filozofy - pozitivní, vlastní nekonečno. Jak říká Goethe, 833 „toto je uzavřené nekonečno, vhodnější pro člověka než hvězdné nebe“, a to druhé je samozřejmě chápáno právě jako určitá možnost řítit se dál a dál, aniž by nikdy nebylo možné vytvořit syntézu a usadit se v celku. Zde stojíme před novou úvahou. Aby bylo možné potenciální nekonečno, musí být možná nekonečná změna. Ale pro posledně jmenovaný je přece nutný „oblast“ změny, která se sama nemůže změnit, protože jinak by bylo nutné vyžadovat oblast změny pro region atd. Není však konečná, a proto musí být uznána jako skutečně nekonečná. V důsledku toho jakékoli potenciální nekonečno již předpokládá existenci skutečného nekonečna jako jeho superkonečné limity 834; každý nekonečný pokrok již předpokládá existenci nekonečného cíle pokroku; každé nekonečné zlepšení vyžaduje uznání nekonečné dokonalosti. Kdo v jakémkoli ohledu popírá skutečné-nekonečno, tím popírá ve stejném ohledu potenciální nekonečno, a pozitivismus v sobě nese prvky vlastního rozkladu – takříkajíc u pozitivismu dochází k sebeotravě produkty jeho vlastní činnosti. Na základě výše odhalené definice skutečného nekonečna můžeme dojít k závěru, že takové nekonečno je možné si představit ve dvou modifikacích. Za prvé, protože je větší než jakékoli konečné kvantum, samo se může ukázat, že nemá další kvantum, také nekonečné, které by bylo větší než ono; jinými slovy, zde se ukazuje, že není schopen být méně než cokoli jiného. Toto je skutečné nekonečno, neschopné zvýšení, absolutní maximum; jak obecně, tak v Cantoru se nazývá Absolutum. Za druhé, a ti, kdo mluvili o nekonečnu, si toho nevšimli, z definice skutečného nekonečna vyplývá možnost jeho druhé modifikace. Skutečné nekonečno může mít nad sebou další kvanta, větší než je ono samo; pak se bude moci zvětšovat, bude se zvětšovat skutečným nekonečnem. Aby se jednou provždy vyhnul záměně slov a délek, dal jí Kantor jméno superúd, Ueberendlichkeit. Od těchto formálních úvah přejděme k těm skutečným. Se skutečným nekonečnem se setkáváme, nebo alespoň můžeme doufat, že se s ním setkáme, ve třech různých oblastech. Za prvé, protože toto skutečné-nekonečno se uskutečňuje v nejvyšší dokonalosti, ve zcela nezávislé, mimosvětské bytosti, jedním slovem - in Deo sive natura naturante, a Cantor chápe poslední výraz nikoli ve smyslu panteismu, ale v původním smyslu, který mu dal Tomáš Akvinský a další teologové. Zde je nekonečno absolutním maximem a je to, co se dříve nazývalo Absolutum nebo absolutní nekonečno. Za druhé, skutečné-nekonečno lze předpokládat in concreto, v závislém světě, ve stvoření, in natura naturata. Zde tomu Cantor říká Transfinitum. Konečně, za třetí, skutečné-nekonečno může být in abstracto v duchu, protože má schopnost poznat Transfinitum v přírodě a do jisté míry Absolutum v Bohu. V tomto druhém případě se nekonečno nazývá symboly nekonečna. Zejména pokud mluvíme konkrétně o znalosti Transfinitum, tyto symboly se nazývají transfinitní čísla a transfinitní typy. Poslední dva typy nekonečna jsou rozšiřitelná nekonečna. 835 Kompletní bibliografie o vědcích. oh nekonečno není k dispozici, některé jsou uvedeny v: Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 („Bibliotheca mathematica“, 3 1, 1900, s. 160), kde je jmenováno 70 článků a knih; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Paříž, 1896, s. 657–660; – „Encyclopädie d. Math. Wissensch.“, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1, SS. 184 a násl. – Vedle četných děl zakladatele novověku. uch. o činu. nekonečný G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - články v „Math. An.“ Bdd. 46, 49; nejdůležitější články z jiných časopisů sebrané v „Acta Math.“, 1883, 24), další. jmenovitě: Killing, – Ueber transfiniten Zahlen („Math. An.“, Bd. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – Lindelöf („Comptes Rendus“, 1903(2), 37); – Evellin, – Infini et Qpantité. Etude sur le concept de l'infini en philos. et dans les sciences, Paříž. 1880; – Ger. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den „Abhandl. der Fries’schen Schule“, Bd. 1, Hft. 4). – Jeho, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann („Math. An.“, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – Arth. Schoenflies , – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten („Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung“, Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Couturat (viz výše). – Borel,. – Ha pyc. jazyk: I. [I.] Zhegalkin, - Transfinitní čísla, M., 1907. - H. Weber a S. Wellstein, - Encyklopedie elementárních. matematika, přel. s ním. upravil V. Kogan, ed. „Mathesis“, T. 1, Odessa, 1907. – A. Puankare, – Věda a metoda. – A. B. Vasiliev, – Úvod. v rozboru, sv. II., ed. N. N. Iovleva, Kazaň, 1908. – Flor.. – „Nové. myšlenky v matematice,“ So. č. 1, ed. “Obraz.”, Petrohrad, 1913. – Bolzano. Schelling, - Bruno (ruský překlad, vyd. spolu s „Fil. studií o podstatě lidu sv.“). H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, s. 20 s. je tam p.p. – Podobně J. Tannry tvrdí, že „pojem celého čísla již obsahuje pojem nekonečna“ (J. Tannry, - Čistá matematika. „Metoda ve vědách“, přeloženo z 2. francouzského vydání I. S. Juškeviče a I. K. Brusilovského, nakladatelství „Vzdělávání“, St. Petersburg, s. 351). Dion. Areop. , – Oh nebeský. Hier. 14 (Rus. str. 1898, str. 52). Ošidit. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen („Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.“, Bd. 88, 1886. S. 215). Tato exkurze – zkr. oddělení od "O symbolu. nekonečné." . - Navíc vyhláška. práce o historii Mon. oh nekonečný Indikace: Koželužna, – Hist. du concept de l'infini au IV siècle („Rev. philos.“, XIV, 618).