Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

In motu quiesco. Тишина при лошо време. Безкрайност, безкрайност се чува много често в обикновен разговор; но човек трябва само да поиска обяснение на тези думи, за да бъде посрещнат с озадачен поглед. Въпреки това, ако в широката публика има само неразбиране, тогава сред хората, занимаващи се с умствена работа, често има извращение в разбирането и дори пълно объркване по този въпрос. Много силните и фини умове често не са били свободни от неясноти и пропуски по въпроса за концепцията за безкрайността. Липсата на място, за съжаление, не ни позволява да дадем редица поучителни примери, но читателят сам ще разбере от по-нататъшното изложение на кого може да се позове тук. Трудностите обаче зависят само отчасти и дори в много незначителна част от абстрактността на въпроса; основната причина тук е пристрастното мислене, нежеланието или неспособността да се погледне директно обекта на изследване. Започва да учи с увереност, че вече е известно; и въображаемото знание, по думите на Кантор, „ужасната безкрайност“, която царува в обществото, се усеща. Основните грешки, които се допускат доста често в разсъжденията за безкрайното, се появяват в резултат на пренебрегването на основното и напълно елементарно разграничение между действителна и потенциална безкрайност. Затова ще трябва да се спра на това разделение по-подробно, отколкото ми се иска. Засега обаче ще бъде дадена предварителна дефиниция на безкрайността; Няма да надграждаме върху него, тъй като не разчита на доста прости концепции, въпреки че само по себе си е вярно. Всеки квант, или, както Н.И. Лобачевски предлага да се каже, че всяка „колика“ по самото си определение може да бъде двойна. Може да бъде дадено и непроменимо и твърдо установено, напълно определено и тогава ще представлява това, което се нарича постоянно или постоянно. Може също да не е специфично, може да се промени, да стане по-голямо или по-малко. В последния случай квантът се нарича променлива. И така, действителната безкрайност е частен случай на константа, а потенциалната - променлива "колика", и това е най-дълбоката им фундаментална разлика - ако искате, тяхната съществена противоположност. Нека обясним това по-подробно. Нека имаме променлива и нека тя се променя не по някакъв начин, а по определен начин, така че да стане повече от всяка постоянна „колика“ от същия вид или по-малко. Във всяко състояние тази променлива е крайна; но според нашето разбиране съвкупността от тези състояния се различава от съвкупността на всякакви произволно избрани състояния. В този смисъл казваме, че нашият квант е потенциална безкрайност, потенциал – поради факта, че може да стане повече от всеки друг квант. По този начин потенциалната безкрайност не означава каквото и да е количество, взето в себе си, а само специален начин за разглеждане на кванта, а именно във връзка с природата на неговата специална промяна. Потенциалната безкрайност, според Кантор, не е идея, а само спомагателно понятие; това е ens rationis, според щастливото изражение на Щьокл. С една дума потенциалната безкрайност е това, което древните са наричали ἄπειρον, схоластиците - syncategorematice infinitum или indefinitum, новите философи - лоша или по-точно проста безкрайност, schlechte Unendlichkeit. И така, тази безкрайна потенциална безкрайност е променлива крайна величина, квант, нарастваща над всички граници или, обратно, падаща под която и да е крайна граница. Такива са например диференциалите, характеризирани още от Лайбниц, именно по това свойство, като чисти фикции. С оглед на това е ясно, че говоренето за пълна потенциална безкрайност, което според Кантор е направил Фонтенел, е contradictio in terminis. За съжаление, безброй, легион, авторитети от всички специалности са схванали тази проста истина твърде здраво и, забравяйки за думата потенциал, започнаха да заявяват на различни гласове, че "пълната безкрайност" е нещо абсурдно. Оттук идва старият афоризъм: „Numerus infinitus repugnat“, оттук и твърдението на Тонгьорги: „Multitudo actu infinita repugnat“ и други подобни. Този на пръв поглед съвсем невинен пропуск породи повече от една груба грешка и, между другото, първите „антиномии на чистия разум“ на Кант се основават на него. Така наречените аргументи срещу пълната безкрайност и много съображения на позитивизма се основават на същия този пропуск, както ще видим. Нека сега разгледаме друг вид безкрайност - действителната безкрайност. За целта се връщаме към нашата отправна точка, към понятието квант, а именно квант на константата, и ще обогатим съдържанието на това понятие за константа с нова характеристика. Някоя константа може да бъде такава, че да стои в поредица от други константи от същия вид, тоест повече от някои крайни константи и по-малко от други. Тогава тя самата ще бъде ограничена. Но може да се случи така, че да не стои сред другите константи, защото е по-голяма от всяка крайна константа, независимо колко голяма я приемаме. Тогава ще кажем, че нашият квант е действителна безкрайност, безкрайност in actu, actualiter, а не само in potentia. Така например в диалога „Бруно” Шелинг 830 брилянтно разкрива, че всяко понятие е безкрайност, защото обединява набор от репрезентации, който не е краен; но тъй като обхватът на понятието по същество е напълно дефиниран и даден, тогава тази безкрайност не може да бъде нищо друго освен действителна безкрайност. Всяко съждение, всяка теорема носи в себе си действителна безкрайност и това е цялата сила на логическото мислене, както посочи Сократ. Да вземем по-конкретни примери. Например, обръщайки се към пространството, можем да твърдим, че всички точки вътре в някаква затворена повърхност образуват действително безкрайно множество. Всъщност всеки от тях е напълно дефиниран, което означава, че всички те също са напълно дефинирани; но техният брой обаче надвишава някое от числата в редицата: 1, 2, 3... n,... и повече от всяко от тези числа. В същия смисъл можем да кажем, че силата на Бог е действителна и безкрайна, защото тя, като е определена (няма промяна в Бога), е в същото време по-голяма от всяка крайна сила. 831 Автор на книгата "За небесната йерархия", книга, приписвана на св. Дионисий Ареопагит. "И това, по мое мнение", казва той, "заслужава внимателно размишление, какво казва Писанието за ангелите, тоест, че има хиляди от тях и десетки от тях, умножавайки числата по себе си, ние имаме най-високите. Чрез това ясно показва, че видовете небесни същества са безбройни за нас; защото благословената армия от първокласни умове е безбройна. Тя надминава малките и недостатъчните броене на числата, които използваме, и се определя точно от тяхното висше разбиране” 832. В разглежданото тук понятие за актуална безкрайност не е трудно да разпознаем онова, което древните са знаели под името ἀφωρισμένον, сред схоластиците – под името kategorematice infinitum, сред новите философи – положителна, собствена безкрайност. Както казва Гьоте, 833 „това е една затворена безкрайност, по-подходяща за човека от звездното небе“, а последното, разбира се, се разбира именно като известна възможност да се стремим все повече и повече, без никога да можем да произведем синтез и да се установим като цяло. Тук сме изправени пред ново съображение. За да бъде възможна потенциалната безкрайност, трябва да е възможна безкрайна промяна. Но в края на краищата за последното е необходим „регион“ на промяна, който сам по себе си не може да се промени, тъй като в противен случай би било необходимо да се изисква регион на промяна за региона и т.н. Той обаче не е краен и следователно трябва да бъде признат за действително безкраен. Следователно, всяка потенциална безкрайност вече предполага съществуването на действителна безкрайност като своя свръхкрайна граница 834; всеки безкраен прогрес вече предполага съществуването на безкрайна цел на прогреса; всяко безкрайно подобрение изисква признаване на безкрайно съвършенство. Който отрича актуалното-безкрайно в каквото и да е отношение, с това отрича и потенциалната безкрайност в същото отношение, а позитивизмът носи в себе си елементи на собственото си разлагане - така да се каже, при позитивизма става самоотравяне с продуктите на собствената му дейност. Въз основа на определението за действителна безкрайност, разкрито по-горе, можем да заключим, че такава безкрайност може да бъде възможна в две модификации. Първо, бидейки по-голям от всеки краен квант, той самият може да се окаже, че няма друг квант, също безкраен, който да е по-голям от него; с други думи, тук се оказва неспособен да бъде по-малко от всичко друго. Това е действителната безкрайност, неподлежаща на нарастване, абсолютният максимум; както по принцип, така и в Кантор, той се нарича Absolutum. Второ, а онези, които говореха за безкрайност, не забелязаха това, от дефиницията на действителната безкрайност следва възможността за нейната втора модификация. Действителната безкрайност, по-точно, може да има над себе си други кванти, по-големи от себе си; тогава ще може да се увеличава, ще се увеличава до действителна безкрайност. За да се избегне веднъж завинаги объркване на думи и дължини, Кантор му дава името супер-крайник, Ueberendlichkeit. От тези формални съображения нека преминем към реалните. Срещаме действителната безкрайност или поне можем да се надяваме да я срещнем в три различни области. Първо, тъй като това действително-безкрайно се осъществява в най-висшето съвършенство, в едно напълно самостоятелно, извънземно битие, с една дума – в Deo sive natura naturante, а Кантор разбира последния израз не в смисъла на пантеизма, а в първоначалния смисъл, който му придават Тома Аквински и други теолози. Тук безкрайното е абсолютният максимум и това, което преди се е наричало Absolutum или абсолютна безкрайност. Второ, действителното-безкрайно може да бъде предпоставено in concreto, в зависимия свят, в творението, in natura naturata. Тук Кантор го нарича Transfinitum. И накрая, трето, актуалното-безкрайно може да бъде in abstracto в духа, тъй като има способността да познава Transfinitum в природата и до известна степен Absolutum в Бога. В този последен случай безкрайността се нарича символи за безкрайност. По-специално, ако говорим конкретно за знанието на Transfinitum, тези символи се наричат ​​трансфинитни числа и трансфинитни типове. Последните два вида безкрайност са увеличаваеми безкрайности. 835 Пълна библиография на учените. oh infinite не са налични, някои са посочени в: Vivanti, - Lista bibliografia della teoria degli aggregati 1893–1899 (“Bibliotheca mathematica”, 3 1, 1900, p. 160), където са посочени 70 статии и книги; – L. Couturat, – De l’Infini Mathématique, Париж, 1896, стр. 657–660; – „Encyclopädie d. Math. Wissensch.“, Lpz., 1898–1904, Bd. 1 1 , SS. 184 ff. – В допълнение към многобройните произведения на основателя на новото време. уч. относно акта. безкраен G. Cantor (Grundl. einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Lpz. 1883; - статии в “Math. An.” Bdd. 46, 49; най-важните статии от други списания, събрани в “Acta Math.”, 1883, 24), следващ. име по-специално: Killing, – Ueber transfiniten Zahlen (“Math. An.”, Bd. 48); – Veronese, – Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infenitesimali attuali (id., Bd. 47); – Lindelöf (“Comptes Rendus”, 1903(2), 37); – Evellin, – Infini et Qpantité. Etude sur le concept de l'infini en philos. et dans les sciences, Париж. 1880 г.; – Гер. Hessenberg, – Grundbegriffe der Mengenlehre, Göttingen, 1906 (Sonderabdr. aus den “Abhandl. der Fries’schen Schule”, Bd. 1, Hft. 4). – His, – Das Unendliche in die Mathematik (id. Bd. 1, Hft. 3). – E. Zermelo, – Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (“Math. An.”, Bd. 59, 1904, SS. 514–516). – чл. Schoenflies , – Die Entwickelung d. Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten (“Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung”, Lpz., 1900, Bd. 8, Hft. 2). – Кутюра (виж по-горе). – Борел,. – Ха рис. език: И. [И.] Жегалкин, - Трансфинитни числа, М., 1907. - Х. Вебер и С. Уелщайн, - Енциклопедия на елемент. математика, прев. с него. под редакцията на В. Коган, изд. “Матезис”, Т. 1, Одеса, 1907. – А. Пуанкаре, – Наука и метод. – А. Б. Василиев, – Въведение. в анализ, кн. II., изд. Н. Н. Йовлева, Казан, 1908. – Флор.. – „Нови идеи в математиката”, сб. No1, изд. “Образ.”, Санкт Петербург, 1913. – Болцано. Шелинг, - Бруно (превод на руски, изд. заедно с „Фил. изследване за същността на народа на Св.”). H. Poincaré, – La Science et l’Hypothèse, стр. 20 s. има п.п. – По същия начин J. Tannry твърди, че „концепцията за цяло число вече съдържа концепцията за безкрайност“ (J. Tannry, - Pure Mathematics. „Method in the Sciences“, превод от 2-ро френско издание от I. S. Yushkevich и I. K. Brusilovsky, издателство „Образование“, Санкт Петербург, 1911 г., стр. 35). Дион. Ареоп. , – О, божествено. Hier. 14 (Рус. с. 1898, с. 52). Con. Gutberlet, – Das Problem d. Unendlichen (“Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr.”, Bd. 88, 1886. S. 215). Тази екскурзия – съкр. отделяне от „Относно символа. безкраен.“ . - В допълнение постановление. работи по история пон. о безкрайно Индикация: кожарска фабрика, – Ист. du concept de l'infini au IV siècle (“Rev. philos.”, XIV, 618).