Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности 829 .

في موتو كويسكو. هادئ في الطقس السيئ. لانهائي، يتم سماع اللانهاية في كثير من الأحيان في محادثة عادية؛ ولكن على المرء فقط أن يطلب تفسيرًا لهذه الكلمات ليقابل بنظرة محيرة. ومع ذلك، إذا كان هناك سوء فهم فقط في عامة الناس، فمن بين الأشخاص المشاركين في العمل العقلي، غالبا ما يكون هناك انحراف في الفهم وحتى الارتباك الكامل في هذا الصدد. العقول القوية والدقيقة جدًا لم تكن في كثير من الأحيان خالية من الغموض والإغفالات فيما يتعلق بمسألة مفهوم اللانهاية. ولسوء الحظ، فإن ضيق المساحة لا يسمح لنا بإعطاء عدد من الأمثلة المفيدة، ولكن القارئ سيكتشف بنفسه من العرض التقديمي الإضافي من الذي يمكن الإشارة إليه هنا. ومع ذلك، فإن الصعوبات تعتمد جزئيا فقط، وحتى في جزء ضئيل للغاية، على تجريد السؤال؛ السبب الرئيسي هنا هو التفكير المتحيز، أو التردد أو عدم القدرة على النظر إلى موضوع البحث مباشرة. يبدأ الدراسة بثقة أنه معروف بالفعل؛ والمعرفة الخيالية، على حد تعبير كانتور، "الرعب اللانهائي" الذي يسود المجتمع، تجعل نفسها محسوسة. الأخطاء الرئيسية التي يتم ارتكابها في كثير من الأحيان في التفكير حول اللانهائي تظهر نتيجة إهمال التمييز الأساسي والأولي تمامًا بين اللانهاية الفعلية والمحتملة. لذلك، سيتعين علي أن أتناول هذا التقسيم بمزيد من التفصيل مما أود. ومع ذلك، سيتم تقديم تعريف أولي لللانهاية في الوقت الحالي؛ ولن نبني عليه، لأنه لا يعتمد على مفاهيم بسيطة إلى حد ما، رغم أنه في حد ذاته صحيح. كل الكم، أو، كما N.I. ويقترح لوباتشيفسكي القول إن كل "مغص"، بحكم تعريفه، يمكن أن يكون ذو شقين. يمكن أن تكون معطاة وغير قابلة للتغيير وثابتة، ومحددة تماما، وبعد ذلك سوف تمثل ما يسمى دائم أو ثابت. كما أنها قد لا تكون محددة، وقد تتغير، وتصبح أكبر أو أصغر. وفي هذه الحالة الأخيرة، يسمى الكم متغيرًا. لذا، فإن اللانهاية الفعلية هي حالة خاصة من الثابت، والاحتمال - "مغص" متغير، وهذا هو الاختلاف الأساسي الأعمق بينهما - إذا أردت، نقيضهما الأساسي. دعونا نشرح هذا بمزيد من التفصيل. دعونا نمتلك متغيرًا، وندعه يتغير ليس بطريقة ما، بل بطريقة معينة، بحيث يصبح أكثر من أي "مغص" ثابت من نفس النوع، أو أقل. في كل حالة يكون هذا المتغير محدودًا؛ ولكن في فهمنا، فإن مجمل هذه الحالات يختلف عن مجمل أي حالات تم اختيارها بشكل تعسفي. وبهذا المعنى، نقول إن كمنا هو احتمال لا نهائي، محتمل - لأنه يمكن أن يصبح أكثر من أي كم آخر. ومن ثم، فإن اللانهاية المحتملة لا تشير إلى أي كم مأخوذ في ذاتها، بل تشير فقط إلى طريقة خاصة للنظر إلى الكم، أي فيما يتعلق بطبيعة تغيره الخاص. إن اللانهاية المحتملة، بحسب كانتور، ليست فكرة، بل مجرد مفهوم مساعد؛ إنه أمر منطقي، وفقًا لتعبير Stöckl السعيد. باختصار، اللانهاية المحتملة هي ما أطلق عليه القدماء ἄπειρον، والمدرسون - Syncategorematice infinitum أو indefinitum، والفلاسفة الجدد - سيئة، أو بشكل أكثر دقة، اللانهاية البسيطة، Schlechte Unendlichkeit. إذن، هذا الكمون اللانهائي الذي لا ينتهي أبدًا هو كمية محدودة متغيرة، كمًا، يتزايد عبر كل الحدود، أو، على العكس، يقع تحت أي حد محدود. على سبيل المثال، هذه هي الفوارق، التي وصفها لايبنتز بالفعل، على وجه التحديد بهذه الخاصية، باعتبارها خيالًا خالصًا. في ضوء ذلك، يتضح أن الحديث عن اللانهاية المحتملة الكاملة، وهو ما فعله فونتينيل، بحسب كانتور، هو تناقض في النهاية. لسوء الحظ، فإن عددًا لا يحصى من السلطات من جميع التخصصات قد استوعبت هذه الحقيقة البسيطة بحزم شديد، ونسيت كلمة الإمكانات، وبدأت تعلن بأصوات مختلفة أن "اللانهاية الكاملة" شيء سخيف. ومن هنا يأتي القول المأثور القديم: "العدد اللانهائي مكرر"، ومن هنا قول تونجيورجي: "العدد اللانهائي مكرر" وأمثاله. أدى هذا الإغفال البريء تمامًا على ما يبدو إلى ظهور أكثر من خطأ فادح، وبالمناسبة، فإن "تناقضات العقل الخالص" الأولى لكانط مبنية على هذا الخطأ. إن ما يسمى بالحجج ضد اللانهاية الكاملة والعديد من اعتبارات الوضعية مبنية على نفس هذا الإغفال، كما سنرى. دعونا الآن نفكر في نوع آخر من اللانهاية - اللانهاية الفعلية. ولهذا الغرض نعود إلى نقطة انطلاقتنا، إلى مفهوم الكم، وهو الكم الثابت، وسنثري محتوى مفهوم الثابت هذا بسمة جديدة. قد يكون بعض الثوابت بحيث يقف في سلسلة من الثوابت الأخرى من نفس النوع، أي أكثر من بعض الثوابت المنتهية وأقل من غيرها. عندها ستكون هي نفسها محدودة. ولكن قد يحدث أنه لا يقف بين الثوابت الأخرى، لأنه أكبر من أي ثابت منتهي مهما أخذنا منه. ثم سنقول إن الكم لدينا هو اللانهاية الفعلية، واللانهاية في الفعل، والفعل، وليس فقط في الإمكانات. لذلك، على سبيل المثال، في حوار "برونو" يكشف شيلينج 830 ببراعة أن كل مفهوم هو لانهاية، لأنه يوحد مجموعة من التمثيلات غير المنتهية؛ ولكن بما أن نطاق المفهوم، في جوهره، محدد ومعطى بالكامل، فإن هذه اللانهاية لا يمكن أن تكون أي شيء آخر غير اللانهاية الفعلية. كل حكم، كل نظرية تحمل في داخلها اللانهاية الفعلية، وهذه هي القوة الكاملة للتفكير المنطقي، كما أشار سقراط. لنأخذ أمثلة أكثر تحديدا. على سبيل المثال، بالانتقال إلى الفضاء، يمكننا التأكيد على أن جميع النقاط الموجودة داخل سطح مغلق تشكل مجموعة فعلية لا نهائية. في الواقع، كل واحد منهم محدد تمامًا، مما يعني أن جميعهم محددون تمامًا أيضًا؛ لكن عددها يفوق أي رقم من أرقام السلسلة: 1، 2، 3... ن،... وأكثر من كل رقم من هذه الأرقام. وبنفس المعنى يمكننا أن نقول أن قوة الله فعلية وغير محدودة، لأنها، كونها محددة (لا تغيير في الله)، هي في نفس الوقت أعظم من أي قوة محدودة. 831 مؤلف كتاب “في التسلسل السماوي” وهو كتاب منسوب للقديس ديونيسيوس الأريوباغي. "وهذا، في رأيي،" يقول، "يستحق التفكير بعناية، ما يقوله الكتاب المقدس عن الملائكة، أي أن هناك الآلاف منهم وعشرات منهم، مضاعفة الأعداد بأنفسهم، نحصل على الأعلى. من خلال هذا يظهر بوضوح أن أنواع الكائنات السماوية لا حصر لها بالنسبة لنا؛ لأن الجيش المبارك من العقول المتميزة لا يحصى. إنه يفوق العد الصغير وغير الكافي للأرقام التي نستخدمها، ويتم تحديده بدقة من خلال فهمهم المتفوق وحده ". 832. في مفهوم اللانهاية الفعلية الذي تم تناوله هنا، ليس من الصعب التعرف على ما عرفه القدماء تحت اسم ἀφωρισμένον، بين المدرسيين - تحت اسم kategorematice infinitum، بين الفلاسفة الجدد - اللانهاية الإيجابية الصحيحة. وكما يقول غوته، 833 "هذه لانهاية مغلقة، أكثر ملاءمة للإنسان من السماء المرصعة بالنجوم"، والأخيرة، بالطبع، تُفهم على وجه التحديد على أنها إمكانية معينة للاندفاع أبعد وأبعد، دون القدرة على إنتاج توليفة والاستقرار على الكل. وهنا نحن أمام اعتبار جديد. لكي تكون اللانهاية المحتملة ممكنة، يجب أن يكون التغيير اللانهائي ممكنًا. ولكن، بعد كل شيء، بالنسبة للأخيرة، هناك حاجة إلى "منطقة" التغيير، والتي لا يمكن أن تتغير في حد ذاتها، لأنه بخلاف ذلك سيكون من الضروري طلب منطقة تغيير للمنطقة، وما إلى ذلك. ومع ذلك، فهي ليست محدودة، وبالتالي، يجب الاعتراف بها على أنها لا نهاية لها في الواقع. وبالتالي، فإن أي لانهاية محتملة تفترض بالفعل وجود اللانهاية الفعلية كحدها الفائق 834؛ كل تقدم لانهائي يفترض بالفعل وجود هدف لانهائي للتقدم؛ كل تحسين لانهائي يتطلب الاعتراف بالكمال اللامتناهي. إن من ينكر اللانهائي الفعلي في أي جانب من جوانبه، فإنه ينكر بذلك اللانهاية المحتملة في نفس الصدد، وتحمل الوضعية في داخلها عناصر من تحللها الخاص - إذا جاز التعبير، يحدث تسميم الذات مع الوضعية بمنتجات نشاطها الخاص. بناءً على تعريف اللانهاية الفعلية الذي تم الكشف عنه أعلاه، يمكننا أن نستنتج أن مثل هذه اللانهاية يمكن تصورها في تعديلين. أولًا، نظرًا لكونه أكبر من أي كم محدود، فقد يتبين أنه ليس له كم آخر، لا نهائي أيضًا، يكون أكبر منه؛ بمعنى آخر، هنا يتبين أنه غير قادر على أن يكون أقل من أي شيء آخر. هذه هي اللانهاية الفعلية، غير القادرة على الزيادة، الحد الأقصى المطلق؛ سواء بشكل عام أو في كانتور، يطلق عليه اسم Absolutum. ثانياً: والذين تكلموا عن اللانهاية لم يلاحظوا ذلك، فمن تعريف اللانهاية الفعلية يتبع إمكانية تعديلها ثانياً. اللانهاية الفعلية، على وجه التحديد، يمكن أن يكون لها كمات أخرى أكبر منها؛ عندها سيكون قادرًا على الزيادة، سوف يتزايد بما لا نهاية فعليًا. من أجل تجنب الخلط بين الكلمات والأطوال بشكل نهائي، أطلق عليها كانتور اسم الطرف الفائق، Ueberendlichkeit. ومن هذه الاعتبارات الشكلية دعونا ننتقل إلى الاعتبارات الحقيقية. إننا نواجه اللانهاية الفعلية، أو على الأقل يمكننا أن نأمل في مواجهتها، في ثلاث مناطق مختلفة. أولاً، نظرًا لأن هذا اللانهائي الفعلي يتحقق في أعلى درجات الكمال، في كائن مستقل تمامًا خارج نطاق العالم، في كلمة واحدة - في Deo sive natura naturante، ويفهم كانتور التعبير الأخير ليس بمعنى وحدة الوجود، ولكن بالمعنى الأصلي الذي أعطاه توما الأكويني وغيره من اللاهوتيين. هنا اللانهائي هو الحد الأقصى المطلق وهو ما كان يسمى سابقا المطلق أو اللانهاية المطلقة. ثانيًا، يمكن افتراض اللانهائي الفعلي في الخرسانة، في العالم التابع، في المخلوق، في الطبيعة الطبيعية. هنا يسميها كانتور Transfinitum. أخيرا، ثالثا، يمكن أن يكون اللانهائي الفعلي في الروح مجردة، لأنه لديه القدرة على التعرف على Transfinitum في الطبيعة، وإلى حد ما، المطلق في الله. في هذه الحالة الأخيرة، تسمى اللانهاية رموز اللانهاية. على وجه الخصوص، إذا كنا نتحدث على وجه التحديد عن معرفة Transfinitum، وتسمى هذه الرموز أرقام Transfinite وأنواع Transfinite. النوعان الأخيران من اللانهاية هما اللانهاية القابلة للزيادة. 835 بوانكاريه، – العلم والفرضية، ص 20 ق. هناك ص. - وبالمثل، يؤكد ج. تانري أن "مفهوم العدد الصحيح يحتوي بالفعل على مفهوم اللانهاية" (ج. تانري، - الرياضيات البحتة. "الطريقة في العلوم"، ترجمة من الطبعة الفرنسية الثانية بواسطة إ. إس. يوشكيفيتش وإي. ك. بروسيلوفسكي، ناشر "التعليم"، سانت بطرسبرغ، 1911، ص. 35). ديون. أريب. ، – يا سماوية. هنا. 14 (روس. ص 1898، ص 52). يخدع. جوتبيرليت، – مشكلة داس د. Unendlichen ("Zeitschr. f. Philos. u. philos. Kr."، Bd. 88، 1886. S. 215). هذه الرحلة – مختصر. الانفصال عن "حول الرمز. لا نهاية لها." . - بالإضافة إلى المرسوم. يعمل على التاريخ الاثنين. يا إشارة لا نهاية لها: المدابغ، – اصمت. du Concept de l'infini au IV siècle ("القس فيلوس."، الرابع عشر، 618).